2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典 专题4

专题4.4角的比较
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•普陀区期末）如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（）
A．20°B．30°C．35°D．45°
【分析】由∠AOB：∠BOC＝2：3，可得∠AOB∠AOC进而求出答案，做出选择．
【解析】解：∵∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，
∴∠AOB∠AOC75°＝30°，
故选：B．
2．（2020•新华区一模）按图1～图4的步骤作图，下列结论错误的是（）
A．∠AOB＝∠AOP B．∠AOP＝∠BOP
C．2∠BOP＝∠AOB D．∠BOP＝2∠AOP
【分析】根据角平分线的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解析】解：∵OP是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠AOP＝2∠BOP，
∠AOP＝∠BOP∠AOB，
∴选项A、B、C均正确，选项D错误．
故选：D．
3．（2019秋•龙岗区校级期末）下列说法中，正确的个数有（）
①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③两点之间，线段最短；④若∠
AOC＝2∠BOC，则OB是∠AOC的平分线．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据直线的性质，两点间的距离的定义，线段的性质，角平分线的定义进行分析．
【解析】解：①过两点有且只有一条直线，是直线的公理，故正确；
②连接两点的线段的长度叫两点的距离，故错误；
③两点之间，线段最短，是线段的性质，故正确；
④若OB在∠AOC内部，∠AOC＝2∠BOC，OB是∠AOC的平分线，若OB在∠AOC外部则不是，故
错误．
故选：B．
4．（2019秋•福田区校级期末）射线OC在∠AOB内部，下列条件不能说明OC是∠AOB的平分线的是（）A．∠AOC AOB B．∠BOC∠AOB
C．∠AOC+∠BOC＝∠AOB D．∠AOC＝∠BOC
【分析】根据角平分线的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解析】解：A、射线OC在∠AOB内部，当∠AOC∠AOB时，OC是∠AOB的平分线，故本选项不符合题意；
B、射线OC在∠AOB内部，当∠BOC∠AOB时，OC是∠AOB的平分线，故本选项不符合题意；
C、如图所示，
射线OC在∠AOB内部，∠AOC+∠BOC＝∠AOB，OC不一定是∠AOB的平分线，故本选项符合题意；
D、射线OC在∠AOB内部，当∠AOC＝∠BOC时，OC是∠AOB的平分线，故本选项不符合题意．
故选：C．
5．（2019秋•朝阳区期末）α，β都是钝角，有四名同学分别计算（α+β），却得到了四个不同的结果，分别为26°，50°，72°，90°，老师判作业时发现其中有正确的结果，那么计算正确的结果是（）A．26°B．50°C．72°D．90°
【分析】根据钝角的取值范围，得到两个钝角和的取值范围，除以6后看所给的哪个角在这个范围内即可．
【解析】解：∵α、β都是钝角，
∴90°＜α＜180°，90°＜β＜180°，
∴180°＜α+β＜360°，
∴30°（α+β）＜60°，
∴计算正确的结果是50°．
故选：B．
6．（2019秋•九龙坡区校级期末）如图，已知∠AOB＝26°，∠AOE＝120°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，则∠COD的度数为（）
A．8°B．10°C．12°D．18°
【分析】根据∠AOB＝26°，∠AOE＝120°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，即可求得∠COD的度数．
【解析】解：∵OB平分∠AOC，∠AOB＝26°，
∴∠AOC＝2∠AOB＝52°，
∵OD平分∠AOE，∠AOE＝120°，
∴∠AOD AOE＝60°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝60°﹣52°＝8°．
则∠COD的度数为8°．
故选：A．
7．（2019秋•杏花岭区校级期末）如图，OC是∠AOB的平分线，．则∠AOB 等于（）
A．75°B．70°C．65°D．60°
【分析】利用∠BOD＝15°，∠BOD∠COD，得出∠BOC的度数，利用角平分线的性质得出∠AOB ＝2∠BOC．备用图
【解析】解：设∠BOD为x°，则∠COD为3x°，
∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝2x°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠COB＝4x°，
∵∠BOD＝15°，
∴∠AOB＝4×15°＝60°．
故选：D．
8．（2019秋•岑溪市期末）如图，已知OC是∠AOB的平分线，则下列结论：①∠AOB＝∠BOC；②∠AOC ＝∠BOC；③∠AOC∠AOB；④∠AOB＝2∠BOC．其中正确的有（）
A．②③④B．①②④C．①②③D．①③④
【分析】根据OC是∠AOB的平分线，即可判断．
【解析】解：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠BOC AOB，
即∠AOB＝2∠BOC，
∴②③④正确．
故选：A．
9．（2019秋•黄埔区期末）已知点O是直线AB上一点，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠BOE＝90°，下列结果，不正确的是（）
