福州高三半期考试卷

福州四校联盟2021/2021年第一学期期中联考
高三数学试卷
（完卷时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 已知集合{}{}22|1,|log 1A x x B x x =<=<，则如图所示阴影部分表示的集合为 A.{}|11x x -<< B.{}|01x x <<
C.{}|02x x <<
D.{}|12x x -<<
2． 已知i 为虚数单位，且复数z 满足13i z i =-，则z 的共轭复数是
A.3i -+
B.3i --
C.3i +
D.3i -
3． 已知某几何体的三视图（单位：
）如图所示，则该几何体
的体积是 A. B.
C.
D.
4． 已知函数的图像如图所示，则的解析式可以是 A.21
()1f x x
=
- B.ln ||
()x f x x =
C.()x
e f x x
=
D.1()f x x x
=-
5． 已知2sin()63πα-=，则5sin(2)6
π
α-=
A.
45 B.45
-
C.19
D.19
-
6． 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,
n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，
2123221log log log n a a a -++
+=
A.(21)n n -
B.2
(1)n +
C.2
n
D.2
(1)n -
3
108cm 3
100cm 392cm 3
84cm ()f x ()f x
7． 若AB 是以O 为圆心，半径为1的圆的直径，C 为圆外一点，且2OC =，则CA CB ⋅= A.3 B.3-
C.0
D.不确定，随着直径AB 的变化而变化
8． 设()f x 是定义在R 上的函数，(0)2f =,对任意x R ∈,()()1f x f x '+>,则
()1x x e f x e >+的解集为
A.(0,)+∞
B.(,0)-∞
C.(,1)(1)-∞-⋃+∞，
D.(,1)(01)-∞-⋃，
二、多项选择题：共4道小题,每小题5分，共20分.给出的4个选项中，有多项符合要求.全部选对得5分，选对但不全得3分，有错选的0分. 9． 下列命题正确的是 A.“1a >”是“21a >”的充分不必要条件 B ．“M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件
C ．命题“2R,10x x ∀∈+<”的否定是“R x ∃∈，使得210x +<”
D ．设函数()f x 的导数为()f x '，则“()f x '＝0”是“()f x 在0x x =处取得极值”
的充要条件
10．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，1020S S =，则
A ．0d <
B ．160a <
C ．15n S S ≤
D ．当且仅当0n S <时32n ≥
11．己知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度后，所得图象关于原点对称，则下列结论中正确的是
A ．6
πϕ=
B ．,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 图象的一个对称中心
C. ()2f ϕ=-
D ．()12
x f x π
=
是图象的一条对称轴
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，线段11B D 上有两个动点,,E F 且
2
2
EF a =
，以下结论正确的有 A ．AC BE ⊥ B ．点A 到BEF ∆的距离为定值 C ．三棱锥A BEF -的体积是正方体1111ABCD A B C D -体积的1
12
；
D ．异面直线AE, BF 所成的角为定值．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若变量,x y 满足约束条件y 1x y 0x y 20
≤⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为 ．
14．已知向量(1,2),(,1-)(0,0)a b a b ==>>m n ，若//m n ，则
12
a b
+的最小值为 ．
15．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+,若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(2020)f f f f +++
+= ．
16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足212n n n a a S +=，且0n a >，则64S = ．
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
给出以下三个条件：①34a ，43a ，52a 成等差数列；②对于*n N ∀∈，点(,)n n S 均在函数2x y a =-的图象上，其中a 为常数；③37S =．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠的等比数列，且它的首项11a =，． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）令*22log 1()n n b a n N =+∈，证明数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和12n T <．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分12分）
已知2
()2cos sin()cos sin 6
f x x x x x x π
=⋅+⋅-．
（Ⅰ）求函数()y f x =的单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC 的内角A 满足()2f A =，而3AB AC ⋅=，求边BC 的最小值．
19．（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，
PD DC =，E 是PC 的中点，过E 点作EF PB ⊥交PB 于点F .求证：
（Ⅰ）//PA 平面EDB ； （Ⅱ）PB ⊥平面EFD ．
20．（本小题满分12分）
已知函数()2x
f x e x =-．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数()()g x f x a =-，[]1,1x ∈-恰有2个零点，求实数a 的取值范围．
21．（本小题满分12分）
在平面四边形ABCD 中，π3ABC ∠=，π
2
ADC ∠=，2BC =． （Ⅰ）若ABC △33
，求AC ； （Ⅱ）若23AD =π
3
ACB ACD ∠=∠+，求tan ACD ∠．
22．（本小题满分12分）
已知函数2()ln (R)f x ax x a =+∈有最大值1
2
-，2()2()g x x x f x =-+，且()g x '是()g x 的导数．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）证明：当12x x <，12()()30g x g x ++=时，121()2
g x x '+>．。