2020届河北省沧州市高三9月教学质量检测数学(理)试题(解析版)

线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，
着重考查了空间向量能力， 以及推
理与计算能力，属于基础题 .
11．将函数 g(x) cos2x sin 2x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再把所
得各点向右平移 个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的 6
数 f（ x）的图象，则下列说法中正确的个数是（
【解析】 根据函数的图象变换， 得到函数 f x 2 2 cos x
，然后根据函数性
12
质依次判断，得到正确结论 .
【详解】
g x cos 2x sin 2x 2 cos 2x
，图象上的所有点的横坐标伸长到原来的
2
4
倍后得到的函数是 y
2 cos x
，所得各点向右平移 个单位长度后得到的函数
4
6
是 y 2 cos x 64
其中熟记抛物线的标准方程和几
何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
.
1
4．设 a＝ log 35， b＝ log 45， c＝ 2 2 ，则（
）
A ． b＞ c＞ a 【答案】 C
B． b＞ a＞ c
C． a＞ b＞ c
D ．a＞c＞b
【解析】 根据对数函数的单调性以及不等式的性质可以比较
）
①函数 f（ x）的最小正周期为 2π；
②函数 f（ x）的最大值为 2；
③函数 f（ x）图象的对称轴方程为 x k
5 (k Z) ； 12
2 倍，就得到函
④设 x 1， x 2 为方程 （f x） 2 的两个不相等的根，则 x1 x2 的最小值为 . 4
A．1 【答案】 A
B． 2
C．3
D．4
90 o
sin
3 sin 1，
2 46
HG 的范围是 2 2, 3
故选 D.
【点睛】 本题考查了双曲线方程，几何性质，以及三角形内心的性质，并且考查了三角函数的化 简和求最值，意在考查数形结合，转化与化归，和逻辑推理，计算能力，属于难题，本
题的关键 1.根据几何性质确定 H ,G 的横坐标都是 a ，2.设倾斜角为 ，将 HG 表示为
66
7 ，
66
98 S9 9 a1
2
7 201
.
66 22
【点睛】
本题考查了等差数列基本量的计算，考查逻辑推理和计算能力，属于基础题型
.
8．已知（ 1 （）
a x3
）（ 1+ x）6 的展开式中各项系数的和为
128，则该展开式中 x2 的系数为
A ． 15 【答案】 B
B． 21
C． 30
D ． 35
本题主要考查了复数的运算， 其中解答中熟记复数的除法运算的运算法则， 准确运算是
解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
.
2．已知集合 A x | x2 2x 3 0 ， B { x | 0 x, 4} ，则 A∩ B=（ ）
A ． { x | 3 x 4}
B． { x |1 x, 4}
C ． { x | 3 x 0或 1 x, 4}
D． { x | 3 x 1 或 1 x, 4}
【答案】 B
【解析】 首先求集合 A ，再求 A I B .
【详解】
A x x 1或 x 3} ， A B x 1 x 4 ，
故选 B. 【点睛】 本题考查集合的交集，属于简单题型 .
3．已知抛物线 C : y 3x2 ，则焦点到准线的距离是（
）
1
A．
在 DEF 中， DF 2 2, EF 2, DE 2 3 ，
由余弦定理可得 cos
DE 2 EF 2 DF 2 12 4 8
3
,
2DE EF
223 2 3
所以所以异面直线 DE 与 A1B1 所成角的正弦值 sin
6
，故选 B.
3
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解， 其中解答中根据几何体的结构特征， 把异面直
10．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD 2, AA1 3 ，点 E 为棱 BB1上的点，
且 BE 2EB1 ，则异面直线 DE 与 A1B1 所成角的正弦值为（
）
A． 5 2
6
B．
3
6
C．
4
7
D．
3
【答案】 B
【解析】 在 AA1 上取点 F ，使得 AF 2 FA1 ，连接 EF , FD ，可得 EF / / A1B1 ，得到
的三角函数 .
