高考数学一轮总复习 13.3 几何概型课件 理 苏教版
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第3讲 几何概型
知识梳理
1．几何概型
若随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区
域d中的点，这时，事件A发生的概率与d的
成正比，与d的形状和位置 率模型为几何概型．
面积、体积等)
，测则度称(这长样度的、概 无关
2．几何概型的两个特点 几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本 事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事 件发生的可能性是均等的．
(2) 如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D， 且区域 D 的面积为 4，而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距 离大于 2 的区域，易知该阴影部分的面积为 4－π，因此满足条 件的概率是4－4 π.
答案
2 (1)π
4－π (2) 4
规律方法 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解 法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成 的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形 中 画 出 事 件 A 发 生 的 区 域 ， 通 用 公 式 ： P(A) ＝
3 则所求概率为2×2 2＝38.
答案
3 8
考点三 与体积有关的几何概型
【例3】 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面 ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P， 则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析 (1)由题意知 m＞0， 当 m≤2 时，满足|x|≤m 的概率为m4－ －－ －m2＝26m＝56， 解得 m＝52(舍去)． 当 2＜m≤4 时，所求概率为m＋6 2＝56，∴m＝3. (2)∵∠B＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝75°， 在 Rt△ADB 中，AD＝ 3，∠B＝60°， ∴BD＝tanAD60°＝1，∠BAD＝30°.
内，区域 h 为∠CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率
为∠∠DCAABB＝3900°°＝13.
答案
3 (1)5
1 (2)3
考点二 与面积有关的几何概型
【例2】 (1)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正 方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落 在正方形EFGH内”，则P(A)________．
形．
(√)
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． (×)
2．几何概型的计算
(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到 1 的概率是 P＝19.(×)
(5)(2013·福建卷改编)利用计算机产生 0～1 之间的均匀随机
数 a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为13.
(√)
[感悟·提升]
解析 (1)方程有实根，则 Δ＝p2－4≥0，
解得 p≥2 或 p≤－2(舍去)．
所以所求概率为55－ －20＝35.
(2)因为在∠DAB 内任作射线 AP，则等可能基本事件为“∠DAB
内作射线 AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是
∠DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在∠CAB
1．一个区别 “几何概型”与“古典概型”的区别：基本事 件的个数前者是无限的，后者是有限的．
2．一点提醒 几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区 域A的测度(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状 无关，如(3).
考点一 与长度、角度有关的几何概型
【例 1】 (1)(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为56，则 m＝________. (2)如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°，高 AD＝ 3， 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，则 BM<1 的概率为 ________．
3．几何概型的概率计算公式 在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)＝
.
构成事件A的测度
试验的全部结果所构成的测度
辨析感悟
1．对几何概型的理解
(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本事件就是从某个
特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到
的机会相等．
(√)
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图
记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM<1”，
则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生．
由几何概型的概率公式得 P(N)＝3705°°＝25.
答案
(1)3
2 (2)5
规律方法 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和 对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时， 用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算， 即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数 之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
(2)(2012·北京卷改编)设不等式组00≤≤yx≤≤22， 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是________． 解析 (1)豆子落在正方形 EFGH 内是随机的，故可以认为豆子 落在正方形 EFGH 内任一点是等可能的，属于几何概型．因为 圆的半径为 1，所以正方形 EFGH 的边长是 2，则正方形 EFGH 的面积是 2，又圆的面积是 π，所以 P(A)＝2π.
构成事件A的区域的测度 试验的全部结果所组成的区域的测度.
【训练 2】 已知 x∈[－1,1]，＋2≥0， x－2y＋1≤0， x＋y－2≤0
内的概率为________．
解析 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积
为12×32×1＋12×32×1＝32，
【训练 1】 (1)(2014·淄博二模)设 P 在[0,5]上随机地取值，则关 于 x 的方程 x2＋px＋1＝0 有实数根的概率为________． (2)如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝ 3，BC＝1，以 A 为圆 心，1 为半径作四分之一个圆弧 DE，在∠DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为________．
知识梳理
1．几何概型
若随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区
域d中的点，这时，事件A发生的概率与d的
成正比，与d的形状和位置 率模型为几何概型．
面积、体积等)
，测则度称(这长样度的、概 无关
2．几何概型的两个特点 几何概型的两个特点：一是无限性，即在一次试验中，基本 事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事 件发生的可能性是均等的．
(2) 如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D， 且区域 D 的面积为 4，而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距 离大于 2 的区域，易知该阴影部分的面积为 4－π，因此满足条 件的概率是4－4 π.
