圆锥曲线中的定值问题

圆锥曲线中的定值问题
【原题】在平面直角坐标系xOy 中,
已知点()1F
、)
2
12,2F MF MF -=,点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12
x =
上,过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ,Q 两点,且TA TB TP TQ ⋅=⋅,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】(1)
因为12122MF MF F F -=<=所以,轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支,
设轨迹C 的方程为()22
2210,0x y a b a b
-=>>,则22a =,可得1a =
,4b ==,所以,轨迹C 的方程为()2
2
1116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,若过点T 的直线的斜率不存在,此时该直线与曲线C 无公共点,不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭,即1112y k x t k =+-,联立1122121616
y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩,消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭,设点()11,A x y 、()22,B x y ,则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-,211221116216
t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-,所以,()()()()22122121
121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭,设直线PQ 的斜率为2k ,同理可得()()
2222212116t k TP TQ k ++⋅=-,
因为TA TB TP TQ ⋅=⋅,即()()
()()
22221222121211211616t k t k k k ++++=--,整理可得22
12k k =,即()()12120k k k k -+=,显然120k k -≠,故120k k +=.
因此,直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.
【就题论题】解析几何解答题与导数解答题一般常作为压轴题出现,解析几何解答题一般难在运算量大上,往年解析几何解答题一般考查椭圆与抛物线,今年是第一次在解答题中考查双曲线.
【命题意图】本题考查双曲线的定义及直线与圆锥曲线的位置关系,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难
【考情分析】解析几何解答题是每年必考题,该题一般分2问,第1问一般考查曲线的方程,第2问一般考查弦长、三角形面积、定点、定值及最值问题.
【得分秘籍】
1.圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关．
2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
【易错警示】
1.应注意平面内到两个定点F 1,F 2的距离之差等于定长2a (a >0)的点的轨迹不是双曲线；当定长2a <|F 1F 2|时,表示的只是双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时,表示的是一条射线；当2a >|F 1F 2|时,点的轨迹不存在．
2.设直线的点斜式方程或斜截式方程要先判断斜率是否存在,若有可能不存在,要讨论．
（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）
解答题
1．（2021福建省福建师范大学附属中学高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的虚轴长为4,直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线．
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A 、B ,过点(2,0)T 的直线l ,与双曲线交于两点M 、N ,直线MA 交y 轴于点P ,直线NB 交y 轴于点Q ,记PAT 面积为1S ,QBT △面积为2S ,求证：
12S S 为定值．【解析】（1）由题意可知2b =,
因为一条渐近线方程为2y x =,所以2b a
=,解得1a =,则双曲线方程为2
2
14y x -=；（2）证明：由题意可得(1,0),(1,0)A B --,
设直线1122:2,(,),(,)l x ny M x y N x y =+,
把直线方程带入双曲线方程整理可得：
22(41)16120n y ny -++=,可得1212221612,4141
n y y y y n n +=-
=--,即有12123()4ny y y y =-+,设直线方程11:(1)1y MA y x x =+-,可得11(0,)1
y P x +,设直线22:(1)1y NB y x x =--,可得22
(0,)1y Q x -,又3,1AT BT ==,所以111122212231
(1)3(3)1y x S y ny S y ny y x ++==+-12112112122121223()3433313339()34
y y y ny y y y y ny y y y y y y y -+++-====+-+-++2．（2021福建省福州市高三5月二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A ,B ,O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ,Q 在C 上.
（1）求C 的离心率；
（2）当2a =时,过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ,N 两点,直线AM ,BN 的斜率分别为1k ,2k ,试判断12
k k 是否为定值？若是,求出定值,并加以证明；若不是,请说明理由.【解析】解法一：（1）以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点坐标分别为(,0)B a ,,22a a P ⎫⎛
⎪⎝⎭,,22a a Q ⎫⎛- ⎪⎝⎭.因为P ,Q 在椭圆上,所以
22
22441a a a b ==,所以2
23a b =,
所以22222c a b b =-=,所以椭圆的离心率6
3c
e a ==
；
（2）当2a =时
,3b =,所以椭圆的方程为22
34x y +=.
12k k 为定值13
,理由如下：
①当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为1x =,则(1,1)M ,(1,1)-N ,所以1111121(2)3y k x ===+--,22211212y k x -===--,所以123
1
k
k =.
