专题03 坐标变化类规律问题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法

专题03 坐标变化类规律问题
一、单选题
1．育红中学八五班的数学社团在做如下的探究活动：在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到点1A ，第2次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则22021OA A △的面积是（ ）
A ．1009
B ．10112
C ．505
D ．10092
【答案】D
【分析】 先根据点15913,,,A A A A 的坐标归纳类推出一般规律，从而可得点2021A 的坐标，再根据点2A 的坐标可得22021A A 的值，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
由题意得：点1A 的坐标为1(0,1)A ，
点5A 的坐标为5(2,1)A ，
点9A 的坐标为9(4,1)A ，
点13A 的坐标为9(6,1)A ，
归纳类推得：点43n A -的坐标为43(22,1)n A n --，其中n 为正整数，
202145063=⨯-，
∴点2021A 的坐标为2021(25062,1)A ⨯-，即2021(1010,1)A ，
又2(1,1)A ，
22021101011009A A ∴=-=，且22021OA A △的22021A A 边上的高为1，
则22021OA A △的面积为110091009122
⨯⨯=，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了点坐标规律探索，正确归纳类推出一般规律，求出点2021A 的坐标是解题关键．
2．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 2C 3C 2，…按如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x +1和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则B n 的坐标是（ ）
A ．（2n ﹣1，2n ﹣1）
B ．（2n ﹣1，2n ﹣1）
C ．（2n ﹣1，2n ﹣1）
D ．（2n ﹣1，2n ﹣1）
【答案】D
【分析】
由123B B B ，，的规律写出n B 的坐标．
【详解】 ∵点B 1的坐标为（1，1），点B 2的坐标为（3，2），
∴点B 3的坐标为（7，4），
∴Bn 的横坐标是：2n ﹣1，纵坐标是：2n ﹣1．
则B n 的坐标是（2n ﹣1，2n ﹣1）．
故选：D ．
【点睛】
本题考查点的坐标规律探索，观察图形前面某些点的坐标，找出规律后再写出图形一般点的坐标． 3．如图，小球起始时位于(3,0)处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于(1,0)处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是(0,1)，那么小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）
A．(3,4)B．(5,4)C．(7,0)D．(8,1)
【答案】D
【分析】
根据题意，可以画出相应的图形，然后即可发现点所在的位置变化特点，即可得到小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置．
【详解】
如图，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是(0,1)
小球第二次碰到球桌边时，小球的位置是(3,4)
小球第三次碰到球桌边时，小球的位置是(7,0)
小球第四次碰到球桌边时，小球的位置是(8,1)
小球第五次碰到球桌边时，小球的位置是(5,4)
小球第六次碰到球桌边时，小球的位置是(1,0)
……
∵2020÷6=336 (4)
∴小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是(8,1)
故选D
【点睛】
本题考查坐标位置，解答本题的关键是明确题意，发现点的坐标位置的变化特点，利用数形结合的思想解
答．
4．如图，过点A 1（1，0）作x 轴的垂线，交直线y =2x 于点B 1；点A 2与点O 关于直线A 1B 1对称：过点A 2（2，0）作x 轴的垂线，交直线y =2x 于点B 2；点A 3与点O 关于直线A 2B 2对称：过点A 3作x 轴的垂线，交直线y =2x 于点B 3；按此规律作下去，则点B n 的坐标为（ ）
A ．（2n ，2n -1）
B ．（2n -1，2n ）
C ．（2n +1，2n ）
D ．（2n ，2n +1）
【答案】B
【分析】 根据图形规律，确定A 1、A 2、┅坐标，再通过横坐标相同代入直线解析式中，确定B 1、B 2┅的坐标，探究发现其规律即可得到结论．
【详解】
解：∵点A 1的坐标为（1，0），∴OA 1=1
过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，可知B 1点的坐标为（1，2）
∵点A 2的坐标为（2，0），代入直线y=2x 的解析式中，得到B 2的坐标为（2，4）
又∵点A 3与点O 关于直线A 2B 2对称，∴点A 3的坐标为（4，0），B 3的坐标为（4，8）
以此类推，即可得到A n 的坐标为（2n -1，0），点Bn 的坐标为（2n -1，2n ）
故选：B ．
【点睛】
本题考查平面坐标系中点的特点，一次函数上的点的特点，探索规律．
5．在平面直角坐标系中抛物线2y x 的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（ ）
A ．(1011， 21011)
B ．(-1011， 21011)
C ．(-1010， 21011)
D ．(1010， 21011)
【答案】A
