初高中教材衔接第一讲数与式(初高中衔接教材)

第一讲 数与式
在初中，我们已学习了实数，知道字母能够表示数，用代数式也能够表示数，我们把实数和代数式简
称为数与式． 代数式中有整式 （多项式、 单项式） 、分式、 根式．它们拥有实数的属性， 能够进行运算． 在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完整平方公式），而且知道乘法公式能够使多
项式的运算简易．因为在高中学习中还会碰到更复杂的多项式乘法运算，所以本节中将拓展乘法公式的内容，增补三个数和的完整平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，常常会接触到被开方数是字母的情况，但在初中却没有波及，所以本节中要增补．鉴于相同的原由，还要增补“繁分式”等相关内容．
一、乘法公式
【公式 1】平方差公式： a 2 b 2
(a b)( a b)
【公式 2】完整平方公式： ( a b) 2 a 2 2ab b 2
【公式 3】完整立方公式：
( a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2
b 3
【公式 4】 ( a b c) 2
a 2
b 2
c 2 2ab 2bc 2ca （完整平方公式 ）
证明 ： (a b c) 2
[( a b) c]2
(a b) 2
2( a b)c c 2
a 2 2ab
b 2 2ac
2bc c 2 a 2
b 2
c 2
2ab
2bc
2ca .
等式建立
【例 1】计算： ( x 2
2x
1)2
3
1] 2 解：原式 =[ x 2
(
2x)
3
(x 2 )2
(
2x)2
(1)2
2 x 2 (
2) x
2x 2 1
2 1 (
2 x)
3
3
3 x
4 2 2x 3
8 x 2 2 2 x
1 .
3 3 9
说明 ：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂摆列．
【公式 5】 ( a
b)(a 2
ab b 2 ) a 3 b 3 ( 立方和公式 )
证明 : (a b)(a 2
ab b 2 ) a 3 a 2 b ab 2 a 2b ab 2 b 3
a 3
b 3 .
【公式 6】 ( a b)(a 2 ab b 2 ) a 3 b 3 ( 立方差公式 )
证明 ： (a b)( a 2
ab
b 2 ) [ a ( b)][ a 2
a( b)
( b)2 ]
a 3
( b)3 a 3 b 3 .
【例 2】计算：
（1） (4
m)(16
4m m 2 )
（2） ( 1 m
1 n)( 1 m
2 1 mn 1 n 2 )
5 2 25 10 4 （ 3） (a 2)(a
2)(a 4 4a 2
16) （ 4） ( x 2 2xy y 2 )( x 2 xy y 2 ) 2
解：（ 1）原式 = 43
m 3
64 m 3 .
（ 2）原式 = ( 1
m)
3
( 1
n) 3 1 m 3 1 n 3 .
5
2 125
8
（ 3）原式 = (a 2 4)(a 4 4a 2 42 ) (a 2 )3 43 a 6
64 .
（ 4）原式 = ( x
y) 2 ( x 2 xy y 2 ) 2 [( x
y)( x 2 xy
y 2 )] 2
( x 3 y 3 ) 2 x 6 2x 3 y 3
y 6 .
说明 ：在进行代数式的乘法、除法运算时，要察看代数式的构造能否知足乘法公式的构造．
【例 3】已知 x 2
3x 1 0 ，求 x 3
1
的值．
3
x
解：
x 2
3x 1 0
x 0
x 1 3
x
原式 =
( x 1 )( x 2
1 1 )
(x
1
1 )
2 3]
3(32
3) 18
x x 2 x )[( x
x
说明 ：此题若先从方程 x 2 3x 1 0 中解出 x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦．此题则依据条件 式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．
引申 ： a 3 b 3
c 3
3abc (a
b c)( a 2 b 2
c 2 ab bc
ca )
二、指数式
当 n
N 时， a n
a a
a .
n 个 a
当 n
Q 时，⑴零指数 a 0
1(a
0) ， ⑵负指数 a n
1n (a 0) .
a
n
m a n
(a
⑶分数指数 a m
0, m, n 为正整数 ).
