中考数学一轮复习 第一讲 数与代数 第二章 方程(组)与不等式(组)2.3 一元二次方程课件

diǎn)(kǎo
1
3.因式分解法
用因式分解求一元二次方程的解的方法叫做因式分解法.用因式分解法解一元二次方程的一般步
骤是:①将方程的一边化为0;②将方程另一边 因式分解 ;③令含有未知数的每个一次因式等
于0;④解这两个一元一次方程.
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考点(kǎo
diǎn)扫描
考点3
考点1(kǎo diǎn)
解答.用配方法解一元二次方程的一般步骤是:①
( x+k )2=a的形式;⑤
2.公式法
开平方求解
移项 ;②化二次项系数为1;③配方;④化成
.
公式法解一元二次方程就是用一元二次方程的求根公式求有实数根的一元二次方程.一元二次方程
,它是通过用配方法求解一般形式的一元
-± 2 -4
2-4ac≥0
x=
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的
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考点2
(kǎo diǎn)3
考点(kǎo diǎn)
考点1(kǎo diǎn)
【答案】 ( 1 )换元;转化.
( 2 )设x2-2x=t,
原方程化为t2+t-6=0,解得t1=-3,t2=2.
当t=-3时,x2-2x=-3,即x2-2x+3=0,此方程无实数解;
当 t=2 时,x2-2x=2,解得 x1=1+ 3,x2=1- 3,
所以原方程的解为 x1=1+ 3,x2=1- 3.
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考点(kǎo diǎn)
考点1(kǎo diǎn)
考点2(kǎo diǎn)3
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一元二次方程的应用( 8年4考 )
列一元二次方程解应用题中,经济类和面积类问题是常考类型,解决这些问题应掌握以下内容:
1.增长率问题
设a是基础量,x为平均增长率,连续增长2次,b为增长后的量,则a( 1+x )2=b;当x为平均下降率,连续
考点1(kǎo diǎn)
考点2(kǎo diǎn)3
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一元二次方程根的判别式及根与系数的关系( 8年1考 )
1.根的判别式的定义:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0( a≠0 )的根的判别式为
b2-4ac .
2.判别式与根的关系:
( 1 )b2-4ac>0⇔一元二次方程 有两个不相等 的实数根;
( 2 )①x1=1,x2=8.②x2-( 1+n )x+n=0.
( 3 )x2-9x=-8,
81
81
2
x -9x+ =-8+ ,
-
9 2
2
4
=
9
7
x- =± ,
2
2
49
,
4
4
所以x1=1,x2=8.
所以猜想正确.
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考点(kǎo
diǎn)扫描
考点(kǎo diǎn)
考点1(kǎo 考点3
( 1 )尝试:分解因式:x2+6x+8=( x+
)( x+
( 2 )应用:请用上述方法解方程:x2-3x-4=0.
【答案】 ( 1 )2;4.
( 2 )∵x2-3x-4=0,
∴( x+1 )( x-4 )=0,
则x+1=0或x-4=0,
解得x=-1或4.
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);
考点(kǎo diǎn)
1 diǎn)
考点2(kǎo diǎn)3
易错警示
1.使用一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系时,必须将一元二次方程转化为一般式
ax2+bx+c=0,以便确定a,b,c的值.
2.正确理解“方程有实根”的含义.若有一个实数根,则原方程为一元一次方程;若有两个实数根,则
原方程为一元二次方程.在解题时,要特别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字,挖
)பைடு நூலகம்
( n为人数
);送礼物总份数为n( n-1 )( n为人数 ).
