图论-拓扑排序与关键路径

图论算法
四、拓扑排序算法与关键路径
，都是在有向无今天讨论的所有算法，
今天讨论的所有算法
环图中才适用的。

1.拓扑排序
AOV(Activity On Vertex Network)顶点活动网络。

所谓AOV网，就是指一个有向无环图。

我们可以把一个AOV网形象地看成是一个大任务的进行流程。

其中的子任务有一定的先后关系，必须完成一个，或某几个子任务后，才能接着完成接下来的任务。

因此，找出子任务的完成顺序就显得很有意义。

显然把每一个任务的前驱任务都放在这个任务之前，就是所有任务的完成顺序。

这样的顺序就叫做“拓扑序列”。

注意，拓扑序列是不唯一的。

构造拓扑序列的拓扑排序算法思想很简单：
1）选择一个入度为0的顶点并输出
2）然后从AOV网中删除此顶点及以此顶点为起点的所有关联边；
3）重复上述两步，直到不存在入度为0的顶点为止。

4）若输出的顶点数小于AOV网中的顶点数，则输出“有回路信息”，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。

从第四步可以看出，拓扑排序可以用来判断一个有向图是否有环。

只有有向无环图才存在拓扑序列。

算法实现：
a)数据结构：indgr[i]:顶点i的入度;
stack[]:栈
b)初始化:top=0(栈顶指针)
c)将初始状态所有入度为0的顶点压栈
d)I=0(计数器)
e)While栈非空(top>0)do
i.顶点v出栈；输出v；计数器增1；
ii.For与v邻接的顶点u do
1.dec(indgr[u]);
2.If indgr[u]=0then顶点u入栈
f)EXIT(I=|V|)
简单&高效&实用的算法。

上述实现方法复杂度O(V+E)关键路径
2.2.关键路径
如果我们已经得到了完成任务的顺序，即拓扑序列，接下来我们最关心的问题显然是完成所有的任务最少需要多长时间。

假设工程可以同时进行。

我们开始时可以人为添加2个结点，0和n+1，表示任务开始和任务全部完成。

因为所有的任务都必须完成，根据木桶原理，耗时最长的那条路显然应是完成所有任务的最少耗时。

因为先完成的任务必须等待后完成的任务才能继续下面的任务。

可以使用动态规划计算到达每一个点的耗时。

1)先对所有任务进行拓扑排序
2)time[0]=0;
3)time[i]=max{time[j]+w[j,i],0<=j<i}（j是i所有的前驱任务,w[j,i]是从j到i的耗时，如果给出的时点i的耗费，可以把所有指向i的边的耗费设为点i的耗费。

）。