高考物理生活中的圆周运动的技巧及练习题及练习题(含答案)

高考物理生活中的圆周运动的技巧及练习题及练习题(含答案)
一、高中物理精讲专题测试生活中的圆周运动
1．如图，在竖直平面内，一半径为R 的光滑圆弧轨道ABC 和水平轨道PA 在A 点相切．BC 为圆弧轨道的直径．O 为圆心，OA 和OB 之间的夹角为α，sinα=
3
5
，一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动，经A 点沿圆弧轨道通过C 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零．重力加速度大小为g ．求：
（1）水平恒力的大小和小球到达C 点时速度的大小； （2）小球到达A 点时动量的大小； （3）小球从C 点落至水平轨道所用的时间． 【答案】（15gR
（223m gR （3355R g 【解析】
试题分析 本题考查小球在竖直面内的圆周运动、受力分析、动量、斜下抛运动及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力．
解析（1）设水平恒力的大小为F 0，小球到达C 点时所受合力的大小为F ．由力的合成法则有
tan F mg
α=① 2220()F mg F =+②
设小球到达C 点时的速度大小为v ，由牛顿第二定律得
2
v F m R
=③
由①②③式和题给数据得
03
4
F mg =④
5gR
v =
（2）设小球到达A 点的速度大小为1v ，作CD PA ⊥，交PA 于D 点，由几何关系得 sin DA R α=⑥
(1cos CD R α=+）⑦
由动能定理有
220111
22
mg CD F DA mv mv -⋅-⋅=-⑧
由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A 点的动量大小为 1232
m gR p mv ==
⑨ （3）小球离开C 点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g ．设小球在竖直方向的初速度为v ⊥，从C 点落至水平轨道上所用时间为t ．由运动学公式有
2
12
v t gt CD ⊥+
=⑩ sin v v α⊥=
由⑤⑦⑩
式和题给数据得
355R t g
=
点睛 小球在竖直面内的圆周运动是常见经典模型，此题将小球在竖直面内的圆周运动、受力分析、动量、斜下抛运动有机结合，经典创新．
2．如图所示，半径为R 的四分之三圆周轨道固定在竖直平面内，O 为圆轨道的圆心，D 为圆轨道的最高点，圆轨道内壁光滑，圆轨道右侧的水平面BC 与圆心等高．质量为m 的小球从离B 点高度为h 处（3
32
R h R ≤≤）的A 点由静止开始下落，从B 点进入圆轨道，重力加速度为g ）．
（1）小球能否到达D 点？试通过计算说明； （2）求小球在最高点对轨道的压力范围；
（3）通过计算说明小球从D 点飞出后能否落在水平面BC 上，若能，求落点与B 点水平距离d 的范围．
【答案】（1）小球能到达D 点；（2）03F mg ≤'≤；（3）
(
)()
21221R d R ≤≤
【解析】
【分析】 【详解】
（1）当小球刚好通过最高点时应有：2D
mv mg R =
由机械能守恒可得：()22
D
mv mg h R -=
联立解得32h R =
，因为h 的取值范围为3
32
R h R ≤≤，小球能到达D 点； （2）设小球在D 点受到的压力为F ，则
2D
mv F mg R ='+ ()22
D
mv mg h R ='- 联立并结合h 的取值范围
3
32
R h R ≤≤解得：03F mg ≤≤ 据牛顿第三定律得小球在最高点对轨道的压力范围为：03F mg ≤'≤
（3）由（1）知在最高点D 速度至少为min D v =此时小球飞离D 后平抛，有：212
R gt =
min min D x v t =
联立解得min x R =>，故能落在水平面BC 上，
当小球在最高点对轨道的压力为3mg 时，有：2max 3D
v mg mg m R
+=
解得max D v =小球飞离D 后平抛2
12
R gt =
'， max max D x v t ='
联立解得max x =
故落点与B 点水平距离d 的范围为：
)()
11R d R ≤≤
3．光滑水平面AB 与一光滑半圆形轨道在B 点相连，轨道位于竖直面内，其半径为R ，一个质量为m 的物块静止在水平面上，现向左推物块使其压紧弹簧，然后放手，物块在弹力作用下获得一速度，当它经B 点进入半圆形轨道瞬间，对轨道的压力为其重力的9倍，之后向上运动经C 点再落回到水平面，重力加速度为g .求：
(1)弹簧弹力对物块做的功；
(2)物块离开C点后，再落回到水平面上时距B点的距离；
(3)再次左推物块压紧弹簧，要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则弹簧弹性势能的取值范围为多少？
【答案】(1)（2）4R（3）或
【解析】
【详解】
（1）由动能定理得W＝
在B点由牛顿第二定律得：9mg－mg＝m
解得W＝4mgR
（2）设物块经C点落回到水平面上时距B点的距离为S，用时为t，由平抛规律知
S=v c t
2R=gt2
从B到C由动能定理得
联立知，S= 4 R
（3）假设弹簧弹性势能为ＥＰ，要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则物块可能在圆轨道的上升高度不超过半圆轨道的中点，则由机械能守恒定律知
ＥＰ≤mgR
若物块刚好通过C点，则物块从B到C由动能定理得
物块在C点时mg＝m
则
联立知：ＥＰ≥mgR.
综上所述，要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则弹簧弹性势能的取值范围为
ＥＰ≤mgR 或 ＥＰ≥mgR .
4．水平面上有一竖直放置长H ＝1.3m 的杆PO ，一长L ＝0.9m 的轻细绳两端系在杆上P 、Q 两点，PQ 间距离为d ＝0.3m ，一质量为m ＝1.0kg 的小环套在绳上。