【分析】 根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y ＝x ＋2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2020的坐标．
【详解】
∵A 点坐标为（1，1），
∴直线OA 为y ＝x ，A 1（−1，1），
∵A 1A 2∥OA ，
设直线A 1A 2为y ＝x ＋b
把A 1（−1，1）代入得1=-1+b
解得b=2
∴直线A 1A 2为y ＝x ＋2，
解22y x y x
=+⎧⎨=⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩或24
x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2（2，4），
∴A 3（−2，4），
∵A 3A 4∥OA ，
设直线A 3A 4为y ＝x ＋n ，
把A 3（−2，4）代入得4＝-2＋n ，解得n=6
∴直线A 3A 4为y ＝x ＋6，
解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39
x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9），
∴A 5（−3，9）
同理求出A 6（4，16），A 7（-4,16）A 8（5，25），A 9（-5,25）A 10（6，36），A 11（-6,36）
…，
∴A 2n 为22222,22n n ⎡⎤++⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∴A 2020（1011，10112），
故选A ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3....都在x 轴上，点B 1，B 2，B 3都在直线y=x 上，△OA 1B 1，△B 1A 1A 2，△B 2B 1A 2，△B 2A 2A 3，△B 3B 2A 3....都是等腰直角三角形，且OA 1=1，则点B 2020的坐标是( )
A ．(22018，22018)
B ．(22019，22019)
C ．(22019，22020)
D ．(22020，22020)
【答案】B
【分析】 根据OA 1=1，可得点A 1的坐标为（1，0），然后根据△OA 1B 1，
△B 1A 1A 2，△B 2B 1A 2，△B 2A 2A 3，△B 3B 2A 3…都是等腰直角三角形，求出A 1A 2，B 1A 2，A 2A 3，B 2A 3…的长度，然后找出规律，求出点B 2020的坐标．
【详解】
∵OA 1=1，
∴点A 1的坐标为（1，0），
∵△OA 1B 1是等腰直角三角形，
∴A 1B 1=1，
∴B 1（1，1），
∵△B 1A 1A 2是等腰直角三角形，
∴A 1A 2=1，B 1A 2=22221112112A B A A +=+=，
同理：∵△B 2B 1A 2为等腰直角三角形，
∴A 2A 3=2，
∴B 2（2，2），
可得，B 3（22，22），B 4（32，32），…B n （12n -，12n -），
B 2020(22019，22019)，
故选B.
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b ，（k≠0，且k ，b 为常数）的图象是一条直线，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b.也考查了等腰直角三角的性质以及勾股定理.
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 关于x 轴对称，60AOC ∠=︒， 90ABC ∠=︒，2OA =，将四边形OABC 绕点O 逆时针旋转90°后得到四边形111OA B C ，依此方式，绕点 O 连续旋转2021次得到四边形202120212021OA B C ，那么点 2021B 的坐标是（ ）
A ．()31
B ．3,0
C ．()0,31-
D ．3,0
【答案】A
【分析】 连接AC 交OB 于E ．解直角三角形求出点B 的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】
解：连接AC 交OB 于E ．
由题意，2OA OC ==，60AOC ∠=︒，90ABC ∠=︒，
四边形AOCB 关于x 轴对称，
30AOE ∴∠=︒，45ABE ∠=︒，
cos303OE OA ．sin301AE EB OA ，
(31B ，0)，1(0,31)B ，2(31B ，0)，3(0,
31)B ，4(31B ，0)， 观察图象可知，4次一个循环，
202145051，
2021B 的坐标与1B 相同，
故选：A ．
【点睛】
本题考查坐标与图形的性质，旋转变换等知识，熟悉探究规律的方法是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为()()()2,0,1,2,1,2A B C --．已知()1,0N -，作点N 关于点A 的对称点N 1，点1N 关于点B 的对称点2N ，点2N 关于点C 的对称点3N 点3N 关于点A 的对称点4N ，点4N 关于点B 的对称点5N ，…，依此类推，则点2020N 的坐标为（ ）
A ．()1,8-
B ．()3,8--
C ．()3,0-
D ．（5，4）
【答案】A
【分析】
先求出N1至N6点的坐标，找出其循环的规律即可求解．
【详解】
解：由题意作出如下图形：
N点坐标为（-1，0），
N点关于A点对称的N1点的坐标为（-3，0），
N1点关于B点对称的N2点的坐标为（5，4），
N2点关于C点对称的N3点的坐标为（-3，-8），
N3点关于A点对称的N4点的坐标为（-1，8），
N4点关于B点对称的N5点的坐标为（3，-4），
N5点关于C点对称的N6点的坐标为（-1，0），此时刚好回到最开始的点N处，
∴其每6个点循环一次，
∴2020÷6=336……4，
即循环了336次后余下4，
