斯特瓦尔特定理及应用

第四章 特瓦尔特定理及应用
【基础知识】
斯特瓦尔特定理 设P 为ABC △的BC 边上任一点（P B ≠，P C ≠），则有 222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅
①
或 222
2P C B P B P P C A P A B A C B C B C B C B C B C
=⋅
+⋅-⋅⋅．
② 证明 如图4-1，不失一般性，不妨设90APC <︒∠，则由余弦定理，有 2222cos AC AP PC AP PC APC =+-⋅⋅∠， 222cos AP BP AP BP APC =++⋅⋅∠．
对上述两式分别乘以BP ，PC 后相加整理，得①式或②式．
斯特瓦尔特定理的逆定理 设B ，P ，C 依次分别为从A 点引出的三条射线AB ，AP ，AC 上的点，若
22AB PC AC BP AP BC BP PC BC ⋅+⋅=⋅+⋅⋅，
或 22
2
2P C B P B P P C A P A B A C B C B C B C B C B C
=⋅
+⋅-⋅⋅， 则B ，P ，C 三点共线．
证明 令1BPA θ=∠，2APC θ=∠，对△ABP 和△APC 分别应用余弦定理，有 22212cos AB AP PB AP PB θ=+-⋅⋅，22222cos AC AP PC AP PC θ=+-⋅⋅．
将上述两式分别乘以PC ，BP 后相加，再与已知条件式相比较得 ()122cos cos 0AP BP PC θθ-⋅⋅⋅+=，由此推出12180θθ=︒-，即证．
斯特瓦尔特定理的推广 （1）设P 为ABC △的BC 边延长线上任一点，则
2222PC BP PC BP
AP AB AC BC BC BC BC BC
=-⋅
+⋅+⋅⋅
． ③ （2）设P 为ABC △的BC 边反向延长线上任一点，则 2222PC BP PC BP
AP AB AC BC BC BC BC BC
=⋅
-⋅+⋅⋅
． ④ 注 若用有向线段表示，则②，③，④式是一致的． 推论1 设P 为等腰ABC △的底边BC 上任一点，则22AP AB BP PC =-⋅． 注 此推论也可视为以A 为圆心，AB 为半径的圆中的圆幂定理． 推论2 设AP 为ABC △的BC 边上的中线，则2222111
224
AP AB AC BC =
+-． 推论3 设AP 为ABC △的A 的内角平分线，则2AP AB AC BP PC =⋅-⋅． 推论4 设AP 为ABC △的A 的外角平分线，则2AP AB AC BP PC =-⋅+⋅． 推论5 在ABC △中，若P 分线段BC 满足
BP
BC
λ=，则
2222(1)(1)AP BC AB AC λλλλ=-+-+⋅．
注 若
BP k PC =，则()
2222
2
1111k k AP AB AC BC k k k =⋅+-⋅+++． 【典型例题与基本方法】
1．选择恰当的三角形及一边上的一点，是应用斯特瓦尔特定理的关键．
例1 如图4-2，凸四边形ABCD 中，60ABC =︒∠，90BAD BCD ==︒∠∠，2AB =，1CD =，对角线AC ，BD 交于点O ．求sin AOB ∠． （1996年北京中学生竞赛题）
解 延长BA ，CD 相交于P ，设BC x =，则2PB x =，PC ，对△PBC 及PB 边上的点A ，应用斯特瓦尔特定理，有 224x x =-+．
由Rt Rt ADP CBP △∽△，有P D P C P A P B ⋅=⋅，即
)
()1222x x
-⋅-⋅，求得 4BC x ==
于是，215
3CA =-．又在Rt BCD △中，22120BD x =+=-，从而B D A C
⋅
=
12=．
而(
)(1242ABCD ABD BCD S S S =+=+△△
故
()
1112s i n 2AOB ⋅∠，即sin AOB =∠为所求． 例2 如图4-3，在ABC △中，60A =︒∠，AB AC >，点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点，点M ，
N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM CN =，求
MH NH
OH
+的值．
（2002年全国高中联赛题）
解 延长BE 交O 于L ，由三角形垂心性质，知L 为H 关于AC 的对称点，则LC CH =．
设O 的半径为R ，OH d =，CH x =，BH y =，由60CLB A =︒∠=∠，知LH LC CH x ===．延长
