广西桂林市逸仙中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含解析

桂林市逸仙中学2020秋季学期段考试题
科目：高二数学（理科）
考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60.0分）
1. 不等式2230x x +->的解集是（ ）
A. {13}x
x -<<∣ B. {31}x
x -<<∣ C. {1x
x <-∣ 或3}x > D. {3}x
x <∣ 【答案】A 【解析】 【分析】
求出不等式2230x x +->对应方程的实数根，即可写出不等式的解集． 【详解】解：不等式2230x x +->对应的方程为2230x x +-=， 它的实数根为1-和3，
所以，该不等式的解集为{}|13x x -<<． 故选：A ．
2. 在ABC 中，135B =︒，15=︒C ，4a =，则此三角形的最大边长为（ ）
A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】 【分析】
B 角最大，则b 边最长，则由正弦定理可求解.
【详解】在ABC 中，135B =︒，15=︒C ，则30A =︒
B 角最大，则b 边最长.
由sin sin b a B A
=,
则44sin sin1351sin sin 302
2
a b B A =⋅=⨯︒=⨯=︒ 故选：C
3. 不等式360x y +-≥表示的平面区域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据线性规划的知识可得，直线一侧的平面区域内的点的坐标代入到直线方程的左侧时的值的符号一致，故考虑代(0,0)进行检验即可．
【详解】解：根据线性规划的知识可得，直线一侧的平面区域内的点的坐标代入到直线方程的左侧时的值的符号一致
故考虑代(0,0)进行检验，代入得60-≥不成立，故在360x y +-=的右侧，
不等式360x y +-≥表示的平面区域在直线360x y +-=的右上方经过第一、二、四象限． 故选：B ．
4. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若::4:5:7a b c =，则ABC 为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角
形 【答案】C 【解析】 【分析】
用余弦定理求最大边所对角. 【详解】
::4:5:7a b c =,可设457a k,b k,c k ===，
最大角为C ，()()()222
4571
cos 02455
k k k C k k
+-=
=-<⨯⨯，
所以C 为钝角. 故选:C
【点睛】此题也可以直接求222a b c +-判断其符号，从而确定角C 是钝角、锐角、直角. 5. 在等比数列{}n a 中，32a =，5a m =，78a =，则m =（ ） A. 4± B. 4 C. -4 D. 5
【答案】B 【解析】 【分析】
直接利用等比数列的等比中项求解. 【详解】因
等比数列{}n a 中，32a =，5a m =，78a =，
所以352
7a a a =⋅，即22816m ，
解得4m =±，
又因为6
7180a a q ==>， 所以10a >，
所以4
510a a q =>，
所以m =4 故选：B
6. 设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A. ac bc > B.
11a b
< C. 22a b > D. 33a b >
【答案】D 【解析】 【分析】
结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；
B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到
11
a b
<，故不正确； C 选项，由()()2
2
a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，
3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；
D 选项，()()()2
3
3
2
2
2324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤
⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
因为,a b 不同时为0，所以2
23024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝
⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，
故正确. 故选：D
【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题. 7. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若735S =，则4a =（ ） A. 8 B. 7
C. 6
D. 5
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列的前n 项公式和等差中项，可求得值. 【详解】因为174747()72722
a a a S a +⨯===，所以4735,a =，解得45a =， 故选：D
【点睛】本题考查等差数列的前n 项公式和等差中项的运用，属于基础题.
8. 两个灯塔A 、B 与海洋观测站C 的距离都等于8km ，灯塔A 在观测站C 的东北方向上，灯塔B 在观测站C 的南偏东15︒方向上，则A 、B 之间的距离为（ ）
A. B. 8km
C.
D.
【答案】D 【解析】 【分析】
求得ACB ∠，利用余弦定理求得,A B 的距离.
【详解】依题意1801545120ACB ∠=--=，由余弦定理得
2222cos120 AB CA CB CA CB
=+-⋅⋅⋅
1 6464288192
2
⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-=
⎪
⎝⎭
，所以
AB=.