故N2020的坐标与N4点的坐标相同，其坐标为（-1，8）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系内点的规律问题，找到点循环的规律是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA₂ A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角
OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为（）
A ．（0，21008）
B ．（21008，0）
C ．（0，21007）
D ．（21007，0）
【答案】A
【分析】 先根据等腰直角三角形的性质发现11OA =，22OA =232OA =
，…，201620172OA =的规律，
再根据8个点一循环确定2017A 的位置，得到它的点坐标．
【详解】 解：∵等腰直角三角形12OA A 的直角边1OA 在y 轴的正半轴上，且1121OA A A ==，以2OA 为直角边作第二个等腰直角三角形23OA A ，以3OA 为直角边作等腰直角三角形34OA A …
∴11OA =，22OA ，232OA =，…，201620172OA =，
∵1A 、2A 、3A …每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，
201782521÷=，
∴点2017A 在y 轴的正半轴上， ∵2016100820172
2OA ==， ∴()100820170,2
A ．
故选：A ．
【点睛】 本题考查坐标找规律，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系内点坐标的特点，以及循环问题的求解方法．
10．如图，在单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分
别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，1），A 3（0，0），则依图中所示规律， A 2019的坐标为（ ）
A ．（﹣1008，0）
B ．（﹣1006，0）
C ．（2，﹣504）
D ．（2，-506）
【答案】A 【分析】
用题中已知条件观察所给例子、图形，找出规律，再运用规律解决问题． 【详解】
依题意列出前面几个n A 的坐标如下表 A 1（2，0） A 2（1，1） A 3（0，0） A 4（2，2） A 5（4，0） A 6（1，3） A 7（-2，0） A 8（2，4） A 9（6，0） A 10（1，5） A 11（-4，0） A 12（2，6） A 13（8，0） A 14（1，7)
A 15（-6，0）
A 16（2，8）
观察表格发现：
对于n A ，当n 除以4余1时，n A 的纵坐标为0，横坐标
3
2
n +； 当n 除以4余2时，n A 的纵坐标为
n
2
，横坐标1； 当n 除以4余3时，n A 的纵坐标为0，横坐标3
2
n --；
当n 除以4，整除时，n A 的纵坐标为2
n
，横坐标2．
运用发现规律，当n=2019时，2019除以4，余3，故点2019A 的纵坐标为0，横坐标为20193
10082
--=-，所以点2019A 的坐标为（-1008，0） ．
故选：A ． 【点睛】
本题是探索规律题型．探索规律的思维模式是：观察前几例做出猜想，再验证猜想，这个过程反复进行，直到发现规律．本题的解决不仅要观察点的坐标的变化，还要观察图形中点的位置变化．
11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2020次得到正方形202020202020OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2020B 的坐标为（ ）
A ．(﹣1，1)
B ．(20)-，
C ．(﹣1，﹣1)
D ．(02)-，
【答案】C 【分析】
根据图形可知：点B 在以O 为圆心，以OB 为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论． 【详解】 解：如图，
∵四边形OABC 是正方形，且OA=1， ∴B （1，1）， 连接OB ，
由勾股定理得：OB=2，
由旋转得：OB=OB 1=OB 2=OB 3= (2)
∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，
相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB 1=∠B 1OB 2=…=45°， ∴B 1（0，2），B 2（-1，1），B 3（-2，0），B 4（-1，-1），…， 发现是8次一循环，所以2020÷8=252…4， ∴点B 2020的坐标为（-1，-1） 故选：C ． 【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
12．如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形1OAP B 的顶点A 、B 分别在x 轴、
y 轴上，点1P 在反比例函数(0)k
y x x
=>的图象上，过1P A 的中点1B 作矩形112B AA P ，
使顶点2P 落在反比例函数的图象上，再过21P A 的中点2B 作矩形2123B A A P ，使顶点3P 落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形18171819
B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点19P 的坐标为（ ）
A ．18
181
(2,
)2
B ．18
181(
,2)2
C ．15
151(2,
)2
D ．15
151(
,2)2
【答案】A 【分析】
先根据题意得出P 1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P 2，P 3的坐标，找出规律即可得出结论． 【详解】
解：∵正方形OAP 1B 的边长为1，点P 1在反比例函数y=k