OH 两端交O 于T ，S ，如图4-3，由相交弦寇理有TH HS BH HL ⋅=⋅，即()()R d R d x y +-=⋅，即
22R d xy =+．
在△BCL 及边BL 上的点H ，应用斯特瓦尔特定理，并注意到2sin BC R A =⋅=∠ ，可得 222BC LH LC BH LH BH BL CH BL ⋅+⋅=⋅⋅+⋅，
即
)
()()2
22x x y x y x y x x y ⋅+⋅=⋅⋅++⋅+，
亦即 ()222
13
R x x y y =++． 于是，有
()2
2213
x xy y d xy ++=+．
亦即
()
2
2
3x y d -=，即
x y d
-=
而当AB AC >时，MH NH BH BM CN CH BH CH y x x y +=-+-=-=-=-，
故
x y
MH NH OH d
-+=
2．注意斯特瓦尔特定理的推论的应用 例3 如图4-4，自O 外一点引圆的两条切线PE ，PF ，E ，F 为切点，过P 点任意引圆的割线交O
于A ，B ，交EF 于C ．证明：
211
PC PA PB
=+
． （2001年湖南中学生夏令营试题）
证明 由相交弦定理，有EC CF AC CB ⋅=⋅． 由于PE PF =，对等腰△PEF 及底边EF 上的点C ，应用斯特瓦尔特定理的推论1，有22PC PE =- EC CF ⋅，即有
PA PC PB PC PA PB =⋅+⋅-⋅．
而2PE PA PB =⋅，从而2PA PB PA PC PB PC ⋅=⋅+⋅．
故
211
P C P A P B
=+
． 注 此例结论表示线段PC 是线段PA ，PB 的调和平均．这个结论亦即为点P 、C 调和分割弦AB ． 例 4 如图4-5，设在ABC △中，AB AC >，AE 平分A ∠，且交BC 于E ，在BC 上有一点S ，使BS EC =．求证：()2
22AS AE AB AC -=-．
（1979年江苏省竞赛题）
证明 对ABC △及边BC 上的点S ，应用斯特瓦尔特定理，有
222SC BS
AS AB AC BS SC BC BC
=⋅
+⋅-⋅． 由AE 平分A ∠，对ABC △及边BC 上的点F ，应用斯特瓦尔特定理的推论3，有2AE AB AC =⋅- BE EC ⋅，从而
2222SC BS
AS AE AB AC AB AC BE EC BS SC BC BC
-=⋅+⋅-⋅+⋅-⋅． ①
因BS EC =，有BE SC =，即BE EC BS SC ⋅=⋅． 由角平分线的性质，有 ,B E A B E C A C
B C A B A C B C A B A C
==
++， 即
,S C B E
A B B S E C A C
B C B C A B A C B C B C A B A C
====
++． 从而，由①式，有()2
22AS AE AB AC -=-．
例5 凸多边形ABCD 外切于O ，两组对边所在的直线分别交于点E 、F ，对角线交于点G ．求证：
DG EF ⊥．
（《中等数学》奥林匹克题高中251题） 证明 如图4-6，设O 与边AB 、BC 、CD 、DA 分别切于点M 、N 、R 、S ，则由牛顿定理知，AC 、BD 、MR 、NS 四线共点于G ．由切线长定理，知EM ER =． 由推论1，有22EG FS MG GR =-⋅． ① 同理，22FG FS SG GN =-⋅．
②
联结MO 、EO 、SO ，令O 的半径为r ，则 22222EM OE r FS OF r =-=-，．
③
又由相交弦定理，有MG GR SG GN ⋅=⋅． ④
于是，由①、②、③、④有2222EG ED FG FO -=-． 由定差幂线定理，知OG EF ⊥．
注 （1）牛顿定理 圆外切四边形的两条对角线、两对边切点的连线，这4条直线共点．
（2）定差幂线定理 设MN 、PQ 是两条线段，则MN PQ ⊥的充要条件为2222PM PN QM QN -=-． 此定理可用勾股定理及逆定理证明．这个定理放到空间也是成立的．运用向量法可给出平面、空间的统一证明如下：
由2
2
2
2
2222PM QN PN QM PM QN PN QM +--=+--
()
2222PM PQ PN PQ PM PN PQ NM PQ =⋅-⋅=-⋅=⋅． 知 0N M P Q
N M P Q ⇔⋅
=⊥．
故 22
2
2
M N P Q P M P N O M Q N
⇔-
=
-