故选：D
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.
9. 若不等式2
50
x bx c
-+<的解集为{}
13
x x
-<<，则b c
+的值为（）
A. 5
B. -5
C. -25
D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知1
-和3是方程2
50
x bx c
-+=的两个根，由此利用根与系数的关系求解即可．【详解】解：由题意可得：1
-和3是方程2
50
x bx c
-+=的两个根，
13
5
13
5
b
c
⎧
-+=
⎪⎪
∴⎨
⎪-⨯=
⎪⎩
，
解得10
b=，15
c=-，
所以5
b c
+=-．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次不等式与二次方程的关系，属于基础题．
10. 等差数列{}n a中，33
S=，
6
9
S=，则
12
S=（）
A. 12
B. 18
C. 24
D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，由等差数列前n项和的性质分析可得3S，63
S S
-，
96
S S
-，
129
S S
-，⋯也成等
差数列，计算可得3S、63
S S
-的值，由等差数列的性质分析可得
96
S S
-、
129
S S
-的值，又
由
1236396129
()()()
S S S S S S S S
=+-+-+-，计算可得答案．
【详解】解：根据题意，等差数列{}n a 中，3S ，63S S -，96S S -，129S S -，⋯也成等差数列，
又由33S =，69S =，则636S S -=， 则969S S -=，12912S S -=，
则1236396129()()()3691230S S S S S S S S =+-+-+-=+++=， 故选：D ．
11. 已知等差数列{}n a 、{}n b ，其前n 项和分别为n S 、n T ，2331n n a n b n +=-，则11
11
S T =（ ） A.
15
17
B.
2532
C. 1
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质得出
6
11116
a S T
b =，于此可得出结果． 【详解】由等差数列的前n 项和公式以及等差中项的性质得()
11111611112
a a S a +=
=，
同理可得11611T b =，因此，
6611116611263151136117
a a S T
b b ⨯+====⨯-，故选A ． 【点睛】本题考查等差数列前n 和公式以及等差中项性质的应用，解题关键在于等差数列下标性质的应用，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题．
12. 已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项m a 、n a
14a =，
则14
m n +的最小值为( ) A. 32 B. 53
C.
25
6
D. 不存在
【答案】A 【解析】 【分析】
设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由满足：7652a a a =+，可得2
2q q =+，解得2q
．根
据存在两项m a 、n a
14a =
14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出．
【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，满足：7652a a a =+，22q q ∴=+，
解得2q
．
存在两项m a 、n a
14a =，
∴14a =，6m n ∴+=．
m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．
则
14m n
+的最小值为143242+=．
故选：A ．
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
13. 若x 、y 满足条件1242x y x y y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩
，则3z x y =+的最大值为________．
【答案】7 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过图象平移确定目标函数的最大值．
【详解】由3z x y =+，得133
z
y x =-+，作出不等式对应的可行域， 平移直线133z y x =-+，由平移可知当直线133z y x =-+，经过点A 时，直线133
z
y x =-+的
截距最大，此时z 取得最大值.
由224
y x y =⎧⎨+=⎩，解得(1,2)A ， 将A 的坐标，代入3z x y =+，得1237z =+⨯=， 即目标函数3z x y =+的最大值为7．
故答案为：7．
【点睛】
方法点睛：线性规划问题解题步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；
（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.
14. 若关于x 的二次不等式210x mx ++≥的解集为实数集R ，则实数m 的取值范围是________．
【答案】[]22-,
【解析】 【分析】
根据不等式恒成立，得到判别式小于等于零，求解，即可得出结果. 【详解】因为关于x 的二次不等式210x mx ++≥的解集为实数集R ， 所以只需240m ∆=-≤，解得22m -≤≤，
即实数m 的取值范围是[]22-,
.
故答案为：[]22-,
. 15. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11
2
a =，110n n n a S S +++=，则10S =________． 【答案】
111
【解析】 【分析】
将110n n n a S S +++=化为110n n n n S S S S ++-+=，两边同除以1n n S S +，可得数列数列1
{}n
S 是等差数列，进而可求出n S ，再令10n =即可求出10S .