杆静止时，小环靠在杆上，细绳方向竖直；当杆绕竖直轴以角速度ω旋转时，如图所示，小环与Q 点等高，细绳恰好被绷断。

重力加速度g ＝10m ／s 2，忽略一切摩擦。

求：
（1）杆静止时细绳受到的拉力大小T ； （2）细绳断裂时杆旋转的角速度大小ω； （3）小环着地点与O 点的距离D 。

【答案】（1）5N （2）53/rad s （3）1.6m 【解析】 【详解】
（1）杆静止时环受力平衡，有2T ＝mg 得：T ＝5N
（2）绳断裂前瞬间，环与Q 点间距离为r ，有r 2＋d 2＝（L －r ）2 环到两系点连线的夹角为θ，有d sin L r θ=-，r
cos L r
θ=- 绳的弹力为T 1，有T 1sinθ＝mg T 1cosθ＋T 1＝m ω2r 得53/rad s ω=
（3）绳断裂后，环做平抛运动，水平方向s ＝vt
竖直方向：2
12
H d gt -=
环做平抛的初速度：v ＝ωr
小环着地点与杆的距离：D 2＝r 2＋s 2 得D ＝1.6m 【点睛】
本题主要是考查平抛运动和向心力的知识，解答本题的关键是掌握向心力的计算公式，能清楚向心力的来源即可。

