趣味微积分第 15 课：发现阿基米德公式

第15章：发现阿基米德公式
在前面的课程中，我们发现了一些微积分关系，即系统如何变化的“算术”：
这些规则对我们有什么帮助？
●如果我们有一个现有的等式，规则是找到逐步模式的捷径。

幂律不是可视化不断增长
的正方形或立方体，而是让我们通过和. 无论指字面量平方或只是乘法
不重要——我们会得到变化的模式。

●如果我们有一组更改，规则会帮助我们对原始模式进行逆向工程。

获得类似的变化
或者是一个暗示是原来的图案。

学会用微积分思考意味着我们可以使用X 射线和延时视觉来想象正在发生的变化，并使用规则来计算出细节。

最终，我们可能不会可视化任何东西，而只是直接使用符号（就像您今天使用算术时所做的那样）。

在课程开始时，我们将一个环变成了一个圆，然后是一个球体，然后是一个壳：
有了官方规则，我们就可以自己进行计算并找到圆/球体公式。

这听起来可能很奇怪，但是当你看到它们在你面前变形时，这些公式对我来说感觉不同——几乎是活的。

让我们跳进去。

15.1将周长更改为面积
我们“一步一步”思考的第一个例子是将一系列环粘合成一个圆圈：
当我们开始时，我们需要大量的可视化。

我们不得不展开环，将它们排列起来，意识到它
们形成了一个三角形，然后使用获取该区域。

视觉，乏味......而且必要。

在处理原始方程之前，我们需要感受发生了什么。

这是符号方法：
让我们来看看吧。

“逐环游戏中时光倒流”的概念锐化为“整合环，从无到全半径”，最终：
每个环都有高度和宽度dr ，我们想累积那个区域来制作我们的光盘。

我们如何解这个方程？通过逆向工作。

我们可以移动积分之外的部分（还记得缩放属性吗？）并专注于积分r ：
什么图案使大小步长r ? 嗯，我们知道创建大小的步骤2r ，这是我们需要的两倍。

一半应该是完美的。

让我们试试看：
是的，给我们我们需要的步骤！现在我们可以插入积分的解决方案：
这与第一课中制作环形三角形的结果相同，但我们操纵的是方程，而不是图表。

不错！一旦我们达到3d，它会更有帮助......
15.2改变面积为体积
让我们变得更狂热。

我们可以把我们的圆盘，把它们加厚成盘子，然后建造一个球体：
我们慢慢走吧。

我们有几个板块，每个板块都有不同的“x 坐标”。

单板的尺寸是多少？
该板的厚度为(dx)，以及它自己的半径。

板的半径是它离x 轴的高度，我们可以称之为y .
一开始有点困惑：r 是整个球体的半径，但是y 是被检查的单个板的（通常较小的）半径。

事实上，只有中心板（X=0) 的半径将与整个球体相同。

“端板”根本没有高度。

根据勾股定理，我们在板的x 位置和它的高度(y)：
好的。

我们有每块盘子的尺寸，可以综合求出体积，对吗？
没那么快。

不是从左侧开始，x 坐标为负，移动到0，然后达到最大值，让我们将球体视为两半：
要找到总体积，请得到一半的体积，然后将其翻倍。

这是一个常见的技巧：如果一个形状是对称的，则获取一个部分的大小并将其放大。

通常，计算“0 到最大值”比计算“最小值到最大值”更容易，尤其是当“最小值”为负数时。

好的。

现在让我们解决它：
哇！相当一个等式，在那里。

看起来很多，但我们会解决它：
首先，三个变量（r,y ,x ) 太多了，无法在一个等式中飞来飞去。

我们将写下每个盘子的高度（y)，就其他而言：
平方根起初看起来很吓人，但它正在被插入y²指数将抵消它。

插入y并移动后π在积分之外，我们有更好的：
括号经常被删除，因为它被理解dx 乘以整个步长。

我们知道这一步是
并不是.
让我们来谈谈r 和x 一分钟。

r是整个球体的半径，例如“15英寸”。

你可以想象问“我想要一个半径为15 英寸的球体的体积”。

美好的。

为了解决这个问题，我们将在每个x 坐标处创建板，从x=0 取决于x=15 （并加倍）。

x 是