⊥． 例6 已知E 、F 分剔是ABC △的边AB 、AC 的中点，CM 、BN 是边AB 、AC 上的高，联结EF 、
MN 交于点P ．又设Q 、H 分别是ABC △的外心、垂心，联结AP 、OH ．求证：AP OH ⊥．
（2005年国家队集训题）
证明 如图4-7，联结AO 、AH ．设1O 、1H 分别为AO 、AH 的中点，则112H N AH =，11
2
H M AM =，即知点1H 在线段MN 的中重线上，应用推论1，有 2211H P H M MP PN =-⋅．
注意到EF 为ABC △中位线，O 在BC 的中垂线上，由此知1O 也在EF 的中垂线上，应用推论1，有 2211O P O E EP PF =-⋅．
再注意到ANM ABC AEF ==∠∠∠，知M 、E 、N 、F 四点共圆，并由直角三角形性质，有
MP PF EP PF ⋅=⋅． ③ 及
11O E O A =、11H M H A =．
④
由①、②、③、④得22221111H A H P O A O P -=-．由定差幂线定理，11O H AP ⊥． 而1O H OH ∥，故AP OH ⊥．
注 此例的其他证法可参见第九章例16、第十章例15．
例7 设D 是ABC △的边BC 上一点，满足CDA CAB △∽△，O 经过B 、D 两点，并分别与AB 、AD 交于E 、F 两点，BF 、DE 交于点G ，联结AO 、AG ，取AG 的中点M ．求证：CM AO ⊥． 证明 如图4-8，在AG 的延长线上取点P ，使得AG AP AF AD ⋅=⋅（即G 、P 、D 、F 四点共圆），则由AE AB AF AD ⋅=⋅知E 、B 、P 、G 也四点共圆．于是180180BPA BED BFD =︒-=︒-=∠∠∠
BFA ∠，知B 、P 、F 、A 四点共圆，即有2FG GB AG GP AF AD AG ⋅=⋅=⋅-．
联结OD 、OF 、OE ，并令O 半径为R ，则对ODE △、ODF △分别应用推论1，有
222OG OD EG GD R FG GB =-⋅=-⋅． ① 2222OA OD AF AD R FG GB AG =+⋅=+⋅+．
②
联结OM ，由三角形中线长公式，并注意①、②，有
222222211
(22)44
MO MA OA OG AG AG R -=+--=．
③
联结OB 、OC ，对OBD △应用推论1，有222CO OB CD CB R CD CB =+⋅=+⋅． 又由CDA CAB △∽△，有2CA CD CB =⋅，即有222CO CA R -=．
④
注 P 即为完全四边形的密克尔点，由③、④有2222MO MA CO CA -=-．由定差幂线定理，知CM ⊥
AO ．
3．注意斯特瓦尔特定理等价于托勒密定理 斯特瓦尔特定理可推导出托勒密定理．
证明 如图4-9，在ABC △中，点P 在BC 上，由斯特瓦尔特定理，有 222AP BC AB PC AC BP BP PC BC ⋅=⋅+⋅-⋅⋅．
延长AP 交ABC △的外接圆于E ，连BE ，EC ，由ABP CEP △∽△和ACP BEP △∽△，有AB AP ⋅= CE AP ⋅，AC BP AP BE ⋅=⋅．
又由相交弦定理，有BP PC AP PE ⋅=⋅．
于是，得2AP BC AB CE AP AC AP BE AP PE BC ⋅=⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅， 即 ()B C A P
P E
A B C E
A C
B E
+=⋅+⋅， 亦即 A B C E A C B E B C ⋅+⋅=⋅．即为托勒密定理．
由托勒密定理也可推导斯特瓦尔特定理．
证明 如图4-10，设圆内接四边形ABEC 的对角线AE ，BC 交于P ．由托勒密定理，有 AB EC AC BE BC AE ⋅+⋅=⋅． 即 ()A B E C
A C
B E
B P P
C A E
⋅+⋅=+⋅． 由△ABP ∽△CEP 和△ACP ∽△BEP ，有AB PC EC AP ⋅=
，AC BP
BE AP
⋅=．由相交弦定理，有BP PC
PE AP
⋅=
．将这些式子代入前述式子即得斯特瓦尔特定理． 因此，在应用中，两个定理的应用范围相同，所显示的功能也一样，即凡能用托勒密定理处理的问题也能用斯特瓦尔特定理处理．反之亦然．
例8 若ABC △的三边为连续整数，且最大角B ∠是最小角A ∠的两倍，求三角形的三边长．
（IMO -10试题）
