高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题2.4 函数单调性(讲)(含答案解析)

【最新考纲解读】
【考点深度剖析】
函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，例如判断和证明单调性、求单调区间、利用单调性比较大小、求值域、最值或解不等式． 【课前检测训练】 [判一判]
(1)函数y ＝(x ＋1)3，y ＝x3＋1，y ＝x 都是幂函数.( )
解析 错误.根据幂函数的定义可知，y ＝x 是幂函数，而y ＝(x ＋1)3和y ＝x3＋1都不是幂函数.
(2)二次函数y ＝ax2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n]的最值一定是
4ac －b2
4a
.( ) (3)二次函数y ＝ax2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数.( ) 解析 错误.当b ＝0时，二次函数为偶函数. (4)幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0).( ) 解析 错误.y ＝1
x
是幂函数，但图像不过点(0,0).
(5)当n>0时，幂函数y ＝xn 是(0，＋∞)上的增函数.( ) 解析 正确.由幂函数的图像可知.
(6)关于x 的不等式ax2＋bx ＋c>0恒成立的充要条件是⎩
⎪⎨⎪⎧
a>0，
b2－4ac<0。

( )
解析 错误.当a ＝0，b ＝0，c>0时也恒成立.ax2＋bx ＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧
a>0，
Δ<0。

[练一练] 1．已知点M ⎝⎛
⎭
⎫33，3在幂函数f(x)的图像上，则f(x)的表达式为_______ 解析 设f(x)＝xα，则3＝⎝⎛⎭
⎫
33α，∴α＝－2，即f(x)＝x －2. 答案 f(x)＝x －2
2．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则_______
答案 C a ≤－2
3．函数f(x)＝x2－4x ＋3，x ∈[0,4]，则f(x)的最大值、最小值分别为________、________. 解析 因为f(x)＝(x －2)2－1，x ∈[0,4]，所以x ＝2时，f(x)min ＝－1，f(x)max ＝f(0)＝f(4)＝3.
4．二次函数f(x)的图像与x 轴有两个交点A(1,0)，B(－2,0)，且图像过点(0,3)，则f(x)＝__________.
解析 设f(x)＝a(x －1)(x ＋2)，又因为f(0)＝3，所以－2a ＝3，故a ＝－32，即f(x)＝－3
2(x －
1)(x ＋2).
答案 f(x)＝－3
2(x －1)(x ＋2)
【经典例题精析】 考点1 函数单调性的判断
【1-1】“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的__________条件. 【答案】充分必要
【解析】本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a ＝0时，f(x)＝|(ax －1)x|＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；
当a>0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图 (2)所示．
所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a≤0. 即“a≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件． 【1-2】函数y ＝log 2
1(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为________．
【答案】(1，＋∞)
【1-3】讨论函数f (x )＝ax
x 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．
【答案】f(x)在(－1,1)上为减函数 【解析】设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝
ax 1x 2
1－1－ax 2
x 22－1
＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 2
1＋ax 2x 21－x 22－
＝
a x 2－x 1x 1x 2＋
x 21－
x 22－
.
∵－1<x 1<x 2<1，
∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 2
1－1)(x 22－1)>0.
又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f(x)在(－1,1)上为减函数
【1-4】函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1. 求证：f (x )在R 上是增函数； 【答案】详见解析
【基础知识】
函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示. 【思想方法】
判断函数单调性的四种方法
(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；
(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性．
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性．
【温馨提醒】在研究函数的单调性时，应注意以下两方面的问题：一是必须在定义域的范围内研究单调性，超出了定义域范围的单调区间是没有意义的，二是单调区间的表述要正确．如函数f (x )＝1
x 的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)[或(－∞，0)，(0，＋∞)]，而不能表述为(－
∞，0)∪(0，＋∞)． 考点2 函数单调性的应用
【2-1】如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】－1
4
≤a ≤0
【解析】当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增； 当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，
因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－1
4
.
综合上述得－1
4
≤a ≤0.
【2-2】已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋3，x ≤0，
－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为________．
【答案】(－1,4)
【解析】作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集
为(－1,4)．
【2-3】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a x x ，
⎝⎛⎭⎫
4－a 2x ＋x 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范
围为________． 【答案】[4,8)
【基础知识】
单调性的应用主要体现在利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用． 【思想方法】
1.含“f ”不等式的解法：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．
2.当要比较的函数值不在对称轴的同一侧，即不在同一单调区间上时，可通过比较相应自变量值与对称轴的距离的大小进行判断．
【温馨提醒】分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 【易错问题大揭秘】
分段函数的单调性问题，一定要保证各段上同增（减）和上、下段间端点值间的大小关系．
如：(),1
42,12x a x f x a x x ⎧>⎪
=⎨⎛⎫
-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是_______． 【分析】因为()f x 是R 上的单调递增函数，所以1402422a a
a a ⎧
⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩，解得48a ≤<，
所以实数a 的取值范围是[)4,8．
【易错点】忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的大小而致误． 【练一练】
已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x ＞1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是
________. 【答案】 (0，
2]。