直线和圆单元精选练习

直线和圆单元精选练习
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.（2008·福建文，2）“a =1”是“直线x +y =0和直线x -ay =0互相垂直”的
（ ）
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
答案 C
2.过点（-1，3）且平行于直线x -2y +3=0的直线方程为
（ ）
A .x -2y +7=0
B .2x +y -1=0
C .x -2y -5=0
D .2x +y -5=0
答案 A
3.（2008·安徽理，8）若过点A （4，0）的直线l 与曲线(x -2)2
+y 2
=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为
( )
A .]3,3[-
B .()
33，-
C . ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-33,33
D .⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
33,33 答案 C
4.过点M （2，1）的直线l 与x 轴，y 轴分别交于P 、Q 两点且|MP |=|MQ |，则l 的方程是 ( )
A .x -2y +3=0
B .2x -y -3=0
C .2x +y -5=0
D .x +2y -4=0
答案 D
5.直线x -2y -3=0与圆C ：(x -2)2
+(y +3)2
=9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为
( )
A .2
3
B .
4
3 C .52 D .
5
5
3 答案 C
6.若a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对边的边长，则直线sin A ·x +ay +c =0与bx -sin B ·y +c =0的 置关系是 ( )
A .平行
B .重合
C .垂直
D .相交但不垂直
答案 C
7.已知直线l 1:bx -2y +2=0和l 2:2x +6y +c =0相交于点（1，m ），且l 1到l 2的角为4
3π
，则b 、c 、m 的值分别 为
（ ）
A .1,
2
3
,-11 B .
2
3
,1,-11 C .1,-11,2
3
D .-11,
2
3
,1 答案 C
8.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM |+|BM |为最短，那么点M 的坐标为（ ）A .(-1,0)
B .(1,0)
C .⎪⎭
⎫
⎝⎛0522，
D . ⎪⎭
⎫ ⎝⎛522,0
答案 B
9.设x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪
⎨⎧≤+≥≥12340y x x y x ,则z =x +y 的最小值是
（ ）
A .0
B .1
C .3
D .9
答案 A
10.不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧≥-≥≤≤02041y x y x 所表示的平面区域的面积是
（ ）
A .30
B .15
C .12
D .8
答案 B
11.如果点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线x 2+(y +2)2
=1上，那么|PQ |的最小值为（ ）
A .5-1
B .
5
4-1 C .22-1 D .2-1
答案 A
12.过点C （6，-8）作圆x 2
+y 2
=25的切线于切点A 、B ，那么C 到两切点A 、B 连线的距离为（ ） A .15
B .1
C .
2
15
D .5
答案 C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.设直线2x +3y +1=0和x 2
+y 2
-2x -3=0相交于点A 、B ，则弦AB 所在直线的垂直平分线方程是 . 答案 3x -2y -3=0
14.在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M =⎪
⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧-≤≤≥x y x y y y x 20|),(，区域N ={（x ，y ）|t ≤x ≤t +1，0≤t
≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f （t ）表示，则f （t ）的表达式为 . 答案 f (t )=-t 2
+t +
2
1
15.已知点P （m ,n ）位于第一象限，且在直线x +y -1=0上，则使不等式n
m 4
1+≥a 恒成立的实数a 的取值范围是 . 答案 （-∞，9］
16.（2008·上海扬浦测试）若直线ax +by =1与圆x 2+y 2
=1相切，则实数ab 的取值范围是 .
答案 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-2121，
三、解答题(本大题共6小题，共74分)
17.（12分）过点M （0，1）作直线，使它被直线l 1:x -3y +10=0和l 2:2x +y -8=0所截得的线段恰好被M 平分，求此直线方程.
解 方法一 过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是⎪⎭⎫
⎝⎛310,0和(0,8)，显然
不满足中点是点M （0，1）的条件.
故可设所求直线方程为y =kx +1,与已知两直线l 1,l 2分别交于A 、B 两点，联立方程组
⎩
⎨
⎧=+-+=,0103,
1y x kx y ① ⎩
⎨
⎧=-++=,082,
1y x kx y
②
由①解得x A =
1
37-k ,由②解得x B =27
+k .
∵点M 平分线段AB ， ∴x A +x B =2x M ，即137
-k +2
7+k =0. 解得k =-4
1
，故所求直线方程为x +4y -4=0. 方法二 设所求直线与已知直线l 1,l 2分别交于A 、B 两点. ∵点B 在直线l 2:2x +y -8=0上，
故可设B （t ,8-2t ）,M (0,1)是AB 的中点. 由中点坐标公式得A (-t ,2t -6). ∵A 点在直线l 1:x -3y +10=0上， ∴（-t ）-3（2t -6）+10=0，解得t =4.
∴B （4，0），A （-4，2），故所求直线方程为x +4y -4=0. 18.（12分）已知方程x 2
+y 2
-2x -4y +m =0. （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x +2y -4=0相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点），求m ； （3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程. 解 （1）（x -1)2
+(y -2)2=5-m ,∴m ＜5. （2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2， 则x 1x 2=16-8（y 1+y 2）+4y 1y 2 ∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2+y 1y 2=0 ∴16-8（y 1+y 2）+5y 1y 2=0 ①
由⎪⎩
⎪⎨⎧=+--+-=042242
2m y x y x y x 得5y 2
-16y +m +8=0 ∴y 1+y 2=
516,y 1y 2=58m +,代入①得，m =5
8
.