解法1 作ABC ∠的平分线BD （图略），则BD AD =，令AD y =，AB x =，则 1AC x =+，1BC x =-，1CD x y =+-． 由斯特瓦尔特定理的推论3，有()()211y x x y x y =--+-，即()11
x x y x -=+，又
AB AD BC CD =，即1
x
x =-
1y
x y +-，有()121
x x y x +=-．
故由22121
x x x x x x -+=
+-，求得5x =（舍去0x =），即5AB =，4BC =，6AC =． 解法2 作ABC △的外接圆O ，取AC 的中点D ，连AD ，BD ，
CD ，则ABCD 为梯形，其中CD BA ∥．令AB x =，则1AC x =+，1BC x =-，且1CD BC x ==-，1BD AC x ==+．对四边形ABCD 应用托勒
密定理，有()()()2
2
111x x x x +=-+-，求得5x =．（下略）
【解题思维策略分析】
1．获得线段倍分关系的一条途径
例9 如图4-11，已知ABC △的外接圆k 的圆心为O ，半径为R ，内切圆的圆心为I ，半径为r ，另一个圆0k 与边CA ，CB 分别切于点D ，E ，且与圆k 内切．求证：内心I 是线段DE 的中点．
（IMO -34预选题）
证明 设圆0k 的圆心为1O ，半径为ρ，于是1O ，I ，C 三点共线，且1sin 2r CI C =
∠，11sin 2
CO C ρ
=∠，则11
sin 2
r
IO C ρ-=
∠，且1O E ρ=．
于是，
111IO r r
CO ρρρ
-==-． 连OC ，OI ，1O O ，对△1COO ，及边1O C 上的点I ，应用斯特瓦尔特定理，有 22211111OO CI OC IO OI CO CI IO CO ⋅+⋅=⋅+⋅⋅
①
注意到欧拉公式，222OI R Rr =-，及1OO R ρ=-，OC R =，并将其代入①式，得到 ()221
111sin sin sin sin 2
222
r r R Rr C C C C ρ
ρρ
-=-⋅
+
⋅⋅∠∠∠∠， 化简得 21s i n 12r r C ρρρ
-==-∠．
从而 221111sin 2IO C CO CO ρ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝
⎭∠， 即 22111IO CO O E ρ⋅==．
②
因为1O E CE ⊥，1CO DE ⊥且平分DE ，令DE 的中点为I '，由射影定理，有 2111I O CO O E '⋅=．
③
比较③式和②式，知I '与I 重合，即得I 为DE 的中点．
例10 如图4-12，两个大圆A ，B 相等且相交；两个小圆C ，D 不相等但相交，且交点为P ，Q ．若C ，D 既同时与A 内切，又同时与B 外切．试证：直线PQ 平分线段AB ．
（《中等数学》奥林匹克问题高中58题）
证明 由于C ，D 半径不相等，此两圆交点所在直线PQ 必与线段AB 相交，设交点为M ．连AC ，MC ，BC ，AD ，MD ，BD ，PC ，PD ，CD ，显然PQ CD ⊥，设垂足为N ，又设A ，B 的半径均是ρ，C ，D 的半径分别为R ，()r R r ≠，则易得AC R ρ=-，BC R ρ=+，AD r ρ=-，BD r ρ=+，
因为PQ CD ⊥，或MP CD ⊥，垂足为N ，则
2222PC PD R r =-=-．
设AM x =，MB y =，对△CAB 及边AB 上的点M ，应用斯特瓦尔特定理，有 ()222x y MC x MB y AM =+⋅+⋅+⋅．
①
对△DAB 及边AB 上的点M ，应用斯特瓦尔特定理，有 ()22222x BD y AD x y MD x MB y AM ⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅．
②
①-②，得
()()()()()()22222222x BC BD y AC AD x y MC MD x y R r ⋅-+-=+-=+-，
即 ()()()()()()
2222
22[][]x R r y R r x y R r ρρρρ⋅+-++⋅---=+-， 亦即 ()()20x y R r ρ⋅-⋅-=．
因0ρ≠，R r ≠，从而0x y -=，即x y =． 故AM MB =，即直线PQ 平分线段AB ．
2．求解三角形问题的一种工具
斯特瓦尔特定理在求解三角形中有关线段的问题有着重要作用，这可从习题A 中的第6题，习题B 中的第7题等可以看出．在求解三角形的其他问题中，它也有着重要作用．
