福建省三明市大田县第五中学2018年高三数学文上学期期末试卷含解析

福建省三明市大田县第五中学2018年高三数学文上学
期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若非零向量，满足||=||，（2+）?=0，则与的夹角为（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
参考答案：
C
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】计算题．
【分析】由题意，可先由条件|，（2+）?=0，解出与的夹角余弦的表达式，再结合条件||=||，解出两向量夹角的余弦值，即可求得两向量的夹角，选出正确选项
【解答】解：由题意（2+）?=0
∴2?+=0，即2||||cos＜，＞+=0
又||=||
∴cos＜，＞=﹣，又0＜＜，＞＜π
∴则与的夹角为120°
故选C
【点评】本题考查数量积表示两个向量的夹角，利用向量积求两向量的夹角关键是熟记公式，能从题设中得到两向量的模与两向量内积，从而得到夹角的余弦值
2. 将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函
数的图象，则的解析式为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．2 B．1 C．D．
参考答案：
D
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC，AB⊥BC．过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O．AO BC．
【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥P﹣ABC，AB⊥BC．过点P作PO⊥底面ABC，垂足为O．AO BC．
∴该几何体的体积V=×1=．
故选：D．
4. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( )
A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若m∥α，n?α，则m∥n
参考答案：
C
考点：平面与平面垂直的判定．
专题：综合题；空间位置关系与距离．
分析：A．若m∥α，m∥β，则α∥β，可由面面平行的条件判断；
B．m∥α，m∥n，则n∥α，或n?α；
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β，可由面面垂直的判断定理作出判断；
D．m∥α，n?α，则m∥n或m，n异面．
解答：解：A．若m∥α，m∥β，则α∥β；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故不正确；
B．m∥α，m∥n，则n∥α，或n?α，故不正确；
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β；此命题正确，因为m∥β，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥α可得出n⊥α，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，正确；
D．m∥α，n?α，则m∥n或m，n异面，故不正确．
故选：C．
点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，空间中两个平面的位置关系主要有相交与平行，相交中比较重要的位置关系是两面垂直，本题考查了利用基础理论作出推理判断的能力，是立体几何中的基本．
5. 设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则且是
的（）
A．充要条件 B.充分不必要条件C．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案：
C
6. 复数的共轭复数 V
A. B. C. D.
参考答案：
A
7. 已知函数（），下列选项中不可能是函数图象的是（）
参考答案：
D
8. 将函数的图像向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标伸长为原来的2倍后得到图像，若在上关于的方程有两个
不等的实根．,则的值为( )
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
9. 已知A、B、C三点不共线，且，则=( )
A． B． C． 6 D．
参考答案：
C
10. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。

销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若直线与圆相切，则正数m=______________.
参考答案：
2
12. 已知，则_________
参考答案：
【知识点】三角函数的求值、化简与证明C7
【答案解析】由已知得到= cos2，
又因为则，则sin=，cos(2+)=cos cos-
sin sin=
【思路点拨】根据已知条件确定cos2,再去求cos(2+)。

13. 函数，则函数的零点个数是 .
参考答案：
.
试题分析：根据已知函数画出函数的图像如下图所示，由图可知，的根的个数有3个，即，，，于是当时，有2个实数根；当时，有3个实数根；当时，有2个实数根；综上所示，方程有7个实数根，即函数的零点个数有7个，故应填.
考点：1、分段函数的图像；2、函数与方程；
14. 设函数f（x）=|lgx|，若f（a）=f（b），其中0＜a＜b，则a+b取值范围是．参考答案：
（2，+∞）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0＜a＜1，b＞1，且ab=1，利用基本不
等式可求a+b的取值范围．
【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：
∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1，
∴﹣lga=lgb，
∴ab=1，
∴a+b≥2=2，
∵a≠b，
∴a+b＞2，
故答案为：（2，+∞）．
【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，利数形结合的思想方法，考查基本不等式的运用，属基础题．
15. 若复数z满足（1﹣i）z=1﹣5i，则复数z的虚部为．
参考答案：
﹣2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．
【解答】解：由（1﹣i）z=1﹣5i，
得，
则复数z的虚部为：﹣2．
故答案为：﹣2．
16. 现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数
为．
参考答案：
480
假设6个人分别对应6个空位，甲不站在两端，有4个位置可选，则其他5人对应其他5个位置,有A55=120种情况，故不同排列方法种数4*120=480种.
故答案为480.
17.
过点（1，1）作曲线y=x3的切线，则切线方程为 .
参考答案：
答案：3x－y－2=0 或3x－4y+1=0
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）设函数在点处的切线为，直线与轴相交于点.若
点的纵坐标恒小于1，求实数的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）当时，，，
所以，当时，；当时，；
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（Ⅱ）因为，
所以处切线的斜率，
所以切线的方程为，
令，得.
当时，要使得点的纵坐标恒小于1，
只需，即
令，
则，
因为，所以，
①若即时，，
所以，当时，，即在上单调递增，
所以恒成立，所以满足题意.
略
19. ( 本小题满分12分)已知数列，前项和，且方程有一根为
（＝1，2，3……）
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并给出严格证明。