②当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为1x my =+,0m ≠,
设()11,M x y ,()22,N x y ,
不妨设210y y <<,且120y y +≠.
由22134
x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()223230m y my ++-=,2Δ16360m =+>,12223m y y m +=-+,12233
y y m =-+.要证1231k k =,只要证明：11221232
y x y x +=-,只要证：()()1221322y x y x -=+,
只要证：()()1221313y my y my -=+,
只要证：()121223my y y y =+,
因为120y y +≠,0m ≠,即证121232y y y y m
=+,因为12223m y y m +=-+,12233
y y m =-+,所以121232y y y y m =+.所以123
1k k =成立,综上所述：123
1k k =
.解法二：（1）同解法一；
（2）当2a =时
,3
b =,所以椭圆的方程为2234x y +=.设l 的方程为1x my =+,0m ≠,
设()11,M x y ,()22,N x y ,不妨设210y y <<.
由22134
x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()22 3230m y my ++-=,2Δ16360m =+>,12223m y y m +=-
+,12233y y m =-+.所以121223
y y m y y +=,即()121223my y y y =+.11122222
y k x y k x +=-1212
2
2y x x y -=+()()1212112
122133y my my y y my y my y y --==++()()12112232332y y y y y y +-=++12121312239322
y y y y +==+.综上所述：123
1k k =.解法三：（1）同解法一；
（2）当2a =时
,3
b =,所以椭圆的方程为2234x y +=.设l 的方程为1x my =+,0m ≠,
设()11,M x y ,()22,N x y ,不防设210y y <<.
由22134
x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()223230m y my ++-=,2Δ16360m =+>,12223m y y m +=-+,12233
y y m =-+.因为N 在椭圆上,所以222234x y +=,即2222430x y -+=,所以22221223
y y x x ⋅=--+.
11122222
y k x y k x +=-121222y x x y -=⋅+1212322y y x x -=⋅++,()()
1212333y y my my -=++()1221212339y y m y y m y y -=
+++2222333323933m m m m m m ⎫⎛-- ⎪+⎝⎭=⎫⎫⎛⎛-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭
229132733m m +==+.所以123
1k k =.综上所述：123
1k k =.解法四：（1）同解法一；
当2a =时
,3
b =,所以椭圆的方程为2234x y +=.设()11,M x y ,()22,N x y ,
因为M 在椭圆上,所以221134x y +=,所以11111223y y x x ⋅=-+-.所以11111
1223y x k x y -==-⋅+,同理222221223y x k x y +=
=-⋅-.设12k t k =,则()()()()21121221
2222x y x y t x y x y --==++,所以122211 22tx y ty x y y +=-,①
12221122x y y tx y ty -=+,②
①+②得122211(1)2(1)(1)2(1)t x y t y t x y t y ++-=++-,当1t =-时得21 y y =,不合题意,舍去.
当1t ≠-时,12212(1)2(1)11t t x y x y t t --⎫⎫⎛
⎛-=- ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭
,所以直线MN 经过点2(1),01t t -⎫⎛ ⎪+⎝⎭
,又MN 过定点(1,0),故
2(1)11t t -=+,解得13t =.综上所述：123
1k k =.3．
（2021福建省三明市高三三模）在平面直角坐标系xOy 中,P 是圆22:2150E x y x ++-=上的动点,已知()1,0F ,且线段PF 的垂直平分线交PE 于Q ,设Q 的轨迹为曲线C .
（1）求C 的方程；
（2）设直线l 与C 交于A ,B 两点,若31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,且ABM 内切圆的圆心在直线FM 上,则直线l 具备以下哪个性质？证明你的结论.
①l 恒过定点,②l 的斜率恒为定值,③O 到l 的距离恒为定值.
【解析】圆E 的方程化为()22116x y ++=,的：所以圆心()1,0E -,半径4r =.
因为Q 在PF 的垂直平分线上,所以QF QP =,所以4QE QF QE QP EP +=+==.又因为2EF =,则2QE QF +>,
所以Q 的轨迹是以E ,F 为焦点,长轴长为4的椭圆,
由24a =,1c =,得b ==
所以C 的方程为22
143
x y +=
.（2）直线l 满足性质②,证明如下：
若直线l 的斜率不存在,则//AB FM ,
此时ABM 的内切圆圆心不在FM 上,不符合题意.设l 的方程为y kx m =+.联立22,1,4
3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得：()22143kx m x ++=,整理得：()222
4384120k x kmx m +++-=
.设()11,A x y ,()22,B x y ,
则11x ≠,21x ≠,且122843km x x k +=-+,212241243
m x x k -⋅=+.因为ABM 的内切圆圆心在直线FM 上,所以FM 平分AMB ∠,即直线MA ,MB 关于直线FM 对称.