x
（x ＞0）的图象上， ∴P 1（1，1）， ∴k=1，
∴在反比例函数的解析式为：y=1x
， ∵B 1是P 1A 的中点， ∴P 2A 1=AB 1=12
， ∴OA 1=2， ∴P 2（2，
12
）， 同理，P 3（22，2
12）， … ∴P n （2n-1，
1
12n -）． 当19n =时，则有
19P 的坐标为：
（182，18
1
2） 故选：A ． 【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键．
13．如图，已知点C （0，1），A （0，0），点B 在x 轴上，∠ABC=30°，在△ABC 内依次作等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA 1B 1，第2个△B 1A 2B 2，第3个△B 2A 3B 3，……，则第10个等边三角形的边长等于（ ）
A 3
B 3
C ．
11
3
2 D ．
10
32 【答案】B
【分析】
根据题目已知条件可推出，AA 1=
12B 1A 2=12A 1B 1B 2A 3=12A 2B 2n
个等边三角形的边长等于2
n
．
【详解】
如图，∵点C （0，1），∠ABC=30°，
∴OC=1， ∵∠OBA 1=30°，
∴AA 1=
12 ∵△AA 1B 1、△A 2B 1B 2为等边三角形， ∴∠A 1AB 1=∠AA 1B 1=∠A 2B 1B 2=60°，
∴∠AA 1B=∠B 1A 2B=90°，∠A 1B 1A 2=60°，则∠B 1A 1A 2=30°，
在Rt △B 1A 1A 2中，B 1A 2=
12A 1B 1
同理得：B 2A 3=
12A 2B 2=32
，
依此类推，第n
∴第10个等边三角形的边长=10
2
．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，从而归纳出边长的规律．
14．一只跳蚤在第一象限及x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→…]，且每秒跳动一个单位，那么第 2020 秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A ．(5，44)
B ．(4，44)
C ．(4，45)
D ．(5，45)
【答案】B 【分析】
根据跳蚤运动的速度确定：(0,1)用的次数是21(1)次，到(0,2)是第8(24)次，到(0,3)是第2
9(3)次，到(0,4)
是第24(46)次，到(0,5)是第2
25(5)次，到(0,6)是第48(68)次，依此类推，到(0,45)是第2025次，后退
5次可得2020次所对应的坐标． 【详解】
解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0,1)用的次数是2
1(1)次，到(0,2)是第8(24)次，到(0,3)
是第29(3)次，到(0,4)是第24(46)次，到(0,5)是第2
25(5)次，到(0,6)第48(68)次，依此类推，到(0,45)
是第2025次． 202514
2020，
故第2020次时跳蚤所在位置的坐标是(4,44)． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．
15．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）……按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P 的坐标是（ ）
A．（2021，0）B．（2020，1）C．（2021，1）D．（2021，2）
【答案】C
【分析】
分析点P的运动规律找到循环规律即可．
【详解】
解：点P坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动4个单位，
因为2021＝505×4＋1
所以，前505次循环运动点P共向右运动505×4＝2020个单位，剩余一次运动向右走1个单位，且纵坐标为1．
故点P坐标为（2021，1）
故选：C．
【点睛】
本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题．
二、填空题
16．如图，已知直线上
3
:
3
l y x
=，过点()
0,1
A作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y
轴于点1A；过点1A作y轴的垂线交直线l于点1B，过点1B作直线的垂线交轴于点2A；按此作法继续下去，则1A的坐标为_________，2020
A的坐标_________．
【答案】（0，4）（0，2020
4）
【分析】
先求出点B3，1），得到OA=1，3，求出∠AOB=60°，再求出∠130
OA B=得到
133AA AB ==，求出1A (0，4)；同理得到1143A B =，1211312A A A B ==，2A （0，24）；由此得到规律求出答案． 【详解】 将y=1代入3
3
y x =
中得x=3， ∴B （3，1）， ∴OA=1，AB=3， ∴tan ∠AOB=
3AB
OA
=， ∴∠AOB=60°， ∵∠A 1BO=90°， ∴∠130OA B =，
∴133AA =， ∴14OA =， ∴1A (0，4)；
同理：1143A B =1211312A A B =， ∴2OA =1624=， ∴2A （0，24），
，
∴点2020A 的坐标为(
)2020
0,4
，
故答案为：（0,4）；(
)2020
0,4．
【点睛】
此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，第1次将边长为1的正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后，得到正方形OA 1B 1C 1；第2次将正方形OA 1B 1C 1绕点O 逆时针旋转45°后，得到正方形OA 2B 2C 2；.....按此规律，绕点O 旋转得到正方形OA 2020B 2020C 2020，则点B 2020的坐标为______．
