2017-2018学年广西宾阳县宾阳中学高一5月月考数学试题

宾阳中学2018年春学期5月段考试题
高一数学
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中有且只有一个正确.）
1.cos15=（ ）
A ．
4 B ．4．4
．4
2.已知向量(3,1)a =--，(1,2)b =-，则32a b -=（ ）
A ．(7,1)
B ．(7,1)--
C ．(7,1)-
D ．(7,1)-
3.函数y = ） A ．5[2,2]()4
4k k k Z π
πππ+
+
∈ B ．5[,]()44
k k k Z ππ
ππ++∈ C ．[2,2]()k k k Z πππ+∈ D ．[,]()k k k Z πππ+∈ 4.已知向量(1,)a m =，(3,2)b =-，且()0a b b +⋅=，则m =（ ） A ．8- B ．6- C ．6 D ．8 5.已知向量a ，b 不共线，()c ka b k R =+∈，d a b =-.若//c d ，则（ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向
6.已知α为第四象限的角，sin cos αα+=
，则cos 2α=（ ）
A ．．7.已知函数1cos 2()sin cos 4cos 22
x x x
f x a x +=
-的最大值为2，则常数a 的值为（ ）
A ．． 8.已知ABC ∆中，90C ∠=，3C
B CA ==，AB
C ∆所在平面内的一点M 满足11
33
AM AB AC =
+，则
MB MC ⋅=（ ）
A ．1-
B ．3-
C ．．3
9.在ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=，则C 等于（ ） A ．
6π B ．4π C ．3
π D ．23π
10.将函数()22f x x x =
+的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则
()4
g π
=（ ）
A ．2
B ．1- 11.已知向量(cos ,sin )a x x =，[0,]x π∈，(3,3)b =-，则a b ⋅的取值范围是（ ）
A ．[3,3]-
B ．[-
C ．[-
D ．[- 12.已知函数()sin 2cos cos 2sin f x x x ϕϕ=+()x R ∈，其中ϕ为实数，且2()()9
f x f π
≤对任意x R ∈恒成立，记5(
)18p f π=，5()6q f π=，7()6
r f π
=，则p ，q ，r 的大小关系是（ ） A ．r p q << B ．q r p << C ．p q r << D ．q p r <<
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上）
13.已知向量a ，b 满足1a b a b ==+=，则向量a ，b 的夹角等于 ．
14.已知向量a ，b 的夹角为120，2a =.若()(2)0a b a b +⋅-=，则b 在a 上的投影为 ． 15.4cos10tan80-= ．
16.在平面直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，x 轴的正半轴为始边，若终边经过
00(,)P x y ，且(0)O P rr =>，
定义：00
y x sos r
θ+=，称“sos θ”为“正余弦函数”.对正余弦函数y sosx =，有同学得到以下性质：
①该函数的值域为[； ②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线34
x π
=
对称；
④该函数为周期函数，且最小正周期为2π； ⑤该函数的单调递增区间为3[2,2]()44
k k k Z ππ
ππ-
+∈. 上述性质正确的是 ．（填上所有正确性质的序号）
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知两个不共线的向量a ，b ，满足3a =，1b =，它们的夹角为3
π
.求xa b -的最小值及对应的实数x 的值，并判断此时向量a 与向量xa b -是否垂直. 18.已知向量2(
,)22
a =-，(sin ,cos )
b x x =，(0,)2x π∈.
（1）若a 与b 的夹角为
3
π
，求x 的值； （2）设()f x a b =⋅，若存在(0,)2x π
∈，使不等式()f x m ≤成立，求实数m 的取值范围.
19.已知函数()sin()(0,0)3
f x A x A π
ωω=+>>，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点
(3π. （1）求()f x 函数的解析式；
（2）若角α满足()()12
f π
αα+-
=，(0,)απ∈，求α的值.
20.已知向量(2cos ,sin )a x x =，向量(sin(),2cos())33
b x x π
π
=++，()1f x a b =⋅-，求： （1）()f x 的最小正周期及单调区间；
（2）是否存在ABC ∆，使角A ，B 是方程()0f x =的两不等实根？若存在求内角C 的大小，若不存在说明理由.
21.如图所示，在ABO ∆中，14OC OA =
，1
2
OD OB =，AD 与BC 相交于点M ，设OA a =，OB b =.
（1）试用向量a ，b 表示OM ；
（2）过点M 作直线EF ，分别交线段AC ，BD 于点E ，F .记OE a λ=，OF b μ=，求证：1
3
λ
μ
+
为
定值.
22.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移2
π
个单位长度. （1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2） 已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[0,2)π内有两个不同的解α、β. （i ）求实数m 的取值范围；
（ii ）证明：2
2cos()15
m αβ-=-.
宾阳中学2018年春学期5月段考高一数学
参考答案
一、选择题
1-5: BBADD 6-10: ACACB 11、12：CD
二、填空题
13. 120 14. 1
8
-
15. ①④⑤ 三、解答题
17.解：∵3cos
3
2
a b a b π
⋅==
， ∴2
2
2
22xa b x a xa b b -=-⋅+2
2
139319()6
4
x x x =-+=-+
，
∴当16x =
时，xa b -取最小值，最小值为. ∵2
13
()9062
a xa
b xa a b ⋅-=-⋅=⨯-=， ∴a 与xa b -垂直.
18.解：（1）依题意，1a =，1b =，
由cos 3
a b a b π
⋅=，即
1sin 222x x -=，化简得1sin()42x π-=，
因为(0,
)2
x π
∈，所以46
x π
π
-
=
，得512
x π
=
. （2）依题意，min ()m f x ≥，
2()sin cos 22
f x a b x x =⋅=
-sin()4x π=-，
∵02
x π
≤≤
，∴4
4
4
x π
π
π
-
≤-
≤
，故()f x 的最小值为2
-
，
所以实数m 的取值范围是[)+∞. 19.解：（1）由已知，()f x 的最小正周期为2π，∴1ω=，
又∵()3
f π
=
，即sin()33A ππ+=1A =， 所以()sin()3
f x x π
=+
.
（2
）∵()()12f π
αα-=
，得sin())1323
πππ
αα++-+=，
即sin())133ππ
αα+
+=，
∴1
sin 2
α=，
∵(0,)απ∈，∴6πα=或56
π
α=.
20.解：（1）()1f x a b =⋅-2sin()cos 2cos()sin 133x x x x π
π=+++-2sin(2)13
x π
=+-，
∴()f x 的最小正周期等于π.
由222232k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
()k Z ∈，得51212k x k ππ
ππ-
≤≤+()k Z ∈，
由3222232k x k πππππ+≤+≤+
()k Z ∈，得71212
k x k ππ
ππ+≤≤+()k Z ∈， ()f x 的单调递增区间为5[,]1212
k k ππ
ππ-+()k Z ∈， 单调减区间为7[,]1212
k k ππππ++()k Z ∈. （2）由()0f x =，即1
sin(2)32
x π+=，
∴2236x k πππ+=+或52236
x k ππ
π+=+
()k Z ∈， 得12
x k π
π=-
或4
x k π
π=+
()k Z ∈，
∵0A π<<，0B π<<，0A B π<+<，
∴对任意整数k ，不可能存在A ，B 满足方程()0f x =.
21.解：（1）由A ，M ，D 三点共线，可设(1)OM mOA m OD =+-12
m
ma b -=+， 由B ，M ，C 三点共线，可设(1)OM nOC n OB =+-(1)4
n
a n
b =
+-， ∴14112
m n m n
⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得17m =，47n =，。