又因为FM x ⊥轴,且直线MA ,MB 的斜率均存在,所以直线MA ,MB 的斜率之和为0,即12123322011y y x x -
-+=--.化为()()()()
121212*********y x x y x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--,又由11y kx m =+,22y kx m =+,整理得()()()
12121232322011kx x m k x x m x x ⎛⎫+--++- ⎪⎝⎭=--,所以22241238232043243m km k m k m k k -⎛⎫⎛⎫⋅+---+-= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭
,整理得：()2
448230k m k m +--+=.化为()()212230k k m -+-=.
若2230k m +-=,则l 过点M ,此时A ,B ,M 共线,不符合题意.所以210k -=,即12k =
.所以l 的斜率恒为定值12
.4．（2021广东省汕头市高三二模）已知双曲线方程为22221x y a b
-=,1F ,2F 为双曲线的左､右焦点,离心率为2,点P 为双曲线在第一象限上的一点,且满足120
PF PF ⋅= ,126PF PF =.（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点2F 作直线l 交双曲线于,A B 两点,则在x 轴上是否存在定点(),0Q m ,使得QA QB ⋅ 为定值,若存在,
请求出m 的值和该定值,若不存在,请说明理由.
【解析】（1）解法一：由2c e a =
=得：2c a =
,b ∴==,120PF PF ⋅= ,∴12PF PF ⊥,
在12Rt F PF 中,由122PF PF a -=得：22
2121224PF PF PF PF a +-=,代入22
212
4PF PF c +=,126PF PF =得：22
4124c a -=解得：2
3b =,2
1a =,∴双曲线方程为：22
13
y
x -=.
解法二：由2c
e a
=
=得：2c a =,b ∴==,设点()(),0P x y y >,则点P 满足22
221x y a b
-=…①,
120PF PF ⋅= ,()()222
,,0c x y c x y x c y ∴---⋅--=-+=,即222x y c +=…②,
121211
222
F PF S PF P y c F ⋅==
,即3y c ⋅=…③,则由①②得：2b y c =,代入③得：2
3b =,21a =,∴双曲线方程为：2
213
y x -=.
（2）解法一：当l 斜率为0时,:0l y =,
此时()1,0A -,()10B ,,由(),0Q m 得：21QA QB m ⋅=-
；
当l 斜率不为0时,设:2l x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立22
233
x ty x y =+⎧⎨
-=⎩得：()22
311290t y ty -++=,则236360t ∆=+>,122
1231
t y y t -∴+=
-,1229
31y y t =-,()()()()11221212
,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+
()()()()()()2
21212121222122ty m ty m y y t y y m t y y m =+-+-+=+⋅+-++-()
()()()2222129
1223131
t t m t m t t -=++-+---,令21QA QB m ⋅=- ,即()()()()222
911224531t t m m t +--=--,
解得：1m =-,则()1,0Q -,此时0QA QB ⋅=
；综上所述：存在1m =-,使得0QA QB ⋅=
；
解法二：当l 斜率为0时,:0l y =,
此时()1,0A -,()10B ,
,由(),0Q m 得：21QA QB m ⋅=-
；当l 斜率不为0时,设:2l x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立22
233
x ty x y =+⎧⎨
-=⎩得：()22
311290t y ty -++=,则236360t ∆=+>,122
1231
t y y t -∴+=
-,1229
31y y t =-,()()()()11221212
,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+
()()()()()()2
21212121222122ty m ty m y y t y y m t y y m =+-+-+=+⋅+-++-()()()()()()222
2
222
121215991222313131
t m t t m t m m t t t --+=++-+-=+----,若QA QB ⋅ 为定值,则12159
31
m -=-,1m ∴=-,()1,0Q ∴-,此时0QA QB ⋅= ；当1m =-,l 斜率为0时,210QA QB m ⋅=-=
；
综上所述,存在1m =-,使得0QA QB ⋅=
；
解法三：当l 斜率不存在时,:2l x =,此时()2,3A ,()2,3B -,若()1,0Q -,则0QA QB ⋅=
；
当l 斜率存在时,设():2l y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立()22
233
y k x x y ⎧=-⎨
-=⎩得()222234430k x k x k -+--=,则236360k ∆=+>,212243k x x k -∴+=-,2122
43
3k x x k
--=-,()()()()11221212
,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+
()()221212121224x x m x x m k x x x x =-+++-++⎡⎤⎣⎦()()()2222
1212124k x x m k x x m k =+-++++()()22
2
2222243412433k k k m k m k k k ---=+-+++--()22
2
4533m k m k +-=+-
若QA QB ⋅ 为定值,则453
1
3m +-=-,1m ∴=-,()1,0Q ∴-,此时0QA QB ⋅= ；综上所述：存在1m =-,使得0QA QB ⋅=
.