【答案】（-1，-1） 【分析】
根据图形可知：点B 在以O 为圆心，以OB 为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形O A 1 B 1 C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论． 【详解】
解：∵四边形OABC 是正方形，且OA =1， ∴B （1，1）；
连接OB ，由勾股定理得：OB =
2，由旋转得：OB = OB 1= OB 2=OB 32；
∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°，依次得到∠AOB =∠BO B 1=∠B 1O B 2=…=45°，
∴B 1（02），B 2（-1，1），B 3（2，0），B 4（-1，-1），...，发现是8次一循环，所以2020÷8=252 (4)
∴点B 2020的坐标为（-1，1）． 故答案为（-1，-1）．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

也考查了坐标与图形的变化、规律型，点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
18．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圆心依次是B、C、D、A 循环，则点A18的坐标是______________．
【答案】(－37，1)
【分析】
先求出A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1，二象限纵坐标都为1，三象限横坐标都为-1，四象限纵坐标都为-1；相应变化的坐标一周差8；18÷4=4…2；四周差4×8=32，四周余2，A18在第二象限，横坐标为：-5-4×8计算即可写出A18的坐标．【详解】
正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．
AB=1-（-1）=2，A1与B平行y轴，A1的横坐标为-1，纵坐标为：-1-2=-3，A1（-1，-3）
CA1=1-（-3）=4，A2与C平行x轴，A2的纵坐标为1，横坐标为：-1-4=-5，A2（-5，1）
DA2=1-（-5）=6，A3与D平行y轴，A3的横坐标为1，纵坐标为：1+6=7，A3（1,7）
AA 3=7-（-1）=8，A 4与A 平行x 轴，A 4的纵坐标为-1，横坐标为：1+8=9，A 4（9，-1）
A(1，﹣1)，A 1（-1，-3），A 2（-5，1），A 3（1,7），A 4（9，-1），A 5（-1，-11，A 6（-13，1），
每四次变化回到相同的象限，
第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为-1，第四象限纵坐标都为-1， 相应变化的坐标一周差8，
18÷4=4…2，A 18在第二象限，
4×8=32，四周差32，
A 18的横坐标为：-5-4×8=-37，
A 18（-37，1），
故答案为：（-37，1）．
【点睛】
本题考查正方形的渐开线点的规律探究问题，掌握渐开线呈周期性变化，每4次渐开线终点在相同象限，各象限都有一坐标不变，找到变化的坐标规律是解题关键．
19．如图，在平面直角坐标系，直线3:3l y x =-与x 轴交于点1B ，以1OB 为一边在1OB 上方作等边11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为一边在12A B 上方作等边212A A
B △，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为一边在23A B 上方作等边323A A B △，……，则2020A 的横坐标为__________．
【答案】()2020213
2-
【分析】
先根据直线 3:3l y x =-与x 轴交于点1B ，可得1B (3,0)，O 1B =3，再过1A 作1A A ⊥O 1B 于A ，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，求得1A 的横坐标为33122
=⨯，过2A 作212⊥A B A B 于B ，求得2A 的横坐标为332⨯，过3A 作323⊥A C A B 于C ，求得3A 的横坐标为372
⨯，同理可得 4A 的横坐标为3152⨯，由此可得，n A 的横坐标为()3212n -，进而求得点2020A 的横坐标是()20203212
-． 【详解】
解：由直线3:3l y x =-与x 轴交于点1B ， 可得()()
13,0,0,3-B D ，
∴111,60OB OB D =∠=︒，
如图所示，过1A 作11⊥A A OB 于A ，
则11322
=
=OA OB ， 即1A 的横坐标为33122=⨯， 由题意可得121130A B B OB D ∠=∠=︒，2111160B A B A B O ∠=∠=︒，
∴11290A B B ∠=︒，
∴121126A B A B ==，
过2A 作212⊥A B A B 于B ，
则112132A B A B ==， 即2A 的横坐标为333322+=⨯， 过3A 作323⊥A C A B 于C ，同理可得3A 横坐标为372
⨯， 同理可得，4A 的横坐标为3152
⨯
， 由此可得，n A 的横坐标为()3212n -， 点2020A 的横坐标是()()20202020321321=22
--，
故答案为()
20203212-．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等边三角形性质应用，解题的关键是根据性质找出规律，求得坐标．
20．如图，将边长为1的正三角形OAP 沿x 轴正方向连续翻转2020次，点P 依次落在点P 1，P 2，P 3，…，P 2020的位置，则点P 2020的横坐标为_____．
【答案】2020
【分析】