记账条目，它记住我们在哪个盘子上。

我们可以计算出体积x=0 至x=7.5 ，让我们说，我们会建立一个部分球体（也许有用，也许没有）。

但是我们想要整个shebang，所以我们让x 从0 到完整r.
是时候解决这个坏男孩了。

什么方程有这样的步骤?
首先，让我们使用加法规则：步骤如下a-b 由两种图案制成（一种使a , 其他制作b ）。

先看第一个图案，大小的步骤r². 我们沿着x 轴移动，并且r 是一个永远不会改变的数字：它是15 英寸，即我们球体的大小。

这个最大半径永远不取决于x ，当前板块的位置。

当积分过程中缩放因子不变时(r,π等），它可以移到外面并在最后放大。

所以我们得到：
换句话说，是贡献常数的线性轨迹r²在每一步。

凉爽的。

的积分如何-x²? 首先，我们可以移出负号并取积分x²：
我们以前见过这个。

自从有步骤, 取该金额的1/3 () 应该是对的。

我们可以检查我们的积分是否正确：
成功了！随着时间的推移，您将学会信任您逆向工程的积分，但在开始时，最好检查导数。

积分解决后，我们将它们插入：
还剩什么？那么，我们的公式仍然有x 内部，测量从0 到某个最终值的体积X . 在这种情况下，我们想要完整的半径，所以我们设置x=r ：
多田！您已经找到了球体（或球体的另一部分，如果您使用不同的范围）的体积X ）。

认为那是艰苦的工作吗？你不知道。

那一个在线计算了阿基米德，所有时代最伟大的天才之一，九牛二虎之力才搞清楚。

他必须想象一些球体、一个圆柱体、一些圆锥体和一个支点，并想象它们是平衡的，……假设当他找到公式时，他把它写在了他的坟墓上。

您目前的直觉本可以为他节省大量精力。

15.3改变体积到表面积
现在我们有了体积，找到表面积就容易多了。

我们可以使用逐壳X 射线对球体进行薄薄的“剥离”：
我把整个壳想象成现有球体表面上的“粉末”。

有多少粉？它是dV ，体积变化。

好的，粉末覆盖的面积是多少？
嗯。

想想一个类似的问题：一袋地膜覆盖多少面积？得到体积，除以所需的厚度，你就得到了覆盖的区域。

如果我给你300 立方英寸的泥土，把它铺成2 英寸厚的堆，那么这堆
将覆盖150 平方英寸。

毕竟，如果然后
.
在我们的例子中，dV 是壳的体积，并且dr 是它的厚度。

我们可以传播dV 沿着我们正在考虑的厚度（dr) 并查看我们添加了多少区域：，导数。

这是正确的符号派上用场的地方。

我们可以将导数视为抽象的瞬时变化率（)，或作为
特定比率(）。

在这种情况下，我们要考虑单个元素，以及它们如何相互作用（壳体积/壳厚度）。

所以，给定关系，
我们弄清楚：
哇，这真快！我们的变形顺序（周长→区域→体积→表面积）使最后一步变得简单。

我们可以尝试直接将圆周旋转到表面积中，但它更复杂。

当我们研究这个公式时，我们“去掉了指数”要得到. 请记住，总的变化来自三个贡献相等份额的观点：.
15.4一天的2000 年数学
我们完成的步骤需要2000 年的思考才能发现，最伟大的天才不少。

微积分是一个如此广泛而令人惊叹的观点，很难想象它在什么地方不适用。

这只是关于使用X 射线和延时视觉：
●分解事情。

在你目前的情况下，接下来会发生什么？在那之后？这里有模式吗？（变
大，变小，保持不变。

）这些知识对你有用吗？
●找到源头。

你看到了一堆变化——是什么导致了它们？如果你知道来源，你能预测所
有变化的最终结果吗？这个预测有用吗？
我们习惯于分析方程，但我希望它不会就此止步。

数字可以描述心情、辣味和顾客满意度；一步一步的思考可以描述作战计划和心理治疗。

方程和几何只是分析的好起点。

数学与方程式无关，音乐与乐谱无关——它们指向符号中的思想。

虽然有更多关于其他导数、积分技术以及无穷大如何工作的详细信息，但您不需要它们来开始思考微积分。

你今天的发现会让阿基米德的眼睛流泪，这对我来说是一个很好的开始。

快乐数学。