答案
2 (1)π
4－π (2) 4
规律方法 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解 法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成 的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形 中 画 出 事 件 A 发 生 的 区 域 ， 通 用 公 式 ： P(A) ＝
3 则所求概率为2×2 2＝38.
答案
3 8
考点三 与体积有关的几何概型
【例3】 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面 ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P， 则点P到点O的距离大于1的概率为________．
解析 (1)由题意知 m＞0， 当 m≤2 时，满足|x|≤m 的概率为m4－ －－ －m2＝26m＝56， 解得 m＝52(舍去)． 当 2＜m≤4 时，所求概率为m＋6 2＝56，∴m＝3. (2)∵∠B＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝75°， 在 Rt△ADB 中，AD＝ 3，∠B＝60°， ∴BD＝tanAD60°＝1，∠BAD＝30°.
内，区域 h 为∠CAB，所以射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率
为∠∠DCAABB＝3900°°＝13.
答案
3 (1)5
1 (2)3
考点二 与面积有关的几何概型
【例2】 (1)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正 方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落 在正方形EFGH内”，则P(A)________．
形．
(√)
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． (×)
2．几何概型的计算
(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到 1 的概率是 P＝19.(×)
(5)(2013·福建卷改编)利用计算机产生 0～1 之间的均匀随机
数 a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为13.
(√)
[感悟·提升]
解析 (1)方程有实根，则 Δ＝p2－4≥0，
解得 p≥2 或 p≤－2(舍去)．
所以所求概率为55－ －20＝35.
(2)因为在∠DAB 内任作射线 AP，则等可能基本事件为“∠DAB
内作射线 AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是
∠DAB，当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在∠CAB
1．一个区别 “几何概型”与“古典概型”的区别：基本事 件的个数前者是无限的，后者是有限的．
2．一点提醒 几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区 域A的测度(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状 无关，如(3).
考点一 与长度、角度有关的几何概型
【例 1】 (1)(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为56，则 m＝________. (2)如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°，高 AD＝ 3， 在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，则 BM<1 的概率为 ________．
3．几何概型的概率计算公式 在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)＝
.
构成事件A的测度
试验的全部结果所构成的测度
辨析感悟
1．对几何概型的理解
(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本事件就是从某个
特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到
的机会相等．
(√)
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图
记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM<1”，
则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生．
由几何概型的概率公式得 P(N)＝3705°°＝25.
答案
(1)3
2 (2)5
规律方法 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和 对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时， 用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算， 即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数 之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
(2)(2012·北京卷改编)设不等式组00≤≤yx≤≤22， 表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是________． 解析 (1)豆子落在正方形 EFGH 内是随机的，故可以认为豆子 落在正方形 EFGH 内任一点是等可能的，属于几何概型．因为 圆的半径为 1，所以正方形 EFGH 的边长是 2，则正方形 EFGH 的面积是 2，又圆的面积是 π，所以 P(A)＝2π.
构成事件A的区域的测度 试验的全部结果所组成的区域的测度.
【训练 2】 已知 x∈[－1,1]，＋2≥0， x－2y＋1≤0， x＋y－2≤0
内的概率为________．
解析 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积
为12×32×1＋12×32×1＝32，
【训练 1】 (1)(2014·淄博二模)设 P 在[0,5]上随机地取值，则关 于 x 的方程 x2＋px＋1＝0 有实数根的概率为________． (2)如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝ 3，BC＝1，以 A 为圆 心，1 为半径作四分之一个圆弧 DE，在∠DAB 内任作射线 AP，则射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为________．