根据图形的翻转，分别得出P 1、P 2、P 3…的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标．
【详解】
作PD ⊥AO 于D ，
∵三角形OAP 为等边三角形，且边长为1，
∴OD= AD=0.5，
观察图形结合翻转的方法可以得出P 1、P 2的横坐标是1，P 3的横坐标是2.5，P 4、P 5的横坐标是4，P 6的横坐标是5.5，…，
找到规律：
P 3的横坐标是：30.5 2.5-=，P 4、P 5的横坐标是：2.5 1.54+=，
P 6的横坐标是：60.5 5.5-=，P 7、P 8的横坐标是：5.5 1.57+=，
，
因为2019÷
3=673，所以P 2019的横坐标为2018.5． ∴P 2020的横坐标是2018.5 1.52020+=．
故答案为：2020．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出P 1、P 2、P 3…的横坐标，找到规律是解答此题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，等边111A B C ∆，等边222A B C ∆，等边333A B C ∆，……中11A B ，22A B ，33A B ，……平行于x 轴，点1C ，2C ，3C ，……在y 轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点， 11A B ，22A B ，33A B ，……的长依次为3，23，33，……以此类推， 则等边202020202020A B C 的顶点2020A 的坐标为___．
【答案】(10)--
【分析】
如图，11223344A A A A B ，B ，B ，B 分别交x 轴于点1234D D D D ，，，,连接1234OA OA OA OA ，，，，
根据等边三角形的性质得11223311223330A A A D A OA OA D ∠=∠=∠=︒D D O D D ，则利
用含30的直角三角形三边关系得到1112223331322OD A D OD A D OD A D =，=1，=， 从而得到123A A A ，，的坐标，然后利用这些坐标的变换规律写出点2020A 的坐标．
【详解】
如图，11223344A A A A B ，B ，B ，B 分别交x 轴于点1234D D D D ，，，,连接1234OA OA OA OA ，，，， 112233A A A B ，B ，B ，，平行于x 轴，
111122223333C D A B C D A B C D A B ∴⊥⊥⊥，，，
111222333
A B C A B C A B C ，，都是等边三角形，
11112222333311122222
A A
B A A B A D A B ∴===D =D == ∴所有等边三角形的三边垂直平分线的交点在原点，
11223330A OA OA D ∴∠=∠=∠=︒O D D
1112223331332332
OD A D OD A D OD A D ∴==，==1，==
1231322A A A ∴)，，)
等边202020202020A B C 的顶点2020A 的坐标为12-⨯=-，纵坐标为202010102
-
=-
即2020A (10)--
故答案为：(10)--
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，点坐标与象限等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 22．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD 是正方形，()1,1A -，()1,1B --，()1,1C -，()1,1D ．曲线123AA A A 叫做“正方形的渐开线”，其中弧1AA 、弧12A A 、弧23A A 、弧34A A …所在圆的圆心依次是点B 、C 、D 、A 循环，则点2015A 坐标是__________．
【答案】()14031,
【分析】
先分别求出A 1的坐标是（-1，-3），A 2的坐标是（-5，1），A 3的坐标是（1，7），A 4的坐标是（9，-1），从中找出规律，依规律计算即可．
【详解】
解：从图中可以看出A 1的坐标是（-1，-3）
A 2的坐标是（-5，1）
A 3的坐标是（1，7）
A 4的坐标是（9，-1）
2015÷4=503 (3)
∴点A 2015的坐标是A 3的坐标循环后的点．
依次循环则A 2015的坐标在x 轴上的是1，
y 轴上的坐标是可以用n=（1+2n ）（n 为自然数）表示．
那么A 2015实际上是当n=2015时的数，所以（1+2×
2015）=4031． A 2015的坐标是（1，4031），
故答案为：（1，4031）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解，发现规律，理解“正方形的渐开线”是解答此题的关键．
23．如图，边长为4的等边ABC ，AC 边在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，以OB 为边作等边1OBA △，边1OA 与AB 交于点1O ，以1O B 为边作等边12O BA △，边12O A 与1A B 交于点2O ，2O B 为边作等边23O BA △，边23O A 与2A B 交于点3O …依此规律继续作等边1n n O BA -△，记1OO A △的面积为1S ，121O O A △的面积为2S ，232O O A △的面积为3S …11n n n O O A --△的面积为n S ，则n S =______（2n ≥，且n 为整数）．
【答案】1334n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【分析】 首先根据等边三角形的性质得到1121232~~OO A O O A O O A △△△…，11~n n n O O A --△，进而得到相似比，进而得到面积比，求出11AOO S S =△，然后写出2S 、3S …n S 后即可总结得到规律．
【详解】