【详解】因为110n n n a S S +++=，所以110n n n n S S S S ++-+=，所以11
n n n n S S S S ++-=，
所以
1111n n
S S +-=，又11112S a =
=，所以数列1
{}n S 是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以1
2(1)11n n n S =+-⨯=+，所以11n S n =+，所以10111
S =. 故答案为：
1
11
【点睛】思路点睛：n S 与n a 关系问题的求解思路，根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化：
(1)利用1(2)n n n a S S n -=-≥转化为只含n S ，1n S -的关系式，再求解； (2)利用1(2)n n n S S a n --=≥转化为只含n a ，1n a -的关系式，再求解．
16. 已知整数对排列如：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，
(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个整数对是________．
【答案】()5,7 【解析】 【分析】
根据已知整数对排列总结出整数对排列的规律，根据规律计算可知所求整数对在整数和为12的整数对排在第5位，由此计算可得结果.
【详解】由整数对排列规律可知：两个数之和为n 的整数对有1n -个；两个数之和为n 的整
数对，第一个数从1递增至1n -，第二个数从1n -递减至1；
()()
10101111116022
⨯+⨯+<<
， ∴第60个整数对在整数和为12的整数对中，排在第5个整数对的位置， ∴第60个整数对为()5,7.
故答案为：()5,7.
三、解答题（本大题共6小题，共70．0分）
17. 已知数列{}*
()∈n a n N 为等差数列，且48a =，84a =．
（1）求数列{}
n a 的
通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求n S 的表达式．
【答案】（1）12n a n =-；（2）2232
n n n
S -+=
. 【解析】 【分析】
(1)将48a =，84a =用1,a d 表示，解方程组求出1,a d ，代入等差数列的通项公式即可； (2)利用等差数列前n 和公式直接求解即可.
【详解】(1)由题意知，48a =，84a =， 则113874
a d a d +=⎧⎨
+=⎩，解得111
1a d =⎧⎨=-⎩，
所以11(1)(1)12n a n n =+-⨯-=-．
(2)由(1)知21()(1112)23=222
n n n a a n n n n
S ++--+==
． 18. 在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且22cos a b c A +
=. （1）求C ；
（2）若1a =,ABC
,求c . 【答案】（1）23
C π
=
（2）c =
【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理边角互化,结合两角和的正弦公式化简求解即可. (2)根据三角形的面积公式可得4b =,再代入余弦定理求解c 即可. 【详解】解：（1）由正弦定理得sin 2sin 2sin cos +=A B C A , 所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=, 则sin 2sin cos 0A A C +=, 又因为sin 0A ≠,所以1
cos 2
C =-,(0,)C π∈, 所以23
C π=
；
（2）ABC 所以121sin 23
⨯⨯⨯=b π解得4b =,
由2
216121cos 213
c 4π
=+-⨯⨯⨯=,
所以c =
【点睛】本题主要考查了解三角形与三角恒等变换的运用,需要根据题意选择合适的公式进行化简.属于基础题.
19. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为31200m ，深3m ．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
【答案】将水池的底面设计成边长为20m 的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000元 【解析】 【分析】
设出底面的长为x ,宽为y ,根据总容积求得x 与y 的等量关系.表示出总的造价后,将式子转化为关于x 的等式,结合基本不等式可求得最低总造价及底面的长和宽的值. 【详解】设底面的长为x m ,宽为y m ,水池总造价为z 元, 容积
3200m 1,可得31200xy =,
因此400xy =,
根据题意, 池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米的造价为150元,有
()()2001502323200900z xy x y xy x y =+⨯+⨯=++,
由基本不等式及不等式性质,可得
(
)8000090080000900z x y =++≥+⨯,
即80000900116000z ≥+⨯=, 当且仅当20x y ==时,等号成立.
