湖北黄冈浠水县2009届高考数学二轮专题复习--直线与圆

专题 直线与圆锥直线
专题（一） 线性规划 直线与圆 主干知识整合：
本节以直线方程的确定和直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系为重点考查内容.新高考还增加了线性规划知识点的考查.2008年几乎每省份都有一道线性规划的客观试题.但作为2009年的高考,除上述仍为热点外,还须重视线性规划在解决生产、生活中应用题中的工具性.
主要考点为：
1.直线的倾斜角与斜率，直线方程的点斜式和两点式及一般式。

两直线平行与垂直的条件。

两直线的夹角。

点到直线的距离。

2.简单的线性规划问题。

3.曲线与方程的概念。

由已知条件列出曲线方程。

4.圆的标准方程和一般方程。

圆的参数方程。

经典真题感悟：
1.（全国一10）若直线1x y
a b
+=通过点(cos sin )M αα，
，则（ D ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥C ．22111a b +≤ D ．2211
1a b +≥
2.（山东卷12）设二元一次不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ，使
函数y ＝a x
(a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是C （A ）[1,3] (B)[2,10] (C)[2,9] (D)[10,9]
3.（湖北卷9）过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有C
A.16条
B. 17条
C. 32条
D. 34条 热点考点探究：
考点一：直线的斜率与倾斜角，直线方程的探求
例1.已知点A(1,2x)、B(2,x 2-3),试讨论：实数x 为何值时，过A 、B 两点的直线的倾斜角为0°、锐角、钝角？
解：过A 、B 两点的直线的斜率为k=1
2232---x x =x 2
-2x-3.
倾斜角为0°时，k=x 2
-2x-3=0，解得x=3或-1；倾斜角为锐角时，k=x 2
-2x-3＞0，解得x ＞3
或x ＜-1；倾斜角为钝角时，k=x 2
-2x-3＜0，解得-1＜x ＜3.
综上，x=3或-1时，过A 、B 两点的直线的倾斜角为0°；x ＞3或x ＜-1时，过A 、B 两点的直线的倾斜角为锐角；-1＜x ＜3时，过A 、B 两点的直线的倾斜角为钝角.
例2 已知两圆⊙22111:30C x y D x E y +++-=和⊙22
122:30
C x y
D x
E y +++-=都经过点A(2,－1),则同时经过点(D 1,E 1)和点(D 2,E 2)的直线方程为( )
A. 220x y -+=
B. 20x y --=
C. 20x y -+=
D. 220x y +-=
解析】选A.
将点A(2,－1)代入方程得1122
220
220D E D E -+=⎧⎨-+=⎩,即直线220x y -+=过点(D 1,E 1)和点
(D 2,E 2).
【点评】上述求直线方程运用了”设而不求”,这是解析几何中一种十分重要的解法.
考点二：直线与圆的位置关系
例3. 将圆2
2
240x y x y +-+=按向量(1,2)a =-平移后得⊙O,直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点,若⊙O 在上存在一点C,使OC OA OB a λ=+=,求直线l 的方程及对应的点C 的坐标. 【解析】将圆2
2
240x y x y +-+=化为标准方程为2
2
(1)(2)5x y -++= 按向量平移(1,2)a =-后得⊙O 方程为2
2
5x y +=. ∵OC OA OB a λ=+=,且||||OA OB =,
,//AB OC OC a ∴⊥
12AB k ∴=
,设直线l 的方程为1
,2
y x m =+ 由221...........................(1)2
5............................(2)y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩
将(1)代入(2),整理得22
544200()x mx m ++-=*,设1122(,),(,)A x y B x y ,则
114,5x y m +=-12848
,(,)555
y y m OC m m +==-
因为点C 在圆上,故
2248
()()555
m m -+=,解之得5m =±,此时(*)式221620(420)3000m m ∆=--=>. 所求的直线l 的方程为2
2450x y -+=,对应C 点坐标为(－1,2),或直线l 方程为
22450x y --=,相应C 点坐标为(1,－2).
【点评】本题解答的关键是对条件OC OA OB a λ=+=的解读,即由OC OA OB a
λ=+=
与||||OA OB =,可推理出//AB OC OC a ⊥及,而1
(1,2),2
AB a k =-∴=
,近两年新高考中把解析几何与向量综合起来,解答时准确读向量的条件往往是破题的关键.
考点三：线性规划
例4. (1)在平面直角坐标系中,对于点(,x y ),满足: 0||||1xy x y ≥+≤且,目标函数
22
21
y z x -=
+,那么满足2z =-的解 (,x y )有 ( )
A. 0个
B. 1个
C.2个
D. 无数个
(2)已知实数系数方程2
(1)10x m x m n +++++=的两个实根分别为12,x x ,且
1201,1x x <<>,则
n
m 的取值范围是 ( )
A. 1(2,)2-
B. 1(2,)2--
C. 1
(1,)2
--
D. (2,1)--
【解析】(1)选B
据已知可得关于,x y 的约束条件为0
01x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
或001x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥-⎩
,故可行域如图: 由于221
2,2121
y y z x x --=
=++ 故使得2z =-即为使得
1
121
y x -=-+ 即使得可行域内的点与点1(,1)2-连线的斜率为－2,易知过1
(,1)2
-且斜率为－2的直线与
可行域只有一个交点,故解的个数也只有1个.
(2)选A.
设2
,()(1)1f x x m x m n =+++++,由已知有
(0)10
(1)230
f m n f m n =++>⎧⎨