5．如图甲所示，粗糙水平面与竖直的光滑半圆环在N 点相切，M 为圈环的最高点，圆环
半径为R =0.1m ，现有一质量m =1kg 的物体以v 0=4m/s 的初速度从水平面的某点向右运动并冲上竖直光滑半圆环，取g =10m/s 2，求：
（1）物体能从M 点飞出，落到水平面时落点到N 点的距离的最小值X m
（2）设出发点到N 点的距离为S ，物体从M 点飞出后，落到水平面时落点到N 点的距离为X ，作出X 2随S 变化的关系如图乙所示，求物体与水平面间的动摩擦因数μ
（3）要使物体从某点出发后的运动过程中不会在N 到M 点的中间离开半固轨道，求出发点到N 点的距离S 应满足的条件
【答案】（1）0.2m ；（2）0.2；（3）0≤x ≤2.75m 或3.5m ≤x ＜4m ． 【解析】 【分析】
（1）由牛顿第二定律求得在M 点的速度范围，然后由平抛运动规律求得水平位移，即可得到最小值；
（2）根据动能定理得到M 点速度和x 的关系，然后由平抛运动规律得到y 和M 点速度的关系，即可得到y 和x 的关系，结合图象求解；
（3）根据物体不脱离轨道得到运动过程，然后由动能定理求解． 【详解】
（1）物体能从M 点飞出，那么对物体在M 点应用牛顿第二定律可得：mg ≤2
M mv R
，所以，v M gR 1m /s ；
物体能从M 点飞出做平抛运动，故有：2R ＝
12
gt 2
，落到水平面时落点到N 点的距离x ＝v M t 2
R
gR g
2R ＝0.2m ； 故落到水平面时落点到N 点的距离的最小值为0.2m ；
（2）物体从出发点到M 的运动过程作用摩擦力、重力做功，故由动能定理可得：−μmgx −2mgR ＝
12mv M 2−1
2
mv 02； 物体从M 点落回水平面做平抛运动，故有：2R ＝
12
gt 2
，22044(24)0.480.8M M R R
y v t v v gx gR x g g
μμ⋅
=--⋅=-＝＝
由图可得：y2=0.48-0.16x，所以，μ＝0.16
0.8
＝0.2；
（3）要使物体从某点出发后的运动过程中不会在N
到M点的中间离开半圆轨道，那么物
体能到达的最大高度0＜h≤R或物体能通过M点；
物体能到达的最大高度0＜h≤R时，由动能定理可得：−μmgx−mgh＝0−1
2
mv02，
所以，
2
2
1
2
2
mv mgh v h
x
mg g
μμμ
-
-
＝＝，
所以，3.5m≤x＜4m；
物体能通过M点时，由（1）可知v M≥gR＝1m/s，
由动能定理可得：−μmgx−2mgR＝1
2
mv M2−
1
2
mv02；
所以
22
22
11
24 22
2
M
M
mv mv mgR v v gR
x
mg g
μμ
----
=
＝，
所以，0≤x≤2.75m；
【点睛】
经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．
6．如图所示，一滑板放置在光滑的水平地面上，右侧紧贴竖直墙壁，滑板由圆心为O、半径为R的四分之一光滑圆弧轨道和水平轨道两部分组成，且两轨道在B点平滑连接，整个系统处于同一竖直平面内．现有一可视为质点的小物块从A点正上方P点处由静止释放，落到A点的瞬间垂直于轨道方向的分速度立即变为零，之后沿圆弧轨道AB继续下滑，最终小物块恰好滑至轨道末端C点处．已知滑板的质量是小物块质量的3倍，小物块滑至B 点时对轨道的压力为其重力的3倍，OA与竖直方向的夹角为θ=60°，小物块与水平轨道间的动摩擦因数为μ=0.3，重力加速度g取102
/
m s，不考虑空气阻力作用，求：
（1）水平轨道BC的长度L；
（2）P点到A点的距离h．
【答案】（1）2.5R（2）2 3 R
【解析】
【分析】
（1）物块从A 到B 的过程中滑板静止不动，先根据物块在B 点的受力情况求解B 点的速度；滑块向左滑动时，滑板向左也滑动，根据动量守恒和能量关系列式可求解水平部分的长度；（2）从P 到A 列出能量关系；在A 点沿轨道切向方向和垂直轨道方向分解速度；根据机械能守恒列出从A 到B 的方程；联立求解h ． 【详解】
（1）在B 点时，由牛顿第二定律：2B
B v N mg m R
-=，其中N B =3mg ；
解得2B v gR =；
从B 点向C 点滑动的过程中，系统的动量守恒，则(3)B mv m m v =+； 由能量关系可知：2211
(3)22
B mgL mv m m v μ=-+ 联立解得：L=2.5R ；
（2）从P 到A 点，由机械能守恒：mgh=
1
2
mv A 2； 在A 点：0
1sin 60A A v v =，
从A 点到B 点：202111(1cos60)22
A B mv mgR mv +-= 联立解得h=
23
R
7．如图所示，A 、B 两球质量均为m ，用一长为l 的轻绳相连，A 球中间有孔套在光滑的足够长的水平横杆上，两球处于静止状态．现给B 球水平向右的初速度v 0，经一段时间后B 球第一次到达最高点，此时小球位于水平横杆下方l /2处．（忽略轻绳形变）求：
(1)B 球刚开始运动时，绳子对小球B 的拉力大小T ； (2)B 球第一次到达最高点时，A 球的速度大小v 1；
(3)从开始到B 球第一次到达最高点的过程中，轻绳对B 球做的功W ．
【答案】（1）mg+m 20v l （2）2012
v gl v -=3）204mgl mv - 【解析】 【详解】
（1）B 球刚开始运动时，A 球静止，所以B 球做圆周运动
对B 球：T-mg =m 2
v l
得：T =mg +m 20
v l
（2）B 球第一次到达最高点时，A 、B 速度大小、方向均相同，均为v 1
以A 、B 系统为研究对象，以水平横杆为零势能参考平面，从开始到B 球第一次到达最高点，根据机械能守恒定律，
2220111112222
l mv mgl mv mv mg -=+- 得：2
012
v gl v -= （3）从开始到B 球第一次到达最高点的过程，对B 球应用动能定理 W -mg
221011222
l mv mv =- 得：W =20
4
mgl mv -
8．如图所示，内壁粗糙、半径R ＝0.4 m 的四分之一圆弧轨道AB 在最低点B 与光滑水平轨道BC 相切。

质量m 2＝0.2 kg 的小球b 左端连接一轻质弹簧，静止在光滑水平轨道上，另一质量m 1＝0.2 kg 的小球a 自圆弧轨道顶端由静止释放，运动到圆弧轨道最低点B 时对轨道的压力为小球a 重力的2倍，忽略空气阻力，重力加速度g ＝10 m/s 2。