A．∠BOC＝130°B．∠AOD＝25°C．∠BOD＝155°D．∠COE＝45°
【分析】根据角平分线的定义、邻补角和直角的概念求解可得．
【解析】解：∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°，A选项正确；
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD∠AOC50°＝25°，B选项正确；
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝155°，C选项正确；
∵∠BOE＝90°，∠AOC＝50°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOE＝40°，故D选项错误；
故选：D．
10．（2019秋•丰润区期末）如图，两个直角∠AOC和∠BOD有公共顶点O，下列结论：
①∠AOB＝∠COD；
②∠AOB+∠COD＝90°；
③若OB平分∠AOC，则OC平分∠BOD；
④∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线．
其中结论正确的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】①由∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，可得∠AOB＝∠COD；②∠AOB+∠COD＝90°
不一定和是90°；③∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，所以OC平分∠BOD；
④由已知可得∠BOE＝∠COE，∠AOE＝∠DOE，所以∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射
线．
【解析】解：①∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，
∴∠AOB＝∠COD；
②∠AOB+∠COD＝90°不一定和是90°；
③若OB平分∠AOC，则∠AOB＝∠BOC＝45°，
∴∠COD＝45°，
∴OC平分∠BOD；
④∵∠AOB＝∠COD，
∴∠BOE＝∠COE，
∴∠AOE＝∠DOE，
∴∠AOD的平分线与∠BOC的平分线是同一条射线．
∴①③④正确，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•南岗区校级月考）已知两个角分别为35°和145°，且这两个有一条公共边，则这两个角的平分线所成的角为90°或55°．
【分析】根据互补的定义与角平分线的定义，分析计算可得答案．
【解析】解：因为35°+145°＝180°，且这两个有一条公共边，
所以互补的两个角有一条公共边，
当两个角有一个公共边，另一边在“公共边”的两侧时，则这两个角的平分线所成的角为90°；
当两个角有一个公共边，另一边在“公共边”的同侧时，则这两个角的平分线所成的角为55°．
12．（2020春•铜仁市期末）如图，将长方形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，点A落在A'，点B落在B'，点A'，B'，E在同一直线上，则∠FEG＝90度．
【分析】由折叠可得∠AEF＝∠A'EF，∠BEG＝∠B'EG，再结合平角的定义可求解∠FEG的度数．【解析】解：由折叠可得∠AEF＝∠A'EF，∠BEG＝∠B'EG，
∵∠AEB＝180°，
∴∠FEG＝∠A'EF+∠B'EG∠AEB＝90°，
故答案为90．
13．（2019秋•渝中区校级期末）平面内，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝20°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，则∠EOF＝35°或55°．
【分析】分两种情况：当OC在∠AOB内时；当OC在∠AOB外时．根据角平分线的定义，角的和差进行解答便可．
【解析】解：当OC在∠AOB内时，如图1，
∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF；
当OC在∠AOB外时，如图2，
∠EOF＝∠BOE+∠BOF，
14．（2020春•东城区校级期末）如图，点O在直线AB上，OC是∠AOD的平分线．若∠BOD＝50°，则∠AOC的度数为65°．
【分析】根据邻补角和角平分线的定义得出答案即可．
【解析】解：∵点O在直线AB上，
∴∠AOD+∠BOD＝180°，
∵∠BOD＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣50°＝130°，
∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOC∠AOD130°＝65°，
故答案为：65°．
15．（2020春•浦东新区期末）已知∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOC，则∠AOC的度数是10°或20°．【分析】求出∠AOC的度数，分为两种情况：①OC在∠AOB内部时，②OC在∠AOB外部时，求出即可．
【解析】解：当OC在∠AOB内部时，如图1，
∵∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOC，
∴∠AOC；
当OC在∠AOB外部时，如图2，
∵∠BOC﹣∠AOC＝∠AOB，∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOC，
∴3∠AOC﹣∠AOC＝40°，
∴∠AOC＝20°．
综上，∠AOC＝10°或20°．
故答案为：10°或20°．