由题意：1121232~~OO A O O A O O A △△△…，11~n n n O O A --△，相似比：1113sin 60O A OO OA OA ==
︒=， ∵1113132AOO S S ==⨯⨯=△，2134S S =， ∴2134S S =，23134S S ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，11133344n n n S S --⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：13342
n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，考查较为综合，重点是弄清图像变化形式．
24．如图，直线OD 与x 轴所夹的锐角为30°，
1OA 的长为2，121A A B 、232A A B △、3431n n n A A B A A B +⋅⋅⋅△△均为等边三边形，点1A 、2A 、31n A A -⋅⋅⋅在x 轴正半轴上依次排列，点1B 、2B 、3n B B ⋅⋅⋅在直线OD 上依次排列，那么点2B 的坐标为______，点n B 的坐标为______．
【答案】(6,3 ()
1132
32n n --⨯． 【分析】 根据等边三角形的性质和∠B 1OA 2=30°，可求得∠B 1OA 2=∠A 1B 1O=30°，可求得OA 2=2OA 1=4，同理可求得OA n =2n ，再结合含30°角的直角三角形的性质可求得△A n B n A n+1的边长，进一步可求得点B n 的坐标．
【详解】
解：∵112A B A △为等边三角形，∴11260∠=︒B A A ，
∵1230B OA ∠=︒，∴121130B OA A B O ∠=∠=︒，
可求得2124OA OA ==，同理可求得2n n OA =，
∵130n n B OA +∠=︒，160n n n B A A +∠=︒，∴2n n n n B A OA ==，
即1n n n A B A +△的边长为2n ，则可求得其高为132322n n -⨯=⨯， ∴点n B 的横坐标为：132223222
n n n n ⨯+=⨯=⨯， ∴点n B 的坐标为()1132,32n n --⨯⨯，点2B 的坐标为()6,23．
故答案为：()6,23；()
1132
,32n n --⨯⨯． 【点睛】 本题属于规律型问题，考查点的坐标，掌握等边三角形的性质为解题关键．
25．如图，点A 1、A 2、A 3、…、A n 在抛物线y ＝x 2图象上，点B 1、B 2、B 3、…、B n 在y 轴上，若△A 1B 0B 1、△A 2B 1B 2、…、△A n B n ﹣1B n 都为等腰直角三角形（点B 0是坐标原点），则△A 2020B 2019B 2020的腰长＝_____．
【答案】20202【分析】
作A 1C ⊥y 轴，A 2E ⊥y 轴，垂足分别为C 、E ，根据等腰直角三角形的性质设点1A 的坐标为(),a a ，求出a 的值，从而得到点1B 的坐标，然后用同样的方法依次求其他的点坐标，从而发现这些等腰直角三角形腰长的规律，最终求出结果．
【详解】
解：如图，作A 1C ⊥y 轴，A 2E ⊥y 轴，垂足分别为C 、E ，
∵△A 1B 0B 1、△A 2B 1B 2都是等腰直角三角形，
∴B 1C ＝B 0C ＝DB 0＝A 1D ，B 2E ＝B 1E ．
设A 1（a ，b ），则a ＝b ，将其代入解析式y ＝x 2得：
∴a ＝a 2，
解得：a ＝0（不符合题意）或a ＝1，
由勾股定理得：A 1B 0＝2， ∴B 1B 0＝2，
过B 1作B 1N ⊥A 2F ，设点A （x 2，y 2），
可得A 2N ＝y 2﹣2，B 1N ＝x 2＝y 2﹣2，
又点A 2在抛物线上，所以y 2＝x 22，
（x 2+2）＝x 22，
解得x 2＝2，x 2＝﹣1（不合题意舍去），
∴A 2B 1＝22，
同理可得：
A 3
B 2＝32，
A 4
B 3＝42，
…
∴A 2020B 2019＝20202，
∴△A 2020B 2019B 2020的腰长为：20202．
故答案为20202．
【点睛】
本题考查点坐标找规律，解题的关键是掌握二次函数的性质和等腰直角三角形的性质．
26．如图，点A 1（2，2）在直线y x =上，过点1A 作11//A B y 轴交直线12
y x =于点1B ，以点1A 为直角顶点，A 1B 1为直角边在A 1B 1的右侧作等腰111Rt A B C ，再过点1C 作22//A B y 轴，分别交直线y x =和12y x =
于22,A B 两点，以点2A 为直角顶点，22A B 为直角边在22A B 的右侧作等腰222Rt
A B C ，按此规律进行下去，则等腰333Rt A B C 的面积为_____；等腰202020202020Rt A B C 的面积为____．
【答案】8132 40381322⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
【分析】 利用一次函数的解析式，分别作出等腰直角三角形的直角边的长，探究规律后，解决问题即可．
【详解】
解：∵点111(2,2),//A A B y 轴交直线12
y x =于点1B ， 1(2,1)B ∴，
11211A B ∴=-=，
即111A B C △的面积21
1122
=⨯=， 11111AC A B ==，
2(3,3)A ∴，
又由22//A B y 轴交直线12
y x =于点2B ， 233,2B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
， 2233322
A B ∴=-=， 即222A B C △的面职2139228
⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， 以此类推，3394
A B =，
即333A B C △面积2
19812432
⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， ……， 132n n n A B -⎛⎫= ⎪⎝⎭，
