四川省成都市新都一中2019-2020学年高二上学期期末模拟测试理科数学(一)(含解析)

四川省成都市新都一中高2021届第三期期末模拟测试
理科数学（一）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1、下列说法正确的是 （ ） A .命题“若，则”的否命题是“若，则” B .“”是“2560x x --=”的必要不充分条件
C .命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<”
D .命题“若，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题。

2、“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 A ．
B ．
C ．
D ．
3、秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提岀的一种多项式简化算法。

秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法。

其大大简化了计算过程，即便在现代，利用计算机解决多项式的求值问題时，秦九韶算法依然是最优的算法。

用秦九韶算法计算当时函数的值时，需要进行加法运算的次数及函数值分别为（ ） A ．3，5.6426
B ．4，5.6426
C ．3，5.6416
D ．4，5.6416
4、如图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是( ) A .？
B .？
C .？
D .？
5、平行四边形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D 在直线3x －y ＋1＝0上移动，则顶点B 的轨迹方程为( ) A ．3x －y －20＝0 B ．3x －y －10＝0 C ．3x －y －12＝0
D ．3x －y －9＝0
6、已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（） A ．
B ．
C ．
D ．
7、已知双曲线,四点()()124,2,2,0P P ，()()344,3,4,3P P -中恰有三点在双曲线上,则该双曲线的离心率为（ ） A .
B .
C .
D .
8、已知点为双曲线 右支上一点，分别为左右焦点，若双曲线的离心率为，的内切圆圆心为，半径为2，
若12PF I PF I S S ∆∆=+ ） A ．2
B ．
C ．
D ．6
9、为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 A .
B .
C .
D .
10、设为曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足1290F PF ∠=，则的面积为（ ） A .
B .
C .
D .
11、已知直线:2l y kx =+过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆截得的弦长为，若，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A .
B .
C .
D .
12、设椭圆与双曲线在第一象限的交点为为其共同的左右的焦点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的取值范围为 A ．
B ．
C ．
D ．
二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