幂运算法例： (1) m a n a m
n
,(2)( a m ) n a mn
,(3)( ab
) n
n
b n
( ,
0, ,
)
.
a
a
a b
m n Z
2
1
3 【例 4】求以下各式的值：
8
3
， 100 2 ， (16
)
4
81
2
2
2
3
2
2
2
1
1 1
3
解: 8
3
(23
)
3
3
4； 100 2
1 1 1 ； (
16
) 4
100 2 (102
)
2
10
81
24
)
4
3
34
2 3
33
27 ．
3
3
2
3
8
【例 5】计算以下各式
⑴ (2
2 1
1 1 ) ( 3
1
5 )
1 3
8
3
b 2
)( 6
a 2
b 3
a 6
b 6 ； ⑵ ( p 4 q 8
)
a
．
2
1
1
1
(
1
5
)
2 1 1 1 1 5 解: ⑴ (2a 3
b 2 )(
6a 2 b 3 ) 3a 6 b 6 4a
3
2 6
b
2
3
6
4ab 0 4a ；
1
3
1
3
p 2
⑵ ( p 4
q 8
) 8 ( p 4
) 8
( q 8
)
8
p 2q
3
．
q
3
三、根式
式子
a (a
0) 叫做二次根式，其性质以下：
(1)
( a )2 a( a 0)
(3)
ab
a
b( a 0, b 0)
(2) a 2 | a | (4)
b
b
(a 0,b 0)
a
a
假如有 x n a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，此中 n 为大于 1的整数．
当 n 为奇数时， n a n a ，当 n 为偶数时， n a n | a | a, a
0 .
a, a 0 【例 6】化简以下各式 ：
(1)( 3 2) 2
( 3 1) 2 (2)
(1 x) 2 (2 x) 2 ( x 1)
解：(1)
原式 =| 3
2 | |
3 1| 2
3 3 1 1
(2)
原式 =| x
1| | x
2 ( x 1) (x 2) 2 x
3 ( x 2)
|
1) ( x 2) 1 (1 x 2)
( x
说明 ：请注意性质 a 2
| a | 的使用：当化去绝对值符但字母的范围未知时，要对字母的取值分类议论． 【例 7】计算 ( 没有特别说明，本节中出现的字母均为正数 ) ：
(1)
3 3
(2)
1 1 (3)
2 x
x 3
8x
2
a b
2
解：(1)
原式 =
3(2
3)
3(2 3) 3 3
(2
3)(2 3)
22 6
3
(2)
原式 = a b
a 2b
ab 2
ab
ab
(3)
原式 =2
2x x x 2
2 22 x
2x
x x 2 2 x 3 2x x x .
2 2
说明 ： (1) 二次根式的化简结果应知足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
(2) 二次根式的化简常有种类有以下两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因 式，而后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式
( 如
3 ) 或被开方数有分母 ( 如 x
) ．这时
2
3
2 可将其化为
a
形式 ( 如
x
可化为
x
) ，转变为 “分母中有根式”的状况．化简时，要把分母中的根
b
2
2
式化为有理式， 采纳分子、 分母同乘以一个根式进行化简．
( 如
3 化为
3(2
3)
，此中2 3
3
3)(2
2 (2
3)
与 2 3 叫做互为有理化因式 ) ．
四、分式
当分式 A
的分子、分母中起码有一个是分式时，
A
就叫做 繁分式 ，繁分式的化简常用以下两种方法：
B
B
(1) 利用除法法例； (2) 利用分式的基天性质．
【例 8】化简
x
1 x
x
1
x
x
解法一 ：原式 =
x
x x
x x( x 1)
x 1 1 x
(1 x) x x x 2
x x
x 2
x
x
x
1 ( x 1)(x 1)
x
x 1
x 2 x 1
x
解法二 ：原式 =
x x x
x( x
1) x 1
(1 x) x x(1 x)
x x
2
x x x
x
1
x
1
x
( x
x
x
2
x 1
)
x
说明 ：解法一的运算方法是从最内部的分式下手，采纳通分的方式逐渐脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基天性质 A A m
进行化简．一般依据题目特色综合使用两种方法．
B
B
m
【例 9】化简
x 2
3x 9 6x
x 1 x 3 27
9 x x 3 6 2x
解：原式 =
x 2 3x 9
6x
x 1 1 6
x 1
3x 9)
x(9 x 3 )
2(3 x) x 3
(x 3)(x 3)
2( x 3)
( x 3)(x 2
2( x
3) 12 ( x 1)(x 3)
( x 3) 2
3 x .
2( x 3)(x 3)
2( x 3)( x
3) 2( x 3)
说明 ：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行， 当分子、 分母为多项式时， 应先因式分解再进行约分化简；
(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．。