(全国版)中考数学复习 第三单元 函数及其图象 课时训练14 二次函数的图象及其性质(二)-人教版初

课时训练(十四)二次函数的图象及其性质(二)
(限时:45分钟)
|夯实基础|
1.[2019·某某]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为()
A.0B.1C.2D.3
m-1的图象与x轴有交点,则m的取值X围是()
2.[2018·襄阳] 已知二次函数y=x2-x+1
4
A.m≤5
B.m≥2
C.m<5
D.m>2
3.[2019·某某一模] 已知抛物线c:y=x2+2x-3,将抛物线c平移得到抛物线c',如果两条抛物线关于直线x=1对称,那么下列说法正确的是()
A.将抛物线c沿x轴向右平移5
个单位得到抛物线c'
2
B.将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c'
C.将抛物线c沿x轴向右平移7
个单位得到抛物线c'
2
D.将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c'
4.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值X围是()
A.x<-4或x>2
B.-4≤x≤2
C.x≤-4或x≥2
D.-4<x<2
5.[2019·某某]将二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值X围是 ()
A.a>3
B.a<3
C.a>5
D.a<5
6.[2019·某某]已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点,且当x<-1时,y随x的增大而减小,则实数a的取值X围是()
A.a<2
B.a>-1
C.-1<a≤2
D.-1≤a<2
7.[2019·某某]已知m>0,关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2(x1<x2),则下列结论正确的是
()
A .x 1<-1<2<x 2
B .-1<x 1<2<x 2
C .-1<x 1<x 2<2
D .x 1<-1<x 2<2
8.[2019·某某]在平面直角坐标系中,已知a ≠b ,设函数y=(x+a )(x+b )的图象与x 轴有M 个交点,函数
y=(ax+1)(bx+1)的图象与x 轴有N 个交点,则 ()
A .M=N -1或M=N+1
B .M=N -1或M=N+2
C .M=N 或M=N+1
D .M=N 或M=N -1
9.将抛物线y=3(x+1)2
-2向上平移1个单位,再向左平移1个单位得到的抛物线的解析式是.
10.[2018·某某] 如图K14-1,抛物线y=ax 2
与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2,4),B (1,1),则方程
ax 2=bx+c 的解是.
图K14-1
11.[2018·某某] 已知二次函数y=x 2
-4x+k 的图象的顶点在x 轴下方,则实数k 的取值X 围是.
12.已知函数y={-x 2+2x(x >0),
-x(x ≤0)的图象如图K14-2所示,若直线y=x+m 与该图象恰有三个不同的交点,则m 的
取值X 围为.
图K14-2
13.[2019·威海] 在画二次函数y=ax 2
+bx+c (a ≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:
x … -1 0 1 2 3 … y 甲 …
6
3
2
3
6
…
乙写错了常数项,列表如下:
x … -1 0 1 2 3 … y 乙 …
-2
-1
2
7
14
…
通过上述信息,解决以下问题:
(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;
(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x时,y的值随x的值增大而增大;
(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值X围.
14.[2019·某某节选] 如图K14-3,二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点D为OC的中点,点P在抛物线上.
(1)b=.
(2)若点P在第一象限,过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH与BC,BD分别交于点M,N.是否存在这样的点P,使得PM=MN=NH,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图K14-3
|拓展提升|
15.如图K14-4,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,-2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=-1.
(1)求抛物线的函数表达式.
OD,求△PBE的面积.
(2)若点P在第二象限内,且PE=1
4
(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图K14-4
【参考答案】
1.C[解析]当x=0时,y=-x2+4x-4=-4,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-4),
当y=0时,-x2+4x-4=0,解得x1=x2=2,抛物线与x轴的交点坐标为(2,0),
所以抛物线与坐标轴有2个交点.故选C.
2.A[解析]∵二次函数的图象与x轴有交点,
m-1≥0,解得m≤5.
∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1
4
故选A.
3.B
4.D[解析]∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,
∴二次函数的图象与x轴另一个交点为(-4,0),
∵a<0,∴抛物线开口向下,
则使函数值y>0成立的x的取值X围是-4<x<2.
5.D[解析]∵y=x2-4x+a=(x-2)2+(a-4),向左平移一个单位,再向上平移一个单位后的解析式为y=(x-1)2+(a-3).
令2=(x-1)2+(a-3),即x2-2x+a-4=0,由Δ=4-4(a-4)>0,得a<5.
6.D[解析]y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6,
∵抛物线与x轴没有公共点,∴Δ=(-2a)2-4(a2-3a+6)<0,解得a<2.
=a,抛物线开口向上,而当x<-1时,y随x的增大而减小,
∵抛物线的对称轴为直线x=--2a
2
∴a≥-1,∴实数a的取值X围是-1≤a<2.故选D.
7.A[解析]关于x的一元二次方程(x+1)(x-2)-m=0的解为x1,x2,可以看作二次函数m=(x+1)(x-2)的图象与x 轴交点的横坐标,
∵二次函数m=(x +1)(x -2)的图象与x 轴交点坐标为(-1,0),(2,0),如图: 当m>0时,就是抛物线位于x 轴上方的部分,此时x<-1,或x>2. 又∵x 1<x 2, ∴x 1<-1,x 2>2, ∴x 1<-1<2<x 2, 故选A .
8.C[解析]先把两个函数化成一般形式,若为二次函数,计算当y=0时,关于x 的一元二次方程根的判别式,从而确定图象与x 轴的交点个数,若为一次函数,则与x 轴只有一个交点,据此解答.∵y=(x +a )(x +b )=x 2
+(a +b )x +ab ,∴Δ=(a +b )2
-4ab ,又∵a ≠b ,(a +b )2
-4ab=(a -b )2
>0,∴函数y=(x +a )(x +b )的图象与x 轴有2个交点,∴M=2.∵函数y=(ax +1)(bx +1)=abx 2
+(a +b )x +1,∴当a ≠b ,ab ≠0时,(a +b )2
-4ab=(a -b )2
>0,函数y=(ax +1)(bx +1)的图象与
x 轴有2个交点,即N=2,此时M=N ;
当ab=0时,不妨令a=0,∵a ≠b ,∴b ≠0,函数y=(ax +1)(bx +1)=bx +1为一次函数,与x 轴有一个交点,即N=1,此时M=N +1.综上可知,M=N 或M=N +1.故选C . 9.y=3(x +2)2
-1
10.x 1=-2,x 2=1[解析]∵抛物线y=ax 2
与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2,4),B (1,1),∴{y =ax 2,
y =bx +c
的
解为{x 1=-2,y 1=4,{x 2=1,y 2=1.即方程ax 2
=bx +c 的解是x 1=-2,x 2=1.
11.k<4[解析]∵二次函数y=x 2
-4x +k 的图象的顶点在x 轴下方, ∴二次函数y=x 2
-4x +k 的图象与x 轴有两个公共点. ∴b 2
-4ac>0,即(-4)2-4×1×k>0.解得
k<4.
12.0<m<1
4[解析]由y=x +m 与y=-x 2
+2x 联立得x +m=-x 2
+2x ,整理得x 2
-x +m=0,当有两个交点时,b 2
-4ac=(-1)2
-4m>0,解得m<14.
当直线y=x +m 经过原点时与函数y={-x 2+2x(x >0),
-x(x ≤0)
的图象有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,∴
m>0,∴m 的取值X 围为0<m<1
4.
13.解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时,y=c=3是正确的,
由甲同学提供的数据,选择x=-1,y=6;x=1,y=2代入y=ax 2
+bx +3,得{a -b +3=6,a +b +3=2,解得a=1是正确的.
