2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第二章 第六节 指数与指数函数 Word版含答案

第六节指数与指数函数
1．根式的性质
(1)(n a )n ＝a (a 使n
a 有意义)．
(2)当n 是奇数时，n
a n
＝a ；当n 是偶数时，n
a n
＝|a |＝⎩⎪⎨
⎪⎧
a ，a ≥0，
－a ，a ＜0.
❶
2．分数指数幂的意义 (1)a
m n
＝n
a m (a ＞0，m ，n ∈N *
，且n ＞1)．(2)a
-
m
n
＝1
a
m n
＝
1n a m
(a ＞0，m ，n ∈N *，且n
＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．有理数指数幂的运算性质
(1)a r ·a s ＝a r ＋
s (a ＞0，r ，s ∈Q)；(2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q)；
(3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． 4．指数函数的图象和性质❷
化简n
a n 时，一定要注意区分n 是奇数还是偶数． 1．图象问题
(1)画指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)y ＝a x 与y ＝⎝⎛⎭⎫1a x
的图象关于y 轴对称．
(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；
简记：撇增捺减．
2．函数性质的注意点
讨论指数函数的性质时，要注意分底数a ＞1和0＜a ＜1两种情况.
[熟记常用结论]
指数函数的图象与底数大小的比较：如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b .
规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)4
(－4)4＝－4.( ) (2)函数y ＝2x －1
是指数函数．( )
(3)函数y ＝a
2+1
x (a ＞1)的值域是(0，＋∞)．( )
(4)若a m ＞a n (a ＞0，a ≠1)，则m ＞n .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题
1．计算[(－2)6]1
2－(－1)0的结果为( )
A ．－9
B ．7
C ．－10
D ．9
解析：选B 原式＝2
⨯162
－1＝23－1＝7.故选B.
2．函数f (x )＝3x ＋1的值域为( ) A ．(－1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)
D ．[1，＋∞)
解析：选B ∵3x ＞0，∴3x ＋1＞1， 即函数f (x )＝3x ＋1的值域为(1，＋∞)． 3．化简－x 3
x 的结果是________． 解析：由题意知，x ＜0，
∴－x 3x ＝(－x )(－x )2x ＝－x －x x ＝－－x . 答案：－－x
4．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝a x －
2－3的图象必过定点________．
解析：令x －2＝0，则x ＝2，
此时f (x )＝1－3＝－2，
故函数f (x )＝a x －
2－3的图象必过定点(2，－2)．
答案：(2，－2)
5．若指数函数f (x )＝(a －2)x 为减函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝(a －2)x 为减函数， ∴0＜a －2＜1，即2＜a ＜3. 答案：(2,3)
考点一 指数幂的化简与求值[基础自学过关]
[题组练透]
化简下列各式：
(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214-1
2－(0.01)0.5；
(2)56
a 13·
b －2·(－3a -12b －1)÷(4a 23·b －
3)1
2； (3)
(a 23
·b －1
)-
12
·a
-
1
2
·b
1
3
6
a ·
b 5
.
解：(1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫491
2－⎝⎛⎭⎫11001
2
＝1＋14×23－110＝1＋16－110
＝1615
. (2)原式＝－52
a -1
6b －3÷(4a 2
3·b －
3)1
2
＝－54a -1
6b －
3÷(a 1
3b -3
2)
＝－54
a -
1
2·b -3
2
＝－54·1
ab 3＝－5ab 4ab 2
.
(3)原式＝
a
-1
3
b 12
·a -12
b
13
a 1
6
b
56
＝a
16
11---32·b
115
+-236
＝1a .
[名师微点]
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
考点二 指数函数的图象及应用[师生共研过关]
[典例精析]
(1)函数y ＝a x －a －
1(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )
(2)若函数y ＝|2x －1|的图象与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围为__________． [解析] (1)函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1
a 个单位长度得到的，A 项显然错误；当a ＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0＜a ＜1时，1
a ＞1，平移距离大于1，所以C 项错误．故选D.
(2)作出曲线y ＝|2x －1|的图象与直线y ＝b 如图所示．由图象可得b 的取值范围是(0,1)．
[答案] (1)D (2)(0,1) [变式发散]
1．(变条件)将本例(2)改为若函数y ＝|2x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________．
解析：因为函数y ＝|2x －1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k ≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
2．(变条件)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．
解析：作出曲线|y |＝2x ＋1的图象，如图所示，要使该曲线与直线y ＝b 没有公共点，只需－1≤b ≤1.
答案：[－1,1]
3．(变条件)将本例(2)改为直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围为__________．
解析：y ＝|a x －1|的图象是由y ＝a x 的图象先向下平移1个单位，再将x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的．
当a ＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意；
当0＜a ＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a ＜1，得到0＜a ＜1
2
.
综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭
⎫0，1
2 [解题技法]
有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．
[过关训练]
1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )
解析：选A 由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又e |x |≥1，所以f (x )的值域为(－∞，0]，排除C.
2．已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－
a ＜2c
D ．1＜2a ＋2c ＜2
解析：选D 作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图所示，因为a
＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0,0＜c ＜1，且|2a －1|＞|2c －1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c ＞1.故选D.
考点三 指数函数的性质及应用[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 比较指数式的大小
[例1] 已知f (x )＝2x
－2－x
，a ＝⎝⎛⎭⎫79-1
4，b ＝⎝⎛⎭⎫971
5，c ＝log 279
，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )
A ．f (b )＜f (a )＜f (c )
B ．f (c )＜f (b )＜f (a )
C ．f (c )＜f (a )＜f (b )
D ．f (b )＜f (c )＜f (a )
[解析] 易知f (x )＝2x
－2－x
在R 上为增函数，又a ＝⎝⎛⎭⎫79-1
4＝⎝⎛⎭⎫971
4＞⎝⎛⎭⎫971
5＝b ＞0，c ＝log 2
79＜0，则a ＞b ＞c ，所以f (c )＜f (b )＜f (a )．
[答案] B
考法(二) 解简单的指数方程或不等式
[例2] (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ，x ≥0，
2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为
________．
(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．
[解析] (1)当a ＜1时，41－
a ＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.
(2)若a ＜0，则f (a )＜1⇔⎝⎛⎭⎫12a －7＜1⇔⎝⎛⎭⎫12a ＜8，解得a ＞－3，故－3＜a ＜0； 若a ≥0，则f (a )＜1⇔a ＜1，解得a ＜1，故0≤a ＜1. 综合可得－3＜a ＜1. [答案] (1)1
2
(2)(－3,1)
考法(三) 指数函数性质的综合应用 [例3] 已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243
－＋ax x . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．
[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13-243－＋x x ，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t
在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )
，
由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞0，3a －4a ＝－1，
解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使f (x )的值域为(0，＋∞)， 应使y ＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，
因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则y ＝ax 2－4x ＋3为二次函数，其值域不可能为R)． 故a 的值为0.
[规律探求]
[过关训练]
1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
解析：选C 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5＜a ＝0.60.6＜1.又c ＝1.50.6
＞1，所以b ＜a ＜c .
2．(2019·福州模拟)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
0，x ≤0，
2x －2－x
，x ＞0，则满足f (x 2－2)＞f (x )的x 的取值范围是________________________________________________________________________．
解析：由题意x ＞0时，f (x )单调递增，故f (x )＞f (0)＝0，而x ≤0时，x ＝0， 故若f (x 2－2)＞f (x )，则x 2－2＞x ，且x 2－2＞0， 解得x ＞2或x ＜－ 2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)。