=++<⎩ ∵
00n n m m -=-表示如图中区域点与原点连线的斜率,故可求得1(2,)2n m ∈--.
考点四：求圆的方程
例5.（江苏卷18）设平面直角坐标系xoy
中，设二次函数
()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：
（Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程；
（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．
【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）； 令()2
20f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2
x 2
0y Dx Ey F ++++=
令y ＝0 得20x Dx F ++=这与2
2x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0 得2
y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为2
2
2(1)0x y x b y b ++-++=. （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．
证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝02
＋12
＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0，
所以圆C 必过定点（0，1）． 同理可证圆C 必过定点（－2，1）．
规律总结
1. 出现含参数的直线或圆的方程为条件时,要从方程形式的代数特征入手,挖掘参数的几何特征,尤其对讨论位置关系问题,把握好参数几何特征,结合几何图形的背景可大大简化计算.
2. 圆的方程呈现多种形式,一般方程、参数方程及标准方程,它们分别显现不同的代数特征和三角特征.我们运用圆方程时,恰当选择,可以方便求方程或讨论圆的性质.
3.线性规划是概念性极强的内容:可行域实质上是约束条件的交集;可行解是可行域内的点的坐标;而最优解是可行域内的极限点,最后还要优中选优(尤其对与线性规划相关的应用问题求解更应注意这一点).
专题能力训练： 一．选择题：
1、若α是直线的倾斜角，则sin(45º-α)的值属于 D A )2
2
,22(-
B[-22,22] C(-1, 22) D[-1, 22] 2、两条直线ax+y-4=与x-y-2=0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是 （ A ）
A -1<a<2
B a>-1
C a<2
D a<-1或a>2
3、曲线y 2=4x 关于直线x=2对称的曲线方程是 C
A 、y 2=8－4x
B 、y 2=4x －8
C 、y 2=16－4x
D 、y 2=4x －16
4、1)1()1(22≤-+-y x 是1|1||1|≤-+-y x 的__C____条件
A 、充分不必要条件
B 、充要条件
C 必要不充分条件
D 、既不充分也不必要条件 5、方程2)1(11||--=-y x 所表示的曲线是 D
A ．一个圆
B ．两个圆
C ．半个圆
D ．两个半圆
二．填空题：
6．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB 于A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 的取值范围是 ．
π022⎛
⎤- ⎥⎝
⎦， 7．设有一组圆2
2
4
*
:(1)(3)2()k C x k y k k k -++-=∈N ．下列四个命题： Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不．相交 Ｄ．所有的圆均不．
经过原点 其中真命题的代号是 BD ．（写出所有真命题的代号）
三．解答题：
8．设有半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇.设A 、B 两人速度一定，其速度比为3:1，问两人在何处相遇？
9．已知圆22(4)25x y ++=的圆心为1M ，圆22(4)1x y -+=的圆心为2M ，一动圆与这两个圆都外切.
（1）求动圆圆心P 的轨迹方程； （2）若过点2M 的直线与（1）中所求轨迹有两个交点A 、B ，求11||||AM BM ⋅的取值范围.
10．在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴上给定A 、B 两点，在x 轴正半轴上求一点C ，使ACB ∠取得最大值．
11．如图，已知：射线OA 为(0,0)y kx k x =>>，射线OB 为(0)y kx x =->，动点(,)
P x y 在AOX ∠的内部，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N （1）当k 为定值时，动点P 的纵坐标y 是横坐 标x 的函数，求这个函数()y f x =的解析式；
（2）根据k 的取值范围，确定()y f x =的定义域
8. 解：如图建立平面直角坐标系，由题意 可设A 、B 两人速度分别为3v 千米/小时 ， v 千米/小时，再设出发x 0小时，在点P 改变 方向，又经过y 0小时，在点Q 处与B 相遇. 则P 、Q 两点坐标为（3vx 0, 0），（0,vx 0+vy 0）.
由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2
知，………………3分
（3vx 0）2+(vx 0+vy 0)2=(3vy 0)2
, 即0000()(54)0x y x y +-=. 00000,54x y x y +>∴=……①………………6分
将①代入0003
,.34
PQ PQ x y k k x +=-
=-得……………8分 又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在y 轴上的截距就是两个相遇的位置. 设直线223:94
y x b O x y =-++=与圆相切，
15
3,
.4
b =∴=
……………………11分 答：A 、B 相遇点在离村中心正北3
34
千米处………………12分
9解：（1）∵|PM 1|-5=|PM 2|-1，∴|PM 1| - |PM 2|=4
∴动圆圆心P 的轨迹是以M 1、M 2为焦点的双曲线的右支。