5．（2021广东省广州市高三下学期二模）已知抛物线2:2(0)C x py p =>上的点到点()0,A p 的距离的最小值为2．（1）求C 的方程；
（2）若点F 是C 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,1l 与C 交于M ,N 两点,2l 与C 交于P ,Q 两点,线段MN ,PQ 的中点分别是S ,T ,是否存在定圆使得直线ST 截该圆所得的线段长恒为定值？若存在,写出一个定圆的方程；若不存在,说明理由．
【解析】（1）设00(,)B x y 是抛物线C 上任意一点,则2
002x py =,
AB ,
因为00≥y ,所以当00y =时min AB p ==,依题意得2p =,
所以C 的方程为24x y =.
（2）因为F 是C 的焦点,所以(0,1)F ,
依题意,直线1l 的斜率k 存在且0k ≠,设1:1l y kx =+,由于12l l ⊥,则21
:1y x l k
=-
+,设1122(,),(,),(',')M x y N x y S x y ,
由2
1
4y kx x y
=+⎧⎨
=⎩消去y ,得2440x kx --=,22(4)4(4)16(1)0k k ∆=-⨯-=+>,
则124x x k +=,因为21
:1y x l k
=-
+所以2(2,21)S k k +,同理得2
22(,1)T k k -
+
则直线ST 的斜率为222
2(21)(
1)
1'22()k k k k k k k
+-+-=
=--则直线ST 的方程为22
1
(21)(2)
k y k x k k
--+=-得213
k y x k
-=+所以直线ST 恒过定点(0,3)
所以存在定圆222(3)H x y r +-=：（r 为常数,且0r ≠）,使得直线ST 截圆H 所得的线段长恒为定值
2r .
6．
（2021衡水金卷河北省高三模拟）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左､右焦点分别为12,F F ,双曲线C 的右顶点A 在圆22:2O x y +=上,且122AF AF →
→
⋅=-.
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点,且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ､N ,问(OMN O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,试说明理由.【解析】（1）设双曲线C 的半焦距为c ,由点(,0)A a 在圆22:2O x y +=上,
得a =
由221((2c c c AF AF →
→
⋅=-⋅=-=-2,得2c =,
所以2222b a c =-=,
所以双曲线C 的标准方程为22
122
x y -=.
（2）设直线l 与x 轴相交于点D ,双曲线C 的渐近线方程为y x =±当直线l 的斜率在存在时,直线l
为|x OD =
|MN =
=,得1
||||2
OMN S MN OD =
⋅= 2当直线l 的斜率存在时,设其方程为y kx m =+,显然0k ≠,则,0m D k ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
把直线l 的方程与22:2C x y -=联立得(
)
2
2
1k x -2220,
kmx m +++=
由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点,且与双曲线C 的两条渐近线分别相交可知直线l 与双曲线的渐近线不平行,所以210k -≠,且0m ≠,
于是得()()
2222
2Δ4412010
k m k m k ⎧=--+=⎪⎨-≠⎪⎩,
得(
)
2
2
210m k =->,得1k >或1k <-,设()()1122,,,M x y N x y ,
由y kx m y x =+⎧⎨=⎩
,得11m y k =-,
同理得21m
y k
=+,所以121
||2
OMN
S OD y y =- 221 2.2111m m m m k k k k =
-==-+-综上,OMN 的面积恒为定值2.
7．（河北省保定市高三二模）如图,已知双曲线2
2
:13
y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ,若点P 为双曲线C
在第一象限上的一点,且满足128PF PF +=,过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线PA 、PB 与渐近线的交点分别是A 和B
.