2
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考点(kǎo diǎn)
考点2
(kǎo diǎn)3
考点1(kǎo diǎn)
典例3 ( 2018·江苏盐城 )一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大
销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销
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考点(kǎo
diǎn)扫描
考点(kǎo diǎn)
考点1(kǎo 考点3
diǎn)2
【解析】( 1 )①( x-1 )2=0,解得x1=x2=1,即方程x2-2x+1=0的解为x1=x2=1;②( x-1 )( x-2 )=0,解
得x1=1,x2=2,即方程x2-3x+2=0的解为x1=1,x2=2;③( x-1 )( x-3 )=0,解得x1=1,x2=3,即方程x24x+3=0的解为x1=1,x2=3.( 2 )根据以上方程特征及其解的特征,可猜想方程x2-9x+8=0的解为
( 2 )b2-4ac=0⇔一元二次方程 有两个相等 的实数根;
( 3 )b2-4ac<0⇔一元二次方程 没有 实数根.
3.根与系数的关系:如果一元二次方程ax2+bx+c=0( a≠0 )的两根分别是x1,x2,则


x1+x2=-,x1·x2=.
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考点(kǎo
考点(kǎo diǎn)
∴k=1,∴x1·x2=k2-k=0,∴12 -x1x2+22 = 12 + 22 =4.
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考点(kǎo diǎn)
考点2
(kǎo diǎn)3
考点1(kǎo diǎn)
初高中衔接
用换元法解一元高次方程
在数学中常常会出现一些高次方程求解问题,解这类问题的核心思想是降次,而换元法是
diǎn)2
典例1
( 1 )根据要求,解答下列问题:
①方程x2-2x+1=0的解为
;
②方程x2-3x+2=0的解为
;
③方程x2-4x+3=0的解为
;
…
( 2 )根据以上方程特征及其解的特征,请猜想:
①方程x2-9x+8=0的解为
;
②关于x的方程
的解为x1=1,x2=n.
( 3 )请用配方法解方程x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正确性.
原方程化为y2-5y+4=0 ①,解得y1=1,y2=4.
当y=1时,x2=1,∴x=±1;
当y=4时,x2=4,∴x=±2.
∴原方程的解为x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.
解答问题:
( 1 )填空:在由原方程得到方程①的过程中,利用
法达到了降次的目的,体现了
数学思想.
( 2 )解方程:( x2-2x )2+x2-2x-6=0.
掘出它们的隐含条件,以免陷入关键字的“陷阱”.
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考点(kǎo 考点
diǎn)(kǎo
1 diǎn)
考点2(kǎo diǎn)3
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典例2
( 2018·江苏泰州 )已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是
(
)
A.x1≠x2
B.x1+x2>0
C.x1·x2>0
2.3
一元二次方程
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掌握数字系数的一元二次方程的解法( 公式法、配方法(fāngfǎ)、因式分解法 ),会列一元二次方程解简
单的应用题.
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2016—2018 年安徽中考命题分析
2019 年安徽中考命题预测
题
年份 考查点
题号 分值
型
考查内容:应用公式法、配方法、因式分解
diǎn)2
提分训练
1.由多项式乘法:( x+a )( x+b )=x2+( a+b )x+ab,将该式从右到左使用,即可得到“十字相乘法”
进行因式分解的公式:x2+( a+b )x+ab=( x+a )( x+b ).
示例:分解因式:x2+5x+6=x2+( 2+3 )x+2×3=( x+2 )( x+3 ).
D.x1<0,x2<0
【解析】∵Δ=( -a )2-4×1×( -2 )=a2+8>0,∴x1≠x2,结论A正确;
∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,∴x1+x2=a,∵a的值不确定,
∴B结论不一定正确;∵x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,
∴x1·x2=-2,结论C错误;∵x1·x2=-2,∴x1,x2异号,结论D错误.
(
b
)
2
二次方程推导出来的.用公式法解一元二次方程的一般步骤是:①化一元二次方程为一般形式
;②确定
各项系数;③求出b2-4ac的值;④ 代入求根公式 ;⑤求出两根.
ax2+bx+c=0( a≠0且b2-4ac≥0 )的求根公式是
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考点(kǎo
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diǎn)
2
考点3
考点(kǎo 考点
x1=1,x2=8;关于x的方程x2-( 1+n )x+n=0的解为x1=1,x2=n.( 3 )根据配方法解一元二次方程的
步骤进行求解即可.
