中考数学复习微专题：用顶点坐标解抛物线平移的问题(pdf版)

用顶点坐标解抛物线平移的问题
我们知道，抛物线的开口方向和形状由二次项系数a 确定，其位置由抛物线的顶点坐标确定.因此要确定一个二次函数的解析式或图象，只需要确定二次项系数a 和顶点坐标.本文以各地中考试题为例对抛物线的平移问题作一简单的概括和分析，以供读者参考.
一、主要题型及解题策略
题型1 已知原抛物线和平移过程，求平移后的新抛物线.
策略 先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标;根据平移过程，确定平移后新抛物线的顶点坐标;再由新抛物线的顶点坐标和a 的值求出新抛物线解析式 题型2 已知原抛物线和平移后的新抛物线，求平移过程.
策略 先将原抛物线和平移后的新抛物线的解析式化为顶点式，确定其顶点坐标;再由原抛物线的顶点坐标平移到新抛物线顶点坐标来确定抛物线的平移过程.
注 特殊问题用特殊的方法(注意数形结合的思想).
二、常见题型的解题分析
1.求平移后抛物线的解析式
例1 将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个 单位长度后，得到的抛物线的解析式为( )
(A) 2(1)4y x =-+
(B) 2(4)4y x =-+
(c) 2(2)6y x =++
(D) 2(4)6y x =-+
解 抛物线223y x x =-+的顶点坐标为(1,2)，将点(1 ,2)向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位得到点的坐标为(4,4) ,然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 2(4)4y x =-+.故选B.
2.求平移前抛物线的解析式
例 2抛物线，2
y x bx c =++的图象先向右平移2个单位，再向下平移3 个单位，所得图象的函数解析式为2(1)4y x =--，则b 、c 的值为( )
(A) 2,6b c ==- (B) 2,0b c ==
(C) 6,8b c =-= (D) 6,2b c =-=
分析 抛物线2(1)4y x =--的顶点坐标为(1，－4)，因为它是由2y x bx c =++的顶
点坐标先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，所以2y x bx c =++的顶点为(－1,－1)，其平移前的抛物线为22(1)12y x x x =+-=+，即2,0b c ==.故选B.
例3 如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线
是21y x =+，则原抛物线的解析式不可能的是( )
(A) 21y x =- (B) 265y x x =++
(C) 244y x x =++ (D) 2817y x x =++
分析 函数21y x =+的顶点坐标为(0,1)
抛物线21y x =-的顶点坐标为(0，－1)，将(0，－1)向上平移1个单位，再向上平移1个单位，得到(0,1).即抛物线21y x =-向上平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线21y x =+.故A 正确.
抛物线265y x x =++的顶点坐标为(－3，－4)，(－3，－4)无法经两次简单变换得到 (0，－1).即抛物线265y x x =++无法经两次简单变换得到21y x =+.故B 不正确. 抛物线244y x x =++的顶点坐标为(－2,0)，将－2,0)向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到(0,l).即抛物线244y x x =++向右平移2个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线21y x =+.故C 正确.
抛物线2817y x x =++的顶点坐标为(－4,1)，将(－4,1)向右平移2个单位，再向右平移2个单位，得到(0,1).即抛物线2
817y x x =++向右平移2个单位，再向右平移2个单位，可得到抛物线21y x =+.故D 正确.
故答案选B. 3.求抛物线的平移过程
例4 要将抛物线223y x x =++平移后得到抛物线2y x =，下列平移方法正确的是
( )
(A)向左平移1个单位，再向上平移2个单位
(B)向左平移1个单位，再向下平移2个单位
(C)向右平移1个单位，再向上平移2个单位
(D)向右平移l 个单位，再向下平移2个单位
分析 抛物线223y x x =++的顶点坐标为(－1,2)，新抛物线2y x =的顶点坐标为(0,0).将点(－1,2)平移到点(0,0)的过程为:向右平移1个单位，再向下平移2个单位.故选D. 例5若把函数y x =的图象用(,)E x x 记，函数21y x =+的图象用(,21)E x x +记，…则2(,21)E x x x -+可以由2(,)E x x 怎样平移得到( )
(A) 向上平移1个单位 (B)向下平移1个单位
(C)向左平移1个单位 (D)向右平移1个单位
分析 2
(,21)E x x x -+和2(,)E x x 表示的函数图象是抛物线(解析式分别为221y x x =-+和2y x =);其顶点坐标分别为(1,0)和(0,0)，将点(0,0)平移到点(1 ,0)的过程为向右平移1个单位.故选D.
4.求经过一个定点的抛物线解析式
例6如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点A (0,3)，那么所得新抛物线的表达式是 .
分析 设将抛物线221y x x =+-向上平移m 个单位，其图象经过A (0,3)，则其顶点 由(－1，－2)平移到顶点(－1,2m -)，新抛物线为2(1)2y x m =++-;将点A (0,3)代入，解得m =4.故新抛物线的表达式为:2(1)2y x =++.
5.抛物线不动，求平移坐标系，后抛物线的解析式
例7 在平面直角坐标系中，如果抛物线23y x =不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是( )
(A) 23(3)3y x =-+ (B) 23(3)3y x =--
(C) 23(3)3y x =++ (D) 23(3)3y x =+-
分析 原抛物线23y x =不动，把x 轴、y 轴分别向上、向右平移3个单位，相当于坐标系不动，把原抛物线23y x =，分别向下、向左平移3个单位.其顶点由(0,0)平移到顶点 (－3，－3)，故新抛物线的解析式为2
3(3)3y x =+-.故选D.
6.求满足某些特殊条件的平移方法
例8 将抛物线C :2310y x x =+-平移到C '.若两条抛物线,C C '关于直线1x =对称，则下列平移方法中正确的是( )
(A)将抛物线C 向右平移52个单位 (B)将抛物线C 向右平移3个单位
(C)将抛物线C 向右平移5个单位
(D)将抛物线C 向右平移6个单位
分析 抛物线C ：2310y x x =+-的顶点坐标为349(,)24
-
-，新抛物线与原抛物线关于直线1x =对称，即新抛物线的顶点与原抛物线的顶点也关于直线1x =对称，所以新抛
物线的顶点坐标为749(,)24-，即将抛物线C 向右平移5个单位得到C '.故选C。