（1）求四边形OAPB 的面积；
（2）若对于更一般的双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
'-=>>,点P '为双曲线C '上任意一点,过点P '分别作双
曲线C '两条渐近线的平行线P A ''、P B ''与渐近线的交点分别是A '和B '.请问四边形OA P B '''的面积为定值吗？若是定值,求出该定值（用a 、b 表示该定值）；若不是定值,请说明理由.
【解析】（1）因为双曲线2
2
:13
y C x -=,由双曲线的定义可得122PF PF -=,
又因为128PF PF +=,15PF ∴=,23PF =,
因为124F F ==,所以,22
2
212
1PF F F PF +=,2PF x ∴⊥轴,
∴点P 的横坐标为2P x =,所以,22
213
P y -=,0P y > ,可得3P y =,即点()2,3P ,过点P
且与渐近线y =
平行的直线的方程为)32y x -=-,
联立)
32y y x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩,
解得1232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,
即点33122B ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,直线OP 的方程为320x y -=,点B 到直线OP
的距离为
3
2d ==
,
且OP =,因此,四边形OAPB 的面积为322
OAPB OBP S S OP d ==⋅= △；（2）四边形OA P B '''的面积为定值
1
2
ab ,理由如下：设点()00,P x y ',双曲线22
221x y
a b
-=的渐近线方程为b y x a =±,
则直线P B ''的方程为()00b
y y x x a
-=-
-,联立()00b y y x x a b y x a ⎧
-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得00
002222x a x y b
y b y x a
⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
,即点0000,2222x y a b B y x b a ⎛⎫++
⎪⎝⎭',直线OP '的方程为0
y y x x =
,即000y x x y -=,点B '到直线OP '
的距离为
d =
22
=
=
,
且OP '=
因此
,22
OA P B OB P ab
S S OP d ''''''==⋅=
△（定值）.8．
（2021湖北省黄冈市高三下学期第四次模拟）已知抛物线()2
:20M y px p =>.（1）设R 为抛物线M 上横坐标为1的定点,S 为圆2
21:24p N x y ⎫⎛-+= ⎪⎝
⎭上的上的动点,若抛物线M 与圆
N 无公共点,且RS 的最小值
2
65128
p ,求p 的值；（2）设直线AC 交抛物线M 于A ,C 两点,另一条直线BD 交抛物线M 于B ,D 两点,AC 交BD 于点
,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,且直线AC ,BD 的斜率均存在,2
OA OB p ⋅=- （O 为坐标原点）,四边形ABCD 的四条边所在直线都存在斜率,直线CD 的斜率不等于0,求证：
1
2
AB CD k k =（AB k ,CD k 分别为直线AB ,CD 的斜率）【解析】（1）据题意,RS 的最小转化为R 到圆心的最小值,根据抛物线定义再转化为到抛物线准线的距离,
得
2651112822
p
p +=+,所以813
p =-（舍）或8
5p =.
（2）证明：设()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y ,()44D x y ⋅,又2OA OB p ⋅=-
,所以2
1212x x y y p +=-,
所以22
2
22112
4y y y y p p
+=-,所以2
122y y p =-,设过点,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线AC 方程为2AC p y k x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭,
据222AC p y k x y px ⎧⎛
⎫=-⎪ ⎪
⎝
⎭⎨⎪=⎩
得2220AC AC k y py k p --=,所以213y y p =-,
设过点,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线BD 方程为2BD p y k x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭,
据222BD p y k x y px ⎧⎛
⎫=-⎪ ⎪
⎝
⎭⎨⎪=⎩
得2220BD BD k y py k p --=,可得224y y p =-,
所以
12
12
3434
AB CD
y y k x x y y k x x --=
--()()()()34122341x x y y x x y y --=--()()()()22
341222
123412=
12y y p p
y y y y y y ----34
12y y y y +=+22
1212
p p y y y y --=+212p y y =-222p p =--1
2
=.
9．（2021湖北省武汉市武昌区高三下学期5月质量检测）已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=>>
的离心率为
2
,焦距为2.（1）求椭圆C 的方程；
（2）设A ,B 为椭圆C 上两点,O 为坐标原点,1
2
OA OB k k ⋅=-,点D 在线段AB 上,且13AD AB = ,连接OD 并
延长交椭圆C 于E ,试问
OE
OD
是否为定值？若是定值,求出定值；若不是定值,请说明理由.【解析】（1）由已知得2
2
c e a =
=
且22c =,
所以a =,1c =.所以椭圆方程为2
212
x y +=.