（3）以MN 为直径的圆的方程为 （x -x 1）(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0 即x 2
+y 2
-(x 1+x 2)x -(y 1+y 2)y =0 ∴所求圆的方程为x 2
+y 2
-58x -5
16
y =0.
19.（12分）A 、B 、C 三城市分别有某种机器10台、10台、8台，支援D 市18台、E 市10台.从A 市调一
台机器到D 、E 两市的运费分别为200元和800元；从B 市调一台机器到D 、E 两市的运费分别为300元和700元；从C 市调一台机器到D 、E 两市的运费分别为400元和500元.
（1）若从A 、B 两市各调x 台到D 市，当三市28台机器全部调运完毕后，求总运费P （x ）关于x 的函
数表达式，并求P （x ）的最大值和最小值；
（2）若从A 市调x 台到D 市，从B 市调y 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，用x 、y 表示总运费P ，并求P 的最大值和最小值. 解 （1）机器调运方案如下表：
总运费P （x ）=200x +300x +400（18-2x ）+800（10-x ）+700（10-x ）+500（2x -10）=17 200-800x ， 又由0≤x ≤10,0≤18-2x ≤8,得定义域5≤x ≤9， 所以P (x )max =P (5)=13 200(元）, P （x ）min =P （9）=10 000（元）， （2）机器调运方案如下表： C
需量
总运费P =200x +300y +400（18-x -y ）+800（10-x ）+700（10-y ）+500（x +y -10）=17 200-100（5x +3y ）， 其中0≤x ≤10,0≤y ≤10,0≤18-x -y ≤8.
在xOy 平面内作出上述不等式的可行域（如图中阴影部分）.其中l 1:x +y =18,l 2:x +y =10.可见，当x =10,y =8时，P min =9 800;当x =0,y =10时，P max =14 200.
20.（12分）已知圆M ：x 2
+y 2
-2mx -2ny +m 2
-1=0与圆N ：x 2
+y 2
+2x +2y -2=0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时圆M 的方程. 解 由圆M 的方程知M （m ，n ）.又由方程组
⎩⎨⎧=-+++=-+--+,
0222,01222
2222y x y x m ny mx y x 得直线AB 的方程为2(m +1)x +2(n +1)y -m 2
-1=0. 又AB 平分圆N 的圆周，
所以圆N 的圆心N （-1，-1）在直线AB 上. ∴2（m +1）（-1）+2（n +1）（-1）-m 2
-1=0. ∴m 2
+2m +2n +5=0，即（m +1）2
=-2（n +2）.
（*）
∴（x +1）2
=-2（y +2）即为点M 的轨迹方程.
又由题意可知当圆M 的半径最小时，点M 到AB 的距离最小，即MN 最小. d =.3)1()2(2)1(）1（2222-=+++-=+++n n n n m 由（*）可知n ≤-2,∴d ≥1. 即最小值为1,此时m =-1，n =-2， 故此时圆M 的方程为(x +1)2
+(y +2)2
=5.
21.（12分）将一块直角三角板ABO 置于平面直角坐标系中（如图所示）.已知AB =OB =1，AB ⊥OB ，点P ⎪⎭⎫
⎝⎛41,21
是三角板内一点.现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成△AMN .问应如何确定直线MN 的斜率，可使锯成的△AMN 的面积最大？
解 由题意可知B （1，0），A （1，1）， k OP =
21，k PB =-2
1
， ∴k MN ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-2121，，l AO ：y =x ；l AB ：x =1.
设l MN ：y =kx +b ，
∵直线MN 过P ⎪⎭⎫
⎝⎛41,21
∴b =
2141-k ，∴y =kx +⎪⎭
⎫
⎝⎛-k 2141. ∴M ⎪⎭⎫ ⎝⎛----k k k k 4421,4421,N ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+412,1k
S △AMN =⎪⎭⎫ ⎝⎛--241121k ×,)1(32)23(442112
k k k k --=
⎪⎭⎫ ⎝⎛--- 设t =1-k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡23,21.
S △AMN =
t t t 321442++在t ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡23,21时，函数单调递增.
∴当t =
23，即k =-21时，S △AMN (max)=3
1. 2
2.（14分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x -3y =4相切.
（1）求圆O 的方程；
（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA ·PB 取值范围.
解 （1）依题设,圆O 的半径r 等于原点O 到直线x -3y =4的距离，即r =3
14+=2.
所以圆O 的方程为x 2
+y 2
=4.
（2）不妨设A （x 1,0）,B (x 2,0),且x 1＜x 2,由x 2
=4, 得A (-2,0),B (2,0).
设P （x ,y ），由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列， 得22)2(y x ++·22)2(y x +-=x 2
+y 2
, 即x 2
-y 2
=2.
所以·=(-2-x ,-y )·(2-x ,-y ) =x 2
-4+y 2
=2(y 2
-1).
由于点P 在圆O 内，故⎩
⎨⎧=-<+,2,
42
222y x y x 由此得0≤y 2
＜1.
所以·的取值范围为［-2，0）.。