根据乙同学提供的数据,选择x=-1,y=-2;x=1,y=2代入y=x 2
+bx +c , 得{1-b +c =-2,1+b +c =2,解得b=2是正确的, ∴y=x 2
+2x +3.
(2)≥-1[解析]抛物线y=x 2
+2x +3的对称轴为直线x=-1, ∵二次项系数为1,故抛物线开口向上, ∴当x ≥-1时,y 的值随x 值的增大而增大. 故答案为≥-1.
(3)∵方程ax 2
+bx +c=k (a ≠0)有两个不相等的实数根, 即x 2
+2x +3-k=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=4-4(3-k )>0, 解得k>2.
14.解:(1)2[解析]∵二次函数y=-x 2
+bx +3的图象过点A (-1,0), ∴0=-(-1)2
-b +3. ∴b=2. 故填2.
(2)如图①,连接BD ,BC ,过点P 作PH ⊥x 轴于点H ,分别交BC ,BD 于点M ,N.
由题意知,抛物线y=-x 2
+2x +3交x 轴于点A (-1,0),B (3,0),交y 轴于点C (0,3),且点D 为OC 的中点, ∴D 0,3
2.
易求直线BC 的解析式为y=-x +3,
直线BD 的解析式为y=-12
x +32
.
假设存在符合条件的点P (m ,-m 2
+2m +3), 则M (m ,-m +3),N m ,-1
2m +
32
.
∵PM=MN=NH ,
∴-1
2
m +3
2=(-m 2
+2m +3)-(-m +3).
整理,得2m 2
-7m +3=0,
解得m 1=1
2,m 2=3(不合题意,舍去).
∴P
12,154
使得PM=MN=NH.
15.[分析] (1)根据点A (2,0)、抛物线对称轴,可得点B (-4,0),则可设函数表达式为:y=a (x -2)(x +4),根据点
C (0,-2),即可求解;
(2)设出点D 坐标,表示出PE 的长,根据PE=1
4
OD ,求得:点D (-5,0),利用S △PBE =1
2
PE ×BD 即可求解;
(3)△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形,则分BD=BM 和BD=DM 两种情况求解. 解:(1)由题意得点A 的坐标是(2,0),抛物线的对称轴是直线x=-1,则点B (-4,0), 设函数表达式为:y=a (x -2)(x +4)=a (x 2
+2x -8), 将C (0,-2)的坐标代入,得-8a=-2, 解得:a=1
4,
故抛物线的表达式为:y=1
4x 2
+1
2x -2. (2)易得直线BC 的表达式为:y=-1
2x -2. 设点D (x ,0),
则点P x ,1
4x 2
+12x -2,点E x ,-1
2x -2, ∵PE=1
4OD ,点P 在直线BC 上方, ∴PE=
1
4
x 2+12x -2+12x +2=1
4(-x ), 解得:x=0或-5(舍去x=0),则点D (-5,0). 故S △PBE =1
2×PE ×BD=1
2×1
4OD ×BD=1
2×5
4×1=5
8.
(3)由题意得△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形,存在:BD=BM 和BD=DM 两种情况,
易得BD=1.
① 当BD=BM ,M 点在线段CB 的延长线上时,过点M 作MH ⊥x 轴于点H , 易得△MHB ∽△COB ,则MH MB =CO
BC , 即
MH 1
=2√5,解得MH=√5
5.
令y=-12
x -2=√55
,解得x=-20+2√5
5
, 故点M (-20+2√55
,√5
5). ②当BD=DM'时,
设点M'(x,-12x -2),其中x<-4.则M'D 2
=[x -(-5)]2
+(-1
2x -2-0)2
=1.
整理得x 2
+485
x +
1125
=0.
解得x 1=-4(舍去),x 2=-28
5. 当x=-28
5时,-1
2x -2=4
5.故点M'(-285
,45).
综上所述,点M 坐标为(-20+2√55,√55)或(-285,4
5
).。