16．（2020春•浦东新区期末）如图，∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，OD平分∠AOC，则∠AOD等于30度．
【分析】先求出∠AOC，根据角平分线定义求出∠AOD即可．
【解析】解：∵∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD∠AOC＝30°，
故答案为：30．
17．（2019秋•成华区期末）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠BOD，∠BOC＝51°24'，则∠AOD
＝77°12′．
【分析】根据角平分线的对于，求出∠BOD的度数，然后根据平角的定义即可得到结论．
【解析】解：∵OC平分∠BOD，∠BOC＝51°24'，
∴∠BOD＝2∠BOC＝2×51°24′＝102°48′，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣102°48′＝77°12′，
故答案为：77°12′．
18．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOE，∠COE＝90°，∠COD＝15°，则∠BOD的度数为105°．
【分析】由∠COE＝90°，∠COD＝15″，可求出∠DOE＝75°，再根据角平分线的意义，可求出∠AOE，进而求出∠BOE和∠BOD即可．
【解析】解：∵∠COE＝90°，∠COD＝15°，
∴∠DOE＝90°﹣15°＝75°
∵OD平分∠AOE，
∴∠AOD＝∠DOE＝75°∠AOE，
∴∠AOE＝150°，
∴∠BOE＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BOD＝∠BOE+∠DOE＝30°+75°＝105°．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋•渝中区校级期末）如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE：∠BOD＝2：5，∠COE＝80°，求∠EOB的度数．
【分析】设∠DOE＝2x，根据题意得到∠BOE＝3x，∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x，再根据平角为180度，得到2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°，即可得到∠BOE的度数．
【解析】解：如图，设∠DOE＝2x，
∵∠DOE：∠BOD＝2：5，
∴∠BOE＝3x，
又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE＝80°，
∴∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x
2×（80°﹣2x）+5x＝180°，
解得x＝20°
∴∠BOE＝3x＝3×20°＝60°．
故答案为：60°．
20．（2020春•道里区期末）如图，∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．（1）求∠BOC的度数；
（2）若∠DOE＝30°，求∠BOE的度数．
【分析】（1）根据角平分线定义得出∠BOC∠AOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠BOC和∠COE，再代入∠BOE＝∠BOC+∠COE求出即可．
【解析】解：（1）∵∠AOC＝80°，OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC∠AOC80°＝40°；
（2）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOC＝80°，∠DOE＝30°，
∴∠BOC∠AOC＝40°，∠COE＝2∠DOE＝60°，
∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝40°+60°＝100°．
21．（2020春•南岗区期末）如图，已知，∠AOB＝120°，在∠AOB内画射线OC，∠AOC＝40°．（1）如图1，求∠BOC的度数；
（2）如图2，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，求∠DOE的度数．
【分析】（1）利用两个角的和进行计算即可；
（2）根据角平分线的意义和等式的性质，得出∠DOE═∠AOB即可．
【解析】解：（1）∵∠AOB＝120°，∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣40°＝80°；
（2）∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD∠AOC，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE∠BOC；
∴∠DOE＝∠COD+∠COE（∠AOC+∠BOC）
∠AOB
120°
＝60°．
22．（2019秋•密云区期末）如图，点O在直线AB上，OC是∠AOD的平分线．（1）若∠BOD＝50°，则∠AOC的度数为65°．
（2）设∠BOD的大小为α，求∠AOC（用含α的代数式表示）．
（3）作OE⊥OC，直接写出∠EOD与∠EOB之间的数量关系．
【分析】（1）根据邻补角和角平分线的定义得出答案即可；
（2）类比（1）中的答案得出结论即可；
（3）分两种情况：OE在AB的上面，OE在AB的下面，利用角的和与差求得答案即可．【解析】解：（1）∵点O在直线AB上，
∴∠AOD+∠BOD＝180°，
∵∠BOD＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣50°＝130°，
∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOC∠AOD130°＝65°，
故答案为：65°；
（2）∵点O在直线AB上，
∴∠AOD+∠BOD＝180°，
∵∠BOD＝α，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣α，
∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOC∠AOD（180°﹣α）＝90°α；
（3）①OE在AB的上面，如图，
∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠DOC＝∠AOC∠AOD，
∵OC⊥OE，
∴∠EOD＝90°﹣∠COD＝90°∠AOD，
∵∠EOB＝90°﹣∠AOC＝90°∠AOD，
∴∠EOD＝∠EOB；
OE在AB的下面，如图，
同OE在AB上面的方法得，∠EOD＝∠EOB．
23．（2019秋•龙岗区校级期末）如图所示，已知OB，OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON 平分∠COD．
（1）若∠BOC＝25°，∠MOB＝15°，∠NOD＝10°，求∠AOD的大小；
（2）若∠AOD＝75°，∠MON＝55°，求∠BOC的大小；
（3）若∠AOD＝α，∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α，β的式子表示）．
【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠AOB＝2∠MOB＝30°，∠COD＝2∠NOD＝20°，然后利用∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD，可得结果；
（2）由角的加减可得∠AOM+∠DON的度数，从而求得∠BOM+∠CON，再利用∠BOC＝∠MON﹣（∠BOM+∠CON）可得结果；
（3）由OM与ON分别为角平分线，利用角平分线的定义得到两对角相等，根据∠BOC＝∠MON﹣∠BOM﹣∠CON，等量代换即可表示出∠BOC的大小．
【解析】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD
∴∠AOB＝2∠MOB＝30°，∠COD＝2∠NOD＝20°
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD＝30°+25°+20°＝75°
（2）∵∠AOD＝75°，∠MON＝55°，
∴∠AOM+∠DON＝∠AOD﹣∠MON＝20°，
∵∠BOM+∠CON＝∠AOM+∠DON＝20°，
∴∠BOC＝∠MON﹣（∠BOM+∠CON）＝55°﹣20°＝35°，
（3）∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴∠AOM＝∠BOM∠AOB，∠CON＝∠DON∠COD，
∵∠BOC＝∠MON﹣∠BOM﹣∠CON
＝∠MON∠AOB∠COD＝∠MON（∠AOB+∠COD）
＝∠MON（∠AOD﹣∠BOC）
＝β（α﹣∠BOC）
＝βα∠BOC，
∴∠BOC＝2β﹣α．
24．（2019秋•西城区期末）对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON 内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．
已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．
（1）若有两条射线OB1，OB2的位置如图3所示，且∠B1OM＝30°，∠B2OM＝15°，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是OB2；
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；
（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）由∠MON内含对称的定义可求解；
（2）由∠MON内含对称的定义可得10°（x+10）°≤30°，可求解；
（3）分两种情况讨论，利用∠MON内含对称的定义列出不等式，即可求解．
【解析】解：（1）∵∠AOB1在∠MON的外部，
∴射线OA、OB1组成的∠AOB1的平分线在∠MON的外部，
∴OB1不是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，
∵∠B2OM＝15°，∠AOM＝10°，
∴∠AOB2＝25°，
∴射线OA、OB2组成的∠AOB2的平分线在∠MON的内部，
∴OB2是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，
故答案为：OB2；
（2）由（1）可知，当OC在直线OA的下方时，才有可能存在射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，
∵∠COM＝x°，∠AOM＝10°，∠MON＝20°，
∴∠AOC＝（x+10）°，∠AON＝30°，
∵射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，
∴10°（x+10）°≤30°，
∴10≤x≤50；
（3）∵∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，
∴∠HOM＝50°，∠HON＝70°，∠EOM＝30°，∠FOM＝40°，
若射线OE与射线OH关于∠MON内含对称，
∴50﹣t70﹣t，
∴20≤t≤30；
若射线OF与射线OH关于∠MON内含对称，
∴50﹣t70﹣t，
∴22.5≤t≤32.5，
综上所述：20≤t≤32.5．。