（2）设点()11,A x y ,()22,B x y ,()34,D x y ,
由13AD AB = ,得12312
323
23x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
,
设
OE OD
λ=,则结合题意可知OE OD λ=
,所以()33,E x y λλ.
将点()33,E x y λλ代入椭圆方程,得22
23312x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
.即2
12222
312322213223x x x y y y λ+⎛⎫
⎪+⎛⎫⎝⎭=+=+ ⎪⎝⎭
.变形,得22
221122111221
441929292x x x x y y y y λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(*)又因为A ,B 均在椭圆上,且1
2
OA OB k k ⋅=-
,所以22
1122
221212121212OA OB x y x y y y k k x x ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪
⎪
⋅=⋅=-⎪⎩
,代入(*)式解得355λ=.
所以OE OD
是定值,为35
5
λ=
.10．（2021湖南省岳阳市高三下学期一模）已知双曲线2222:1x y C a b
-=
的离心率为2,
点(P 在C 上．
（1）求双曲线C 的方程；
（2）设过点()1,0的直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,问在x 轴上是否存在定点Q ,使得QM QN ⋅
为常数？若
存在,求出Q 点坐标及此常数的值,若不存在,说明理由．
【解析】（1）由题意,2222216315,2a b c
a a
b
c ⎧-=⎪⎪
⎪=
⎨⎪+=⎪⎪⎩,解得24a =,21b =．∴双曲线方程为2
214
x y -=；
（2）设直线l 的方程为1x my =+,设定点(),0Q t ,
联立2
21
,4
1x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩
,得()
224230m y my -+-=．∴240m -≠,且(
)
2
2
41240m m =+->△,解得23m >且24m ≠．设()11,M x y ,()22,N x y ,∴12224m y y m +=-
-,12
23
4
y y m =--,∴()2121222
28
2244
m x x m y y m m -+=++=-+=--,()()()22
2
1212121222321111
44
m m x x my my m y y m y y m m =++=+++=---222
4420
444
m m m +=-=----．∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=-⋅-=--+
()222
12121222222083823444444
t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--
+-+=-++----为常数,与m 无关,
∴8230t -=,即23
8t =,此时27364QM QN ⋅= ．
∴在x 轴上存在定点23,08Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
,使得QM QN ⋅ 为常数．11．
（2021湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校高三下学期联考）已知椭圆
2222C :1(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12,直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（1）求椭圆C 的方程及A 点坐标；
（2）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ,F 两点,记点A 在x 轴上的投影为G ,T 为BG 的中点,直线AE ,AF 与x 轴分别交于M ,N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值,求出此定值；否则,请说明理由．
【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ,则12
c a =,则224a c =,22223b a c c =-=,所以椭圆C 的方程为：22
22143x y c c
+=,将椭圆C 的方程与直线l 的方程联立得：222430x x c -+-=,
所以244(43)0c ∆=-⨯-=,解得：21c =,
所以24a =,2
3b =,故椭圆C 的方程为22
143x y +=,此时将21c =代入222430x x c -+-=得：2210x x -+=,
所以1x =,此时32y =
.所以A 点坐标为3(1,)2；（2）将0y =直线122
y x =-+联立,得到4x =,所以(4,0)B .因为31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,(4,0)B ,所以5(,0)2T ,①当斜率0EF k =时,(2,0)M -,(2,0)N 或(2,0)N -,(2,0)M ,
9||2TM =,1||2TN =或9||2TN =,1||2
TM =,此时有9||||4TM TN ⋅=
,②当斜率0EF k ≠时,设EF l ：4x ny =+,代入22143
x y +=得：22(34)24360n y ny +++=,设11(,)E x y ,22(,)F x y ,
所以1222434n y y n -+=+,1223634
y y n =+,所以AE l ：11332(1)21
y y x x --=--,则113(1)(1,0)23x M y ---,111111113(1)3(1)(66)9(22)3533||12232232(23)223
x x n y n y TM y y y y --++++=-+=+==⋅----同理,22(22)33||223
n y TN y ++=⋅-,所以1212(22)3(22)39||||42323n y n y TM TN y y ++++⋅=
⋅⋅--,对分子：
[][]22
12121229(31620)(22)3(22)3(22)3(22)()934n n n y n y n y y n y y n ++++++=+++++=+对分母：212121229(31620)(23)(23)46()934
n n y y y y y y n ++--=-++=+,所以9||||4TM TN ⋅=
.综上,9||||4TM TN ⋅=为定值.12．（202江苏省扬州中学高三下学期最后一模1）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
的离心率为2
,椭圆过点31,2P ⎛
⎝⎭
（1）求椭圆C 的标准方程:
（2）设点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点,M 、N 为椭圆C 上异于A 、B 的两点,满足//AM BN ,判断OMN 的面积是否为定值,并给出理由.