所以,将水池的底面设计成边长为20m 的正方形时,总造价最低,最低总造价是116000元. 【点睛】本题考查基本不等式在实际问题中的应用,根据基本不等式求最值,注意等号成立的条件,属于基础题.
20. 已知数列{}n a 中，11a =，47a =，且1n n a a n λ+=+． （1）求λ的值及数列{}n a 的通项公式； （2）设111
n n b a +=
-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明2n T <．
【答案】（1）1；22
2
n n n a -+=；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）由11a =，结合1n n a a n λ+=+递推得到416a a λ=+，再由47a =求解；然后由
1n n n a a +-=用累加法求解.
（2）由（1）得到1121
121
(1)1n n b a n n n n +⎛⎫=
=
=- ⎪-++⎝⎭
，然后利用裂项相消法求解.
【详解】（1）由题意知，11a =，21a a λ=+，322a a λ=+，433a a λ=+，
416a a λ∴=+，即716λ=+，
1λ∴=．
1n n a a n +∴-=，
11a ∴=，211a a -=，322a a -=，…，11n n n a a -=--，
121321n n n a a a a a a a a -∴=+-+-+⋯+-
1121n =+++⋯+-
(1)(11)12n n -+-=+22
2
n n -+=
. 22
2
n n n a -+∴=
. （2）由（1）知222n n n a -+=，21(1)(1)2
2
n n n a ++-++=，
所以1121121
(1)1n n b a n n n n +⎛⎫=
=
=- ⎪-++⎝⎭
，
111
1121223
1n T n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭，
1221211n n ⎛
⎫=-=- ⎪
++⎝⎭. 2n T ∴<．
【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法
(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+②等比数列的前n 项和公式()
11,1
1,11n n na q S a q q q
=⎧⎪
=-⎨≠⎪
-⎩；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解
21. 如图，
四边形ABCD 中，AD AB ⊥，60CAB ︒∠=，120BCD ︒∠=，2AC =.
（1）若15ABC ︒∠=，求DC ；
（2）记ABC θ∠=，当θ为何值时，BCD △的面积有最小值？求出最小值. 【答案】（12；（2）75θ︒=，S 取最小值633-. 【解析】 【分析】
（1）在四边形ABCD 中，根据AD AB ⊥，120BCD ︒∠=，15ABC ︒∠=，求得
135ADC ︒∠= ，然后在ACD △中，利用正弦定理求解.
（2）根据四边形内角和360︒，得到150ADC θ︒∠=-，然后在ADC 中，利用正弦定理求得DC ，同理在ABC 中，求得BC ，然后利用1
sin1202
BCD S DC BC ︒=⋅⋅△，结合三角函数的性质求解.
【详解】（1）在四边形ABCD 中，因为AD AB ⊥，
120BCD ︒∠=，15ABC ︒∠=，所以135ADC ︒∠= ，
在ACD △中，可得906030CAD ︒︒︒∠=-=， 又135ADC ︒∠=，2AC =，
由正弦定理得:sin sin CD AC
CAD ADC
=∠∠，即122CD =，
解得：2CD =
，.