（Ⅲ）设数列的前项和，试比较与的大小
参考答案：
(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．…………………… 3分
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝．…………………… 5分
(Ⅱ)由题设(S n－1)2－a n(S n－1)－a n＝0，S n2－2S n＋1－a n S n＝0．
当n≥2时，a n＝S n－S n－1，代入上式得S n－1S n－2S n＋1＝0 ①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．
由①可得S3＝．
由此猜想S n＝，n＝1，2，3，…．…………………… 7分
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即S k＝，当n＝k＋1时，由①得S k＋1＝，即S k＋1＝，
故n＝k＋1时结论也成立．…………………… 11分
综上，由(i)、(ii)可知S n＝对所有正整数n都成立．…………………… 12分
20. 已知f（x）=|x+a|，g（x）=|x+3|﹣x，记关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为M．
（1）若a﹣3∈M，求实数a的取值范围；
（2）若[﹣1，1]?M，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）将x=a﹣3代入不等式，解关于a的不等式即可；（2）得到|x+a|＜3恒成立，即﹣3﹣x＜a＜3﹣x，当x∈[﹣1，1]时恒成立，求出a的范围即可．
【解答】解：（1）依题意有：|2a﹣3|＜|a|﹣（a﹣3），
若a≥，则2a﹣3＜3，∴≤a＜3，
若0≤a＜，则3﹣2a＜3，∴0＜a＜，
若a≤0，则3﹣2a＜﹣a﹣（a﹣3），无解，
综上所述，a的取值范围为（0，3）；
（2）由题意可知，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＜g（x）恒成立，
∴|x+a|＜3恒成立，
即﹣3﹣x＜a＜3﹣x，当x∈[﹣1，1]时恒成立，
∴﹣2＜a＜2．
【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．
21. 如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；
（Ⅱ）若=，求的值．
参考答案：
考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．
专题：立体几何．
分析：（Ⅰ）连结OD，由圆的性质得OD∥AE，由AE⊥DE，得DE⊥OD，由此能证明DE是⊙O切线．
（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，则有cos∠DOH=cos∠CAB==，设OD=5x，则AB=10x，
OH=2x，AH=7x，由已知得△AED≌AHD，△AEF∽△DOF，由此能求出．
解答：（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，
又OD为半径，∴DE是⊙O切线．
（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，
cos∠DOH=cos∠CAB==，
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，
∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，
DH⊥AB，交AB于H，
∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，
又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，
∴====．
点评：本题考查圆的切线的证明，考查圆内两线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形全等和三角形相似的性质的合理运用．
22. （本小题满分12分）已知函数.
（1）若函数满足,且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当时，试比较与的大小.
参考答案：
（1）；（2）；（3）
试题分析：（1）由代入函数解得a的值，既得函数的解析式，再由
恒成立，分离变量得恒成立，利用导数求新函数
的单调性，从而得的最小值，既得实数b的取值范围；（2）先求导函数，若函数在定义域上是单调函数，则
恒成立，当时，，求函数的最大值，可得a的取值范围；当时，，由于函数无最小值，则不恒成立，可得解；（3）由（1）知在（0,1）上单调递减，则时，即，而时，
．
试题解析：（1）∵，∴a=1． f（x）=x2+x-xlnx.
由x2+x-xlnx≥bx2+2x，
令，可得在上递减，
在上递增，所以，即
（2）
，，
时，函数在单调递增．
，
，
，
，必有极值，在定义域上不单调.
（3）由（1）知在（0,1）上单调递减
∴时，即
而时，
．
考点：1、利用导数判断函数的单调性及最值；2、恒成立问题；3、不等式、函数及导函数的综合应用.。