二、填空题
13．曲线 f ( x)
x3 2 x2 1 在点 (1, f (1))处的切线方程为 ________.
.
【详解】
fx
f x ， 函数是奇函数，排除 D ，
x 0, 时， f x 0 ， x
, 时， f x 0 ，排除 B ，
2
2
当 x 0,
时， sin 2x
0,1
，
1x e
1 , 1 e2
0,1
2
8
88
x 0, 时， f x 0,1 ，排除 A ， 2
C 符合条件，故选 C.
【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数图象， 属于基础题型， 一般根据选项判断函数的奇
y Asin ωx φ ，若 y A sin x 向右（或左）平移 （ 0 ）个单位，得到函数
的解析式是 y Asin x
或 y A sin x
.
x2
12．已知 F 1，F 2 分别为双曲线 C：
2
y2 1 的左、右焦点，过 F 2 的直线与双曲线 C
6
的右支交于 A ，B 两点（其中点 A 在第一象限） ．设点 H ，G 分别为 △ AF 1F 2， △ BF 1F 2
6
【答案】 A
3
B．
2
C．3
1
D．
3
【解析】 化简抛物线的方程 x 2
【详解】
1 y ，求得 p
3
1
，所以焦点到准线的距离， 得到答案 .
6
由题意，抛物线 y
3x 2 ，即 x 2
1 y=2py ，解得 p
1
，
3
6
所以焦点到准线的距离是
1 p ，故选 A.
6
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质的应用，
设直线 AB 的倾斜角为
，那么 OF2G
, HF2O
2
22
HF 2G 中， HG c a tan tan
2
22
sin cos
ca
2
2
cos sin
2
2
sin 2 cos2
ca
2
2
sin cos 22
ca 2 sin
2
2
双曲线 C : x y 1 ， a 2, b 6, c 2 2 ，
26
可得 HG 2 2 ， 60o
2 cos x
，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的 2
12
倍后得到的函数是 y 2 2 cos x
，函数的最小正周期是 2 ，所以 ① 正确；函
12
数的最大值是 2 2 ，所以 ②不正确；令 x
k
12
x
k , k Z ,所以 ③ 不
12
正确； 2 2 cos x
2 ，解得 cos x
12
12
2
，解得 x
偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项
.
7．《九章算术》 是我国最重要的数学典书， 曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名
著之一 .其中的 “竹九节 “问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差
数列，已知较粗的下 3 节共容 4 升，较瘦的上 4 节共容 3 升 .根据上述条件，请问各节
异面直线 DE 与 A1B1 所成角就是相交直线 EF 与 DE 所成的角，在 DEF 中，利用余
弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解 . 【详解】
在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD 2, AA1 3 ，点 E 为棱 BB1 上的点，且 BE 2EB1 ，如图所示，在 AA1 上取点 F ，使得 AF 2FA1 ，连接 EF , FD ，可得
础题．
5．某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展
“学雷锋敬老爱老 ”志愿服务活动，利
用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动
.
现有来自高一年级的 4 名同学，其中男生 2 名、女生 2 名；高二年级的 5 名同学，其中
男生 3 名、女生 2 名 .现从这 9 名同学中随机选择 4 名打扫卫生，则选出的 4 名同学中
【解析】 把所给的式子按照二项式定理展开，可得展开式中
x2 的系数．
【详解】
解：由题意得 1 a 26 128 27 ， ∴ a 1 ，
∴1
a x3
1
6
x
1
1 x3
C
0 6
C
1 6
x
C62x 2
...
C
6 6
x
6
，
故展开式中
x2 的系数为
C
2 6
C
5 6
15 6
21，
故选： B．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基
础题．
uuuv uuuv uuuv uuuv 9．在以 BC 为斜边的直角 △ ABC 中， AB 2 ， 2BE EC ，则 AB AE （ ）