c=4，a=2，b 2
=12，
故所求轨迹方程为24x －2
12
y =1（x ≥2）。

…………4分
（2）当过M 2的直线倾斜角不等于
2
π
时，设其斜率为k ， 直线方程为 y=k(x-4)
与双曲线 3x 2-y 2
-12=0联立，消去y 化简得
(3-k 2)x 2+8k 2x-16k 2
-12=0 …………6分 又设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1>0，x 2>0
由2
122
21224228031612036416(3)(43)0k x x k k x x k k k k ⎧+=>⎪-⎪
⎪+=>⎨-⎪
⎪=+-+>⎪⎩
△解得 k 2
>3。

…………8分
由双曲线左准线方程 x=-1且e=2，有|AM 1|·|BM 1|=e|x 1+1|·e|x 2+1|=4[x 1x 2+(x 1+x 2)+1] =4(2216123
k k +-+2283k k -+1)=100+23363k - …………10分
∵k 2
-3>0，∴|AM 1|×|BM 1|>100
又当直线倾斜角等于
2
π
时，A(4，y 1)，B(4，y 2)，|AM 1|=|BM 1|=e(4+1)=10 |AM 1|·|BM 1|=100 故 |AM 1|·|BM 1|≥100。

…………12分 10．解：设,ACB BCO αβ∠=∠=，再设(0,)A a 、B （0，b ）、C （x ，0）．
则tan(),a x αβ+= tan b
x β=． …………3分
tan tan[()]ααββ=+-tan()tan 1tan()tan 12
a b
x x ab
x αββαββ-
+-==
++⋅+
a b ab x x -=
=
+．…………10分 当且仅当,ab
x x =
∵2,x ab =
∴,x tan α有最大值,
， ∴ tan y x =在(0,)2π
内为增函数．
∴ 角α
的最大值为．此时C
点的做标为…………12分
11. 解：（1）设M(a ，ka)，N(b ，-kb)，(a>0，b>0)。

则
由动点P 在∠AOx 的内部，得0<y<kx 。

∴
，
∴S 四边形ONPM =S △ONP +S △OPM =1
2（|OM|·|PM|+|ON|·|PN|）
=12[a(kx-y)+b(kx+y)]=1
2
[k(a+b)x - (a-b)y]=k ∴k(a+b)x-(a-b)y=2k ①
又由k PM = -
1k =y ka x a --， k PN =1k =y kb x b
+-， 分别解得21x ky a k +=
+，2
1x ky b k -=+，代入①式消a 、b ，并化简得x 2-y 2=k 2
+1。

∵y>0
，∴y =
（2）由0<y<kx ，得
⇔
22
2222101x k x k k x
⎧-->⎪⎨--<⎪⎩
⇔
222
(1)1x k x k ⎧⎪⎨-<+⎪⎩ ②
(*) 当k=1时，不等式②为0<2恒成立，∴(*)⇔
当0<k<1时，由不等式②得222
1
1k x k +<-
，x <(*)
⇔
x <
<。

当k>1时，由不等式②得22
211k x k +>-，且22
1
01k k
+<-，∴(*)
⇔x >但垂足N 必须在射线OB 上，否则O 、N 、P 、M 四点不能组成四边形，所以还必须满足条
图2
图1
件：1y x k <
1x k
x <<，或x ∈k （0<k ≤1）.
综上：当k=1时，定义域为{x|x>2}；
当0<k<1时，定义域为x <<};
当k>1时，定义域为x <<}.。