例11 设ABC △的三边为a ，b ，c ，其面积为S ，则222a b c ++≥，当且仅当ABC △为正三角形时，等式成立． （IMO -3试题） 证明 取BC 的中点D ，对ABC △及BC 边上的点D ，应用斯特瓦尔特定理的推论2，
有 2
2
222
2
21111
11
224
2
2
4
A D A C A
B B
C b c a =
+-=
+
-．
从而有22222322a b c AD a AD a ++=+=⋅≥．
设ABC △的BC 边上的高为h ，则AD h ≥，于是
1
22
AD a a h ⋅⋅⋅=≥．
故222a b c ++≥，其中等号当且仅当223
22
AD a =且AD h =时成立，也即AD BC ⊥且AD =，
此时ABC △恰为正三角形．
例12 如图4-13，在ABC △中，D ，E 分别为AC 和AB 同方向延长线上的点，BD 与CE 相交于P ，且BD CE =．当P 在BC 边的中线上时，则AB AC =．
证明 设AP 交BC 于Q ．分别对△BPQ 及点A 和△CPQ 及点A 应用斯特瓦尔特定理的推广结论，
有
222AQ AP
BA BP BQ AP AQ PQ PQ =-⋅+⋅+⋅， 222AQ AP
CA CP CQ AP AQ PQ PQ
=-⋅
+⋅+⋅．
于是()()222222AQ AP
BA CA CP BP BQ CQ PQ PQ
-=-⋅
+-⋅
． 由于BD CE =，对△PBC 及点A 应用塞瓦定理，有
1QB EC DP QC EP DB ⋅⋅=，即PD QC
PE QB
=
． 当P 点在BC 边上的中线上时，有BQ QC =．
从而PD PE =，由此知PC PB =，故AB AC =．
例13 如图4-14，若D 是ABC △的边BC 延长线上一点，则AD 平分A ∠的外角的充分必要条件是2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．
证明 必要性：若AD 平分A ∠的外角，则由推论4即有 2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．
或者按证明斯特瓦尔特定理的方法来推导．
充分性：设直线AD 交ABC △的外接圆于E ，连BE 、CE ．
由割线定理有BD CD AD ED ⋅=⋅，并将其代入条件式2AD BD CD AB AC =⋅-⋅可得 ()AD ED AD AB AC -=⋅．
由此可知E 必在DA 的延长线上（因0ED AD ->）． 于是AD AE AB AC ⋅=⋅． ① 由△ACD ∽△BCD ，有AC BD AD BE ⋅=⋅． ② 由①⨯②得 A E B D A B B E
⋅=⋅． ③ 又由△ECD ∽△BAD ，有EC AD CD AB ⋅=⋅． ④ 由①÷④得，AE CD AC CE ⋅=⋅． ⑤
由③-⑤得，AE BC AB BE AC CE ⋅=⋅-⋅． 对四边形EBCA 应用托勒密定理，有 AE BC AB CE AC BE ⋅=⋅-⋅．
于是AB CE AC BE AB BE AC CE ⋅-⋅=⋅-⋅． 即()()0AB AC CE BE +-=，从而CE BE =．
因此CAD EBC ECB EAB ===∠∠∠∠． 故AD 平分A ∠的外角． 例14 如图4-15，设正ABC △的内切圆圆心为I ，半径为r ，在
I 内任取一点P ，设点P 到BC ，CA ，
AB 的距离分别为1d ，2d ，3d
（《数学通报》问题1356题）
证明 设正三角形ABC 的边长为1，则
123d d d ++
2IA IB IC r ====． 连AP 并延长交BC 于D ，则由题设知 3
2APB APC S d BD DC S d ==
△△，
()1123
131BPC BAC BPC S d d DP PA S S d d d d d d ===-+++-△△△． 由于BI IC =，BA AC =，对△BIC 及边BC 上的点D ，对ABC △及边BC 上的点D ，均应用斯特瓦尔特定理的推论1，有
2222ID IB BD DC AD AB BD DC =-⋅=-⋅，．
又由
3
2
d BD DC d =，知332323d d BD BC d d d d =⋅=
++，223d DC d d =+． 于是()22322313d d ID d d =-+，()
2
232231d d AD d d =-+． ①
又对△AID 及边AD 上的点P 应用斯特瓦尔特定理，有 222PA DP
IP ID IA DP PA AD AD