（2）因为60CAB ︒∠=，AD AB ⊥可得30︒∠=CAD ， 因为四边形内角和360︒，所以150ADC θ︒∠=-，
在ADC 中，()()
21
sin 30sin 150sin 150DC DC θθ︒︒︒=⇒=--，
在ABC 中，
23
sin 60sin sin BC BC θθ
︒
=⇒=， ()131sin12024sin 150sin BCD S DC BC θθ
︒︒∴=
⋅⋅=⨯-△， 2334413133sin cos sin sin 2cos 2θθθθθ==+-+，
()
3413sin 260θ︒=-+
当75θ︒=时，S 取最小值633-【点睛】本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用以及三角函数的性质的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1
13(*)2n n n a S n N -⎛⎫+=-∈ ⎪
⎝⎭
．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令311n n n c a n -=
+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若对任意的正整数n ，恒有2
2
n n n T λ-<，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）1
2
n n n a +=；（2）(2,26)-. 【解析】
【分析】
（1）当1n =时，可求1a 的值，当2n ≥时，2
11132n n n a S ---⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
与1
132n n n a S -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
两
式相减即可得1
1122n n n a a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭
两边同时乘以12n -，得11221n n n n a a ---=，令2n
n n b a =，
可得{}n b 是等差数列，求出{}n b 的通项即可求{}n a 的通项； （2）由（1）知，31
2
n n
n c -=
利用乘公比错位相减求和求出n T ，当1n =，2时单独讨论，当3n ≥时，22n n n T λ-<化为22n n T n λ<-，即52352n n n λ⨯--<
-.令5235
()2
n n f n n ⨯--=-（3n ≥，*N n ∈），则()min f n λ<，计算(1)()f n f n +-判断()f n 的单调性求出()f n 的最小值，即可求得实数λ的取值范围．
【详解】（1）由已知，1
13(*)2n n n a S n N -⎛⎫+=-∈ ⎪
⎝⎭
，
当1n =时，122a =，解得11a =.
当2n ≥时，2
11132n n n a S ---⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
．
两式相减，得1
1122n n n a a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭
． 两边同时乘以12n -，得1
122
1n
n n n a a ---=，
令2n
n n b a =，则11(2)n n b b n --=≥，
所以数列{}n b 是公差为1的等差数列，其首项为1122b a ==
所以2(1)1n b n n =+-=+，即12n
n n a +=，
所以1
2
n n n a +=
. （2）由（1）知，12n n n a +=
，所以31
2n
n
n c -=． 则2
3
1111258(31)2222n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，①
2341
11111258(31)22222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，②
①-②，得2
3
1
111111333(31)22222n
n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋯+⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
即1
1111421113(31)12212
n n n
T n -+⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭
-，
153512222n
n n T +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，则15(35)2n
n T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭
. 由已知，对任意的正整数n ，恒有
2
2n n
n T λ-<． 当1n =时，
22n n n T λ-<化为1
12λ-<，得2λ>-. 当2n =时，
22n n n T λ-<化为9
04
λ⨯<， 此时，λ为任意实数不等式都成立．
当3n ≥时，22n n n T λ-<化为22
n
n T n λ<-，
即5235
2
n n n λ⨯--<
-. 令5235
()2n n f n n ⨯--=-（3n ≥，*N n ∈），
则1523(1)510238
(1)11n n n n f n n n +⨯-+-⨯--+==
--， 所以102385235
(1)()12n n n n f n f n n n ⨯--⨯--+-=-
-- ()()10238(2)5235(1)
(1)(2)
n
n n n n n n n ⨯----⨯---=
--
(515)211(1)(2)
n n n n -⨯+=--．
当3n ≥时，
(515)211
0(1)(2)
n n n n -⨯+>--，则(1)()f n f n +>， 所以5235
()2
n n f n n ⨯--=-（3n ≥，*N n ∈）单调递增，
所以()f n 的最小值为()326f =，则26λ<. 综上可知，226λ-<<，即λ的取值范围是
()2,26-．
【点睛】关键点点睛：第一问的关键点是需要讨论，当1n =时求得11a =，当2n ≥时，
2
11132n n n a S ---⎛⎫
+=- ⎪
⎝⎭
与已知条件两式相减得1
1122n n n a a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭
，这种类型需要两边同时乘以12n -得1
122
1n
n n n a a ---=，第二问是根据不等式恒成立求参数的值，求出
15(35)2n
n T n ⎛⎫
=-+⨯ ⎪⎝⎭可得22n n n T λ-<，此时22n n -不是恒大于0，当1n =，2时单独讨
论，当3n ≥时，22n n n T λ-<分离λ化为22n n T n λ<-，即5235
2
n n n λ⨯--<
-，再构造5235
()2
n n f n n ⨯--=
-（3n ≥，*N n ∈），利用作差法判断单调性求最小值即可.。