【解析】（1）由题意得22222321314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
,解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,则椭圆C 的标准方程:2
214x y +=
（2）设()11,M x y 、()22,N x y ,由题意得直线AM 、BN 的斜率存在,
设直线AM 的方程为()2y k x =+,设直线BN 的方程为1y kx =+,由2
214(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()
222241161640k x k x k +++-=,显然0∆>,212164241k x k --=+,解得2122841k x k -=+,即222284,4141k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
,由2
2141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()224180k x kx ++=,显然0∆>,解得22841k x k =-+,即222148,4141k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
-,
易得OM =,直线OM 的方程为110y x x y -=,所以点N 到直线OM
的距离为d =所以2221122222111841428122241414141
OMN k k k k S OM d x y x y k k k k ---=⋅=-=⋅-⋅=++++△,所以OMN 的面积为定值
1.
13．（2021江苏省南京师范大学附属中学高三下学期模拟）在平面直角坐标系xOy 中,已知点E (0,2),以OE 为直径的圆与抛物线C ∶x 2=2py (p >0)交于点M ,N (异于原点O ),MN 恰为该圆的直径,过点E 作直线交抛物线与A ,B 两点,过A ,B 两点分别做拋物线C 的切线交于点P .
（1）求证∶点P 的纵坐标为定值；
（2）若F 是抛物线C 的焦点,证明∶∠PFA =∠PFB .
【解析】（1）以OC 为直径的圆为x 2+(y -1)2=1.
由题意可知该圆与抛物线交于一条直径,
由对称性可知交点坐标为(1,1),(-1,1)
代入抛物线方程可得2p =1.
所以抛物线的方程为x 2=y .
设A 2
11(,)x x ,B 222(,)x x ,所以22121212
AB x x k x x x x -==+-所以直线AB 的方程为21121()()y x x x x x -=+-,
即1212().
y x x x x x =+-因为直线AB 过点C (0,2),
所以122x x -=,所以122x x =-①.
因为'2y x =,所以直线PA 的斜率为12x ,直线PB 的斜率为2
2x 直线PA 的方程为21112()y x x x x -=-,
即2112y x x x =-,
同理直线PB 的方程为222
2y x x x =-联立两直线方程,可得P 1212(,)2
x x x x +由①可知点P 的纵坐标为定值-2.
（2）cos ||||FA FP PFA FA FP ⋅∠=⋅ ,cos ||||
FB FP PFA FB FP ⋅∠=⋅ ,注意到两角都在(0,)π内,
可知要证PFA PFB ∠=∠,即证(*)||||
FA FP FB FP FA FB ⋅⋅= ,2111(,4FA x x =- ,129(,)24x x FP +=- ,所以22212111191777((41)24441616
x x FA FP x x x x +⋅=⋅--=--=-+ ,
又211||4
FA x ==+ ,所以74||FA FP FA ⋅=- ,同理7,(*)4||
FB FP FB ⋅=- 式得证.14．（2021江苏省苏锡常镇四市高三3月调研）已知O 为坐标系原点,椭圆2214
x C y +=：的右焦点为点F ,右准线为直线n .