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考点1(kǎo diǎn)
考点3
2
考点(kǎo diǎn)
【答案】 ( 1 )①x1=x2=1.②x1=1,x2=2.③x1=1,x2=3.
2
考点(kǎo diǎn)
特别提醒
( 1 )若方程符合a( x-n )2=m( am≥0,a≠0 )的形式,用直接开平方法解方程比较简单; ( 2 )对于一
元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0( a≠0 )而言,当b=0时,用直接开平方法求解较好;一般方程
ax2+bx+c=0( a≠0 ),当c=0时,用因式分解法比较简单;一般方程ax2+bx+c=0( a≠0 ),当a,b,c不缺项且
选
法解一元二次方程以及会列一元二次方程
一元二次方程的
2018
4
择 7
解应用题.
根的判别式
题
考查题型:试题可能出现于选择题、填空题
和解答题中,难度中等.多年来它都在中考中
选
直接出题,同时,一元二次方程和函数有密切
2017 列一元二次方程 择 8
4
联系,考生需要加以重视.
题
中考趋势:2019 年中考还将考查解一元二次
【答案】 A
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考点(kǎo
考点(kǎo diǎn)
1 diǎn)
考点2(kǎo diǎn)3
提分训练
2.( 2018·湖北荆州 )关于 x 的一元二次方程 x2-2kx+k2-k=0 的两个实数根分别是 x1,x2,
且12 + 22 =4,则12 -x1x2+22 的值是 4 .
【解析】∵x2-2kx+k2-k=0 的两个实数根分别是 x1,x2,∴x1+x2=2k,x1·x2=k2-k,
∵12 + 22 =4,∴( x1+x2 )2-2x1x2=4,即( 2k )2-2( k2-k )=4,
整理得 k2+k-2=0,解得 k=-2 或 1,∵Δ=( -2k )2-4×1×( k2-k )≥0,k≥0,
不易分解因式时,一般采用公式法;配方法也是一种重要的解题方法,当二次项系数为1,二次项
系数为偶数时,应用该法比较简单.
一般来说,在一元二次方程四种解法中,优先选取顺序依次为直接开平方法→因式分解法→公式法→配
方法.
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考点(kǎo
diǎn)扫描
考点(kǎo diǎn)
考点1(kǎo 考点3
解
方程.
2016 解一元二次方程 答 16
8
题
第三页，共二十九页。
考点(kǎo
diǎn)扫描
diǎn)2
考点(kǎo 考点
diǎn)1(kǎo 考点3
一元二次方程的解法( 8年3考 )
1.配方法
配方法解一元二次方程就是通过配方把一元二次方程变形为( x+k )2=a( a≥0 )的形式,再用开平方法
下降2次,b为下降后的量,则a( 1-x )2=b.
2.面积问题
( 1 )如图1,设空白部分的宽为x,则S阴影= ( a-2x )( b-2x ) .
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考点(kǎo diǎn)
考点(kǎo
考点1(kǎo diǎn)
2 diǎn)3
( 2 )如图2、图3、图4,设阴影道路的宽为x,则S空白=
售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.
( 1 )若降价3元,则平均每天销售数量为
件;
( 2 )当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?
【解析】( 1 )根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多
售出2×3=6件,即平均每天销售数量为20+6=26件;( 2 )利用商品平均每天售出的件数×每件
( 3 )如图5,栏杆总长为a,BC的长为b,则S阴影=
.
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( a-x )( b-x )
-
·b
2
.
考点(kǎo diǎn)
考点1(kǎo diǎn)
考点2(kǎo diǎn)3
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3.行程问题
时间×速度=路程.
4.握手、单循环赛与送礼物问题
握手、单循环赛总次数为
( -1
最主要的方法.所谓换元法,是指把方程中某些代数式用新的变量代替,使方程的次数降低,从而
化难为易,使问题得以解决.
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考点(kǎo diǎn)
考点1(kǎo 考点
diǎn)(kǎo
2 diǎn)3
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提分训练
3.为解方程x4-5x2+4=0,我们可以将x2视为一个整体,然后设x2=y,则x4=y2,