求：
(1)小球a 由A 点运动到B 点的过程中，摩擦力做功W f ；
(2)小球a 通过弹簧与小球b 相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能E p ； (3)小球a 通过弹簧与小球b 相互作用的整个过程中，弹簧对小球b 的冲量I 。

【答案】(1) (2)E P =0.2J (3) I =0.4N ⋅s
【解析】
（1）小球由静止释放到最低点B 的过程中，据动能定理得
小球在最低点B 时：
据题意可知
，联立可得
（2）小球a 与小球b 把弹簧压到最短时，弹性势能最大，二者速度相同， 此过程中由动量守恒定律得：
由机械能守恒定律得
弹簧的最大弹性势能E p =0.4J
小球a 与小球b 通过弹簧相互作用的整个过程中，a 球最终速度为，b 求最终速度为，由动量守恒定律
由能量守恒定律：
根据动量定理有：
得小球a 通过弹簧与小球b 相互作用的整个过程中，弹簧对小球b 的冲量I 的大小为
I =0.8N·s
9．如图所示，光滑圆弧的圈心为O ，半径3m R =，圆心角53θ=︒，C 为圆弧的最低点，C 处切线方向水平，与一足够长的水平面相连．从A 点水平抛出一个质量为0.3kg 的小球，恰好从光滑圆弧的B 点的切线方向进人圆弧，进人圆弧时无机械能损失．小球到达圆弧的最低点C 时对轨道的压力为7.9N ，小球离开C 点进人水平面，小球与水平面间的
动摩擦因数为0.2．（不计空气阻力，g 取2
10m/s ，sin530.8︒=，cos530.6︒=），
求：
（1）小球到达圆弧B 点速度的大小； （2）小球做平抛运动的初速度0v ； （3）小球在水平面上还能滑行多远．
【答案】(1)5m/s B v =；(2)03m/s v =；(3)12.25x m = 【解析】 【详解】
(1)对C 点小球受力分析，由牛顿第二定律可得：
2C
v F mg m R
-=
解得
7m /s c v =
从B 到C 由动能定理可得：
2211
(1)22
c B mgR cos mv mv θ-=
- 解得：
5m /s B v =
(2)分解B 点速度
0cos 3m /s B v v θ==
(3)由C 至最后静止，由动能定理可得：
2102
c mgx mv μ-=- 解得
12.25m x =
10．如图所示为某种弹射小球的游戏装置，由内置弹簧发射器的光滑直管道PA 和光滑圆管道ABC 平滑相接，粗糙斜面CD 上端与管道ABC 末端相切于C 点，下端通过一段极小圆弧（图中未画出）与粗糙水平面DE 平滑连接，半径R =2.0m 的光滑半圆轨道竖直固定，其最低点E 与水平面DE 相接，F 为其最高点．每次将弹簧压缩到同一位置后释放，小球即被弹簧弹出，经过一系列运动后从F 点水平射出．己知斜面CD 与水平面DE 的长度均为L =5m ，小球与斜面及水平面间的动摩擦因数均为μ=0.2，其余阻力忽略不计，角θ=37℃，弹簧的长度、小球大小、管道直径均可忽略不计，若小球质量m =0.1kg ，则小球到达管F 时恰好与管口无挤压．求：
（1）弹簧的弹性势能大小E p ；
（2）改变小球的质量，小球通过管口F 时，管壁对小球的弹力F N 也相应变化，写出F N 随小球质量m 的变化关系式并说明的F N 方向．
【答案】（1）6.8J ；
（2）a)当m =0.1kg 时，F N 为零；
b)当0<m <0.1kg 时，N F 6.868m =-，向下；
c)当0.1kg m 0.12kg ∴≤≤，N F 68m 6.8=-，向上；
d) 当m 0.12kg >时, F N 为零．
【解析】
【详解】
（1）恰好与管口无挤压，则
21v mg m R
= P-F ，由动能定理得
211W 2mgR mg(Lcos L)mv 2
--μθ+=
弹 初始弹性势能
E P =W 弹
联立以上各式解得
E P =6.8J
（2）在F 点 2
N v F mg m R
+= ① P-F ，由能量守恒得： 2P 1E mg(Lcos L)2mgR mv 2
=μθ+++②
由①②得
N F 6.868m =- ③ a)由③可知当m=0.1kg 时，F N 为零； b)当0<m<0.1kg 时，N F 6.868m =-小球经过F 点时外管壁对它有向下的弹力 c)当小球到达F 点速度恰好为零时由②可得
17m kg 0.12kg 145
=≈ 则0.10.12kg m kg ≤≤
N F 68m 6.8=-
小球经过F 点时内管壁对它向上弹力 d) 当0.12kg m >时, F N 为零。