=⋅+⋅-⋅．
由123d DP PA d d =+，知23123d d PA AD d d d +=++，1123d DP
AD d d d =++．
将上述各式及①式代入②式，并注意IA
，123d d d ++=
123444d d d -=+，有
()12132314
33
d d d d d d =-++． 即 ()21213231
143
IP d d d d d d ⎡⎤=-++⎣⎦． 于是，()22
212
31213232d d d d d d d d d ---+++ ()()2223
1334IP r IP =-+-=-．
此式可写成为
=
()223r IP -． ③
由于P 点在
I 内部，则220r IP ->，从而，必有
0>
0>．如若不然，
0+
，0，
则
0+
<，
即0<与已知矛盾，则
知
>
>
>．
可见，以
，
，为边可以构成三角形，且由海伦—秦九韶公式及③式知其面
积为 【模拟实战】
习题A
1．在ABC △中，2AB AC ==，BC 边有100个不同的点1P ，2P ，…，100P ，
记22i i i
m A P B P P C =+⋅（i =1，
2，…，100），求12100m m m +++…的值．
2．在ABC △中，C ∠的平分线交AB 于D ．证明：CD <．（匈牙利中学生数学竞赛题） 3．在ABC △中，D 是BC 边上的点，已知13AB =，12AD =，15AC =，5BD =，求DC ．
4．在ABC △中，AB =AC =2BC =，设P 为BC 边上任一点，则（ ） A ．2PA PB PC <⋅ B ．2PA PB PC =⋅
C ．2PA PB PC >⋅
D ．2PA 与PB PC ⋅的大小关系不确定
5．D 是ABC △的边AC 上的一点，且21AD DC =∶∶，45C =︒∠，60ADB =︒∠，
求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线．
6．设ABC △的三边BC a =，CA b =，AB c =，()1
2
p a b c =
++．设a m ，a h 分别为BC 边上的中线长和高线长；a t ，a
t '分别为BC 边所对的角的内、外角平分线长．求证下列各式：
（Ⅰ）a m
（Ⅱ）a t =
（Ⅲ）a t '=
（Ⅳ）a h 7．在ABC △中，2AB BC =，2B A =∠∠，求证：ABC △是直角三角形． 8．证明：到三角形三顶点的距离的平方和最小的点是重心．
习题B
1．设，，分别是共线的三点A ，B ，C 对于O 所作切线的长．求证：a BC ⋅+
c AB b AC BC AC AB ⋅-⋅=⋅⋅．
2．锐角ABC △的外接圆过B ，C 的切线相交于N ，点M 是BC 的中点．求证：BAM =∠ CAN ∠．
（IMO -26预选题） 3．1PT 和2PT 是O 的割线，分别交O 于1S ，2S ，且12PT PT =，过P 的直线交O 于Q ，R （Q 在R 与P 之间），交12TT ，12S S 于T ，S ．求证
1111
PQ PR PS PT
+=+． 4．A ，B ，C ，D 四点在同一圆周上，且4BC DC ==，6AE =，线段BE 和DE 的长都是整数，求BD 的长．
5．在正方形ABCD 中，E 在BC 上，2BE =，1CE =，P 点在BD 上，则PE 和PC 的长度之和最小可达到多少？
6．设凸四边形的边长是a ，b ，c ，d ，对角线长是e 和f ．求证：2min{,,,}a b c d 当且仅当这个凸四边形是菱形时等号成立．
7．设I ，O ，G ，H 分别为ABC △的内心，外心，重心，垂心，令BC a =，CA b =，AB c =，()12
p a b c =++，R ，r 分别为外接圆和内切圆的半径．求证下列各式： （Ⅰ）222a IA b IB c IC abc ⋅+⋅+⋅=； （Ⅱ）2222abc IO R R Rr a b c =-
=-++； （Ⅲ）()()()()22222222221222918IG a b c b c a c a b a b c abc p ⎡⎤=+++++-++-⎣
⎦ ()2222254318
p a b c Rr =
-++-； （Ⅳ）()22222142IH R a b c abc p =-+++． 8．已知ABC △满足2ACB ABC =∠∠，设D 是BC 边上一点，且2CD BD =．延长线段AD 至E ，使
AD DE =．证明：1802ECB EBC +︒=∠∠． （IMO -39预选题）。