n n n A B C 的面积211322n -⎡⎤⎛⎫=⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， 当2020n =时，
202020202020A B C △的面积为：
2
20191322⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 40381322⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭． 故答案为：40388113,32
22⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭．
【点睛】 本题考查一次函数图象上的点的特征，等腰直角三角形的判定和性质，正比例函数的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
27．如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为()2,4，以点O 为圆心，以1OA 长为半径画弧，交直线12
y x =
于点1B ．过1B 点作12//B A y 轴，交直线2y x =于点2A ，以O 为圆心，以2OA 长为半径画弧，交直线12y x =于点2B ：过点2B 作23//B A y 轴，交直线2y x =于点3A ，以点O 为圆心，以3OA 长为半径画弧，交直线
12
y x =
于点3B ；过3B 点作34//B A y 轴，交直线2y x =于点4A ，以点O 为圆心，以4OA 长为半径画弧，交直线12y x =于点4B ，…按照如此规律进行下去，点2020B 的坐标为___________．
【答案】()202120202
,2
【分析】 根据题意可以求得点B 1的坐标，点A 2的坐标，点B 2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点B 2020的坐标．
【详解】
由题意可得，
点A 1的坐标为(2，4)，
设点B 1的坐标为(a ，
12
a )， ∵OB 1=OA 1， 2
2221242a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
解得：4a =，
∴点B 1的坐标为(4，2)，
同理可得，点A 2的坐标为(4，8)，点B 2的坐标为(8，4)，
点A 3的坐标为(8，16)，点B 3的坐标为(16，8)，
……
∴点B 2020的坐标为(20212，20202)，
故答案为：(20212，20202)．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标的变化规律以及两点之间的距离公式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．
28．在平面直角坐标系中，直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ，如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -，使得点1A 、2A 、3A ⋅⋅⋅在直线l 上，点1C 、2C 、3C ⋅⋅⋅在y 轴正半
轴上，则201620172016A A B △的面积是______．
【答案】40292
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征找出A 1、A 2、A 3、A 4的坐标，结合图形即可得知点B n 是线段C n A n+1的中点，由此即可得出点B n 的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：观察，发现：A 1（1，0），A 2（2，1），A 3（4，3），A 4（8，7），A 5（16，15），A 6（32，31），…， ∴A n （2n-1，2n-1-1）（n 为正整数）．
观察图形可知：点B n 是线段C n A n+1的中点，
∴点B n 的坐标是（2n-1，2n -1），A n （2n-1，2n-1-1）（n 为正整数），
∴△A n A n+1B n 的面积是12
（2n-1）2=22n-3， ∴△A 2016A 2017B 2016的面积=22×2016-3=24029，
故答案为：24029．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“A n （2n-1，2n-1-1）（n 为正整数）”是解题的关键．
29．如图所示，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位长度，依次得到点1(0,1)P ，2(1,1)P ，3(1,0)P ，4(1,1)P -，5(2,1)P -，6(2,0)P ，…，则点2020P
的坐标是______．
【答案】(673,1)-
【分析】
观察题图可知，先根据P 3(1，0)， P 6 (2，0)，即可得到P 3n (n ，0)，P 3n+1(n ，-1)，再根据P 3×673(673，0) ，可得P 2019 (673，0)，进而得到P 2020(673，-1)．
【详解】
由图可知P 3(1，0)， P 6 (2，0)，···，P 3n (n ，0)，P 3n+1(n ，-1)，
∵3×673=2019，
∴P 3×673(673，0) ，即P 2019 (673，0)，
∴P 2020(673，-1)．
故答案为：(673,1)-．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是根据图形的变化规律得到P 3n (n ，0)．
30．如图，在平面直角坐标系中有一个等边OBA △，其中A 点坐标为()1,0，将OBA △绕顶点A 顺时针旋转120︒，得到11AO B ；将得到的11AO B 绕顶点B 顺时针旋转120︒，得到112B AO ；然后再将得到的112B AO 绕顶点2O 顺时针旋转120︒，得到222O B A …按照此规律，继续旋转下去，则2014A 点的坐标为________．。