（1）过点(4,0)的直线交椭圆C 于,D E 两个不同点,且以线段DE 为直径的圆经过原点O ,求该直线的方程；（2）已知直线l 上有且只有一个点到F 的距离与到直线n
的距离之比为2
.直线l 与直线n 交于点N ,过F 作x 轴的垂线,交直线l 于点M .求证：||||
FM FN 为定值.【解析】（1）设过点(4,0)的直线为(4)y k x =-交于椭圆()()
1122,,D x y E x y 联立2
214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()
222241326440k x k x k +-+-=()221222
121212221223212414164164441k x x k k y y k x x x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎡⎤∴=-++=⎨⎣⎦+-⎪=⎪+⎩又因为以线段DE 为直径的圆经过原点,则21212276419·0,4119
k OD OE x x y y k k -=+==∴=±+
则所求直线方程(4)19
y x =±-（2）已知椭圆2214x y +=的离心率为32
,右准线直线n
的方程为x =因为直线l 上只有一点到F 的距离与到直线n
的距离之比为2
,
所以直线l 与椭圆相切,
设直线l 的方程为y kx m =+,联立2
214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 得到：()222418440k x kmx m +++-=()()2222226444144041k m k m m k =-+-=∴=+ ①
联立x x FM m y kx m y kx m ⎧⎧==⎪⎪∴=+∴⎨⎨=+⎪⎪=+⎩⎩
点N
坐标为m ⎫+⎪⎭
得到||FN =
222
222
||31168||33FM k m km FN k m ++=++,由①22||3||3||4||2
FM FM FN FN ⇒=⇒=15．
（2021山东省泰安肥城市高三三模）已知三点(0,0)(1,2)(1,2)O A B -，，,(,)M x y 为曲线C 上任意一点,满足MA MB + ()2OM OA OB =⋅++ ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）已知点(1,2)P ,,R S 为曲线C 上的不同两点,且PR PS ⊥,PD RS ⊥,D 为垂足,证明：存在定点Q ,使||DQ 为定值．
【解析】（1）由(1,2)MA x y =--- ,(1,2)MB x y =-- 可得+(22,2)MA MB x y =--
,+MA MB ∴ ,()2(,)(2,0)222
OM OA OB x y x ⋅++=⋅+=+ 所以,
由已知得2x +,化简得24y x =,
所以,曲线C 方程为24y x =.
（2）证明：若直线RS y ⊥轴,则直线RS 与曲线C 只有一个交点,不合题意；
设直线RS 的方程为x my n =+,联立24x my n y x
=+⎧⎨=⎩,得2440y my n --=,则2=16160m n ∆+>,可得20m n +>,
设1122(,)(,)R x y S x y ，,则12124,4y y m y y n +==-,21111111(2)(2)(1,2)1,2,244y y y PR x y y y ⎛⎫-+⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ ,同理222(2)(2),24y y PS y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,因为PR PS ⊥,所以121212(2)(2)(2)(2)+(2)(2)=016
y y y y PR PS y y --++⋅=-- ,所以[]1212(2)(2)(2)(2)+16=0y y y y --++,点(1,2)P 在曲线C 上,显然12y ≠且22y ≠,所以121212(2)(2)+16=2()2048+20=0y y y y y y n m +++++=-+,所以=25n m +,
所以直线RS 的方程为(2)5x m y =++,因此直线过定点(5,2)M -,
所以PM =,且PDM △是以PM 为斜边的直角三角形,所以PM 中点(3,0)Q
满足1=
2
DQ PM 为定值,所以存在(3,0)Q 使DQ 为定值.16．（2021山东省济南市高三二模）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22
,且经过点(2,1)H
．（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()3,0P -的直线与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点()2,0G -,
若PM PG λ= ,PN PG μ= ,求证：11λμ+为定值．
【解析】（1
）由题意知22
c e a ===,则222a b =,又椭圆C 经过点(2,1)H ,所以
22
411a b +=；联立解得26a =,23b =,
所以椭圆C 的方程为22
163
x y +=．（2）证明：设直线AB 方程为3x my =-,()11,A x y ,()22,B x y ,由22316
3x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,联立消x 得()222630m y my +-+=,所以()22361220m m ∆=-+>,12262m y y m +=+,12232
y y m =+,由题意知,1y ,2y 均不为1．
设(),0M M x ,(),0N N x ,由H ,M ,A 三点共线知AM 与MH 共线,
所以()()112M M x x y x -=---,化简得11121M x y x y +=-；由H ,N ,B 三点共线,同理可得22221N x y x y +=-；由PM PG λ= ,得()()3,01,0M x λ+=,即3M x λ=+；由PN PG μ= ,同理可得3N x μ=+；所以1122121
1
111122333311M N x y x y x x y y λμ+=+=+++++++--()()1212112212
11113311y y y y x y x y m y m y ----=+=+-+-+--2121212122611111222231112m y y y y m m y y m y y m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫--++=+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭
,所以11
λμ+为定值．。