请将最简结论填入答题卡相应空格中。

13、如果1121（k ）转换为十进制数后是一个两位数，则k 的最大值为_________ 14、成都地铁3号线列车每5min 一班，在车站停0.5min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率为_____．
15、已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，
交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且，则________
16、已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆22(2)1x y +-=上任意一点，则的最小值为__________. 三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、已知命题p ：关于x 的方程x 2﹣2mx ＋1＝0有实数根，命题q ：双曲线的离心率e ∈（1，2），若￢q 与p ∧q 均为假命题，求实数m 的取值范围．
18、某公司为了解共享单车的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率分布直方图，其统计数据分组区间为[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a 的值；
（2）求这50名问卷评分数据的中位数； （3）估计样本的平均数．
19、已知圆M 的方程为(x −3)2＋y 2＝2． (1)求过点A(2,1)的圆M 的切线方程；
(2)若直线过点(2,3)，且直线l 与圆M 相交于两点P 、Q ，使得∠PMQ ＝90∘，求直线l 的方程． 20、已知关于的一元二次方程()2
2
22160x a x b ---+=
（1）若，是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．
（2）若，]4[0b ∈，
，求方程没有实根的概率． 21、已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为. （1）求椭圆的方程；
（2）设斜率不为零的直线与椭圆的另一个交点为，且的垂直平分线交轴于点，求直线的斜率. 22、已知斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点为，椭圆的上顶点为. （1）求椭圆的离心率；
（2）设直线:(l y kx m m '=+≠
与椭圆交于两点，若直线与的斜率之和为2，证明：过定点.
四川省成都市新都一中高2021届第三期期末模拟测试
理科数学（一）解析
1、D 【解析】根据否命题的概念可知选项A 不正确;再由特称命题的否定为全称命题知选项C 不正确;对于选项B ，∵2560x x --=，∴x ＝－1或6，故“”是“2560x x --=”的充分不必要条件，B 不正确;选项D 由原命题正确可得其逆否命题正确，故选D
2、B 【解析】边长为3的正方形的面积S 正方形＝9，设阴影部分的面积为S 阴， ∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分， ∴，解得S 阴，
∴估计阴影部分的面积是．故选：B ．
3、C 【解析】因为(
)
()()
4
3
2
32
2
()234234234f x x x x x x x x x
x x x =+++=+++=
+++
()()()234x x x x =
+++，
所以加法运算次数为：，且，选：C . 4、B 【解析】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,
判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,;
判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出,退出循环,即符合题意. 故选:B .
5、A 【解析】设点的坐标为，取直线上点的坐标为， 向量()()113,1,2,3AB x y DC x y =-+=---， 由AB DC =， 得，即, 因为11310x y -+=，所以， 整理得3200x y --=，故选A .
6、A 【解析】设A （，），B （，），又的中点为，则121221x x y y +=+=，，
又因为A 、B 在椭圆上 所以
两式相减，得： ∵12121212b
1c 2
AB FP OM y y y y k k k x x x x ，-+=
==-==-+,
∴，∴，平方可得(
)4
22
2
4a a c c
=-, ∴＝,，
故选A .
7、C 【解析】根据双曲线的性质可得，在双曲线上，则一定不在双曲线上，则()22,0P 在双曲线上，解
得222237b c a b c =∴=+=∴=，， 故选C ．
8、C 【解析】点为双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>右支上一点, 分别为左右焦点,的内切圆圆心为,半径为2 ,
因为12PF I PF I S S ∆∆=+ 所以，
可得，即2a a =∴= 双曲线的离心率为，可得,
则b ==C .
9、B 【解析】由可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为,
如图:过点P 作准线 的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知PM ＝PF ＝4, 设,则,解得,将 代入可得, 所以△的面积为＝. 故选B .
10、C 【解析】因为为曲线的两个焦点， 所以，
双曲线的定义得到1224PF PF a -==，
平方得22
1212216PF PF PF PF +-⋅=
因为1290F PF ∠=， 所以根据勾股定理得 所以得122PF PF ⋅= 的面积12121
12
F PF S PF PF ∆=⋅= 故选：C
11、B 【解析】将椭圆左焦点代入直线:2l y kx =+，得到， 直线:2l y kx =+过椭圆的上顶点，所以，
直线:2l y kx =+被圆截得的弦长为，圆心到直线的距离为，
则L ==， 因为弦长，所以，得， 圆心为，直线:2l y kx =+， 所以 所以，即， 离心率， 代入得，，
所以椭圆离心率的范围为，故选.
12、D 【解析】依题意有m 2﹣4＝a 2＋4，即m 2＝a 2＋8，
∴()
()
2
222
2212224222
244432
288a m a e e m a a a a a +-++=
+==+++ ， ，
解得2
4
2
4242113250
1,089,,28989
a a a a a a a <∴<+<∴
>∴+>++
22
123250
299
e e ∴+>+
= .故选：D ． 13、4【解析】由题意，k 为大于2的正整数，且k 3＋k 2＋2k ＋1<100，可得k 的最大值为4.
14、【解析】由于地铁列车每5min 一班，以0.5min 为一个长度单位，则两班列车停靠车站之间时间可用长度为10的线段表示．而列车在车站停0.5min ，乘客到达站台立即乘上车的时间可用长度为1的线段表示．
P
15、【解析】由于双曲线渐近线为，不妨设直线的斜率为，故直线的方程为.令，得. 由解得，.由解得， 由得， 化简得(
)()22
2
2440a b
a
b --=，解得或.由于位于之间，故舍去，所以，即.故
22222222||44||45
B C ab
y FB b b a c ac FC y c a b a a b
======++.
16、【解析】设点，由于点是抛物线上任意一点，则2
008(0)x y y =≥，
点，则2
2222000000(3)8(3)29PA x y y y y y =+-=+-=++，
由于点是圆2
2
(2)1x y +-=上任意一点，所以要使的值最小，则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，则 ， ，
003312()y y +++
≥= 的最小值为，
17、若命题p 为真，则有△＝4m 2﹣4≥0，解得m ≤﹣1或m ≥1， 当p 为假时有﹣1＜m ＜1．
若命题q 为真，则有，即解得0＜m ＜15． 因为“﹁q ”为假命题，“p ∧q ”为假命题， 所以q 为真命题，p 为假命题． 于是由解得0＜m ＜1．
故所求实数m 的取值范围是0＜m ＜1．
18、（1）根据频率和为1，得（0.004＋a ＋0.0232＋0.028＋0.0232＋0.0156）×10＝1， 解得a ＝0.006；
（2）设这50名问卷评分数据的中位数为x ，则
0.04＋0.06＋0.232＋（x ﹣70）×0.028＝0.5，解得x ＝76， 所以中位数为76；
（3）由频率分布直方图估计样本的平均数为
45×0.04＋55×0.06＋65×0.232＋75×0.28＋85×0.232＋95×0.156＝75.72．
19、(1)∵(2−3)2＋12＝2，∴点A 在圆上，则AM ⊥切线m ， ∵k AM ＝
1−02−3
＝−1，∴k m ＝1．
则切线m 的方程为y −1＝1⋅(x −2)，即x −y −1＝0；
(2)圆M 的方程为(x −3)2＋y 2＝2，则圆M 的圆心坐标为(3,0)，半径为√2． 记圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝√2cos45∘＝1．
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，d ＝3−2＝1，满足条件； 当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y −3＝k(x −2)，即kx −y ＋3−2k ＝0． 则d ＋√1＋k 2
1，解得k ＝−4
3．
此时直线l 的方程为4x ＋3y −17＝0．
综上，直线l 的方程为x ＝2或4x ＋3y −17＝0．
20、（1）由题意知本题是一个古典概型，用表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件 依题意知，基本事件的总数有个，二次方程()2
2
22160x a x b ---+=有两正根，
等价于 即
“方程有两个正根”的事件为，则事件包含的基本事件为：、 、 、， 共个， ∴所求的概率为.
（2）由题意知本题是一个几何概型，如图所示：
试验的全部结果构成区域， 其面积为16S Ω=（），
满足条件的事件为：22
{|}2604,216B a b a b a b =≤≤≤≤+（
，），（﹣）＜， 其面积为， 所求概率为.
21、(1)因为椭圆离心率为，当P 为C 的短轴顶点时，的面积有最大值. 所以，所以，故椭圆C 的方程为:. （2）设直线的方程为()1y k x =-， 当时，()1y k x =-代入，
得:()
2222
3484120k x k x k +-+-=.
设，线段的中点为，
2
1202
4234x x k x k +==+，()1200
231234y y k y k x k +-==-=+ 即
因为TN PQ ⊥，则，所以， 化简得24830k k -+=，解得或， 即直线的斜率为或.
22、（1）设点，，由于点为线段的中点 所以，
又两式作差21212
121212
1x x y y b k a y y x x +--⋅
===+-， 所以，即；
（2）由（1）结合上顶点，椭圆的方程为， 设点()()3344,,,M x y N x y ， 联立得(
)2
2
23484120k x
kmx m +++-=，则韦达定理得，
据题意可得
34343434341122(2(BM BN kx m kx m x x
k k k m k m x x x x x x ⎛⎫++-+=+=
+=+-+=+- ⎪⎝⎭
代入韦达定理得2822(412km k m m --=-=-，化简得，
所以直线为(y kx k x =+-=+，过定点， 综上，直线过定点.。