关于某类p叶解析函数
合集下载
某类解析函数子类的性质与特征
华南师范大学学报 （自然科学版）
２１ ００年 ８月
Ａｕｇ ．２０１ ０ Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＯＵＴ ＣＨＩ Ｈ ＮＡ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ｎＹ
２ １ 第 ３期 ００年
Ｎｏ． ３，２ ０ ０１
（ Ａ Ｕ ＡＬＳ Ｉ Ｎ Ｅ Ｅ ＩＩ Ｎ） Ｎ Ｔ Ｒ ＣＥ Ｃ ＤＴＯ
通 讯 作 者
Ｉ ２
华 南 师 范 大 学 学 报 （自 然 科 学 版）
２１ ００生
假设 是Ｃ ＸＵ到Ｃ的一个 映射．并 且对所有 满足
） 一ｔ １ ）２的实数 ， ， ≤ ／ ＋ ／ ， （ Ｙ和所有 的 ｚ Ｕ 都有 ∈ ，
２ 主 要 结果
首先 ， 我们 证 明了函数类 Ｍ Ｏ， 的如下几个 （ｔ ） 包含关 系．
令一 ４为开单 位 圆盘Ｕ＝｛∈Ｃ；ｚ ＜１ 内形 如 ： Ｉｌ ｝ ２ ＋ ）＝ （ Ｎ 凡∈ ＋＝ ｛， ，， ｝ １２３ … ）
对 于 ≥０， ≤卢＜１且 ｆ ０ ＥＡ 用 （ ） ， ， 表 示满 足 式 （ ） 函数 ｆ ｚ 的全 体 组 成 的 函 数 类． ２ 的 （）
（ ，；） 力． 函数 ｐ ｉ ｙｚ ｘ 若 （）＝ｌ ｎ ＋… 在 Ｕ上 ＋￣ “ Ｚ 解 析且 对所有 的 ｚ Ｕ， ∈ 都有 ｃ（ ）ｚ ） ） １ Ｐ（ ， （ ； ∈ ） ｐ
，
则 Ｆ （（） ０： ｔ ｐ ｚ ）＞ ，∈ ｅ
引理 ２ｍ 若函数 Ｐ ７ 由式（ ） Ｅ： ＇ １ １ 给出， 则
ｐ ｚ ： １＋ Ｐｚ ， （） ｋ （） １
ＷＡ Ｉ Ｋ 在文献 ［］ ８ 中得到 了 中满足条件
Ｒ ） ｗ＞ ｅ ＜ ∈ ，１ （ （ ３ ）
的全体 解析 函数所成 的 函数 类 （ 的一些 性 质． 卢） 本文 在此基 础 上 研究 如 下 定 义 的 函数 类 （ ） ，
２１ ００年 ８月
Ａｕｇ ．２０１ ０ Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＯＵＴ ＣＨＩ Ｈ ＮＡ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ｎＹ
２ １ 第 ３期 ００年
Ｎｏ． ３，２ ０ ０１
（ Ａ Ｕ ＡＬＳ Ｉ Ｎ Ｅ Ｅ ＩＩ Ｎ） Ｎ Ｔ Ｒ ＣＥ Ｃ ＤＴＯ
通 讯 作 者
Ｉ ２
华 南 师 范 大 学 学 报 （自 然 科 学 版）
２１ ００生
假设 是Ｃ ＸＵ到Ｃ的一个 映射．并 且对所有 满足
） 一ｔ １ ）２的实数 ， ， ≤ ／ ＋ ／ ， （ Ｙ和所有 的 ｚ Ｕ 都有 ∈ ，
２ 主 要 结果
首先 ， 我们 证 明了函数类 Ｍ Ｏ， 的如下几个 （ｔ ） 包含关 系．
令一 ４为开单 位 圆盘Ｕ＝｛∈Ｃ；ｚ ＜１ 内形 如 ： Ｉｌ ｝ ２ ＋ ）＝ （ Ｎ 凡∈ ＋＝ ｛， ，， ｝ １２３ … ）
对 于 ≥０， ≤卢＜１且 ｆ ０ ＥＡ 用 （ ） ， ， 表 示满 足 式 （ ） 函数 ｆ ｚ 的全 体 组 成 的 函 数 类． ２ 的 （）
（ ，；） 力． 函数 ｐ ｉ ｙｚ ｘ 若 （）＝ｌ ｎ ＋… 在 Ｕ上 ＋￣ “ Ｚ 解 析且 对所有 的 ｚ Ｕ， ∈ 都有 ｃ（ ）ｚ ） ） １ Ｐ（ ， （ ； ∈ ） ｐ
，
则 Ｆ （（） ０： ｔ ｐ ｚ ）＞ ，∈ ｅ
引理 ２ｍ 若函数 Ｐ ７ 由式（ ） Ｅ： ＇ １ １ 给出， 则
ｐ ｚ ： １＋ Ｐｚ ， （） ｋ （） １
ＷＡ Ｉ Ｋ 在文献 ［］ ８ 中得到 了 中满足条件
Ｒ ） ｗ＞ ｅ ＜ ∈ ，１ （ （ ３ ）
的全体 解析 函数所成 的 函数 类 （ 的一些 性 质． 卢） 本文 在此基 础 上 研究 如 下 定 义 的 函数 类 （ ） ，
抛物线解析式的求法
（3）在（2）的条件下．抛物线与y轴交于点C， 点E在y轴的正半轴上且以A、O、E为顶点的三 角形与⊿AOC相似。求点E坐标.
初三某班的学生在问题中出现争论:
求方程x2
1 2
x
3的解时,几乎所有学生都将方程化为
x2
1 2
x
3
0,画出函数图象,观察它与x轴的交点得, 出
方程的解,唯独小刘没有将方程移项,而是分别画出函数
变:抛物线与x轴的两个交点的横坐标是 －3和1，且过点（0， 3 ），此抛物线
2
的解析式是
9. 已知二次函数的图象顶点坐标（2,1）
，且与x 轴相交两点的距离为2，则其
表达式为
.
10.抛物线的顶点为（－1，－8），它与
x轴的两个交点间的距离为4，此抛物线
的解析式是
.
11.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分 别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。
y
C
乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标
都是整数。
OA
x B
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数， x=4
且S⊿ABC= 3。 请你写出满足上述条件的全部特点的所有的
二次函数的解析式为- 2,0),在y轴上的截距 为- 3,对称轴 x=2,求它的 解析式.
y
x2和y
1 2
x
3的图象,他认为它们的交点AB,的横坐
标
3 2
和
2就是原
方程的解.
17.你能否画出适当的函数图象，求方程
x2 1 x 3 2
的解？
图 26.3.3
18.已知：二次函数y=x2+2ax-2b+1和 y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过 x轴上两个不同的点M、N，求 a， b的值．
初三某班的学生在问题中出现争论:
求方程x2
1 2
x
3的解时,几乎所有学生都将方程化为
x2
1 2
x
3
0,画出函数图象,观察它与x轴的交点得, 出
方程的解,唯独小刘没有将方程移项,而是分别画出函数
变:抛物线与x轴的两个交点的横坐标是 －3和1，且过点（0， 3 ），此抛物线
2
的解析式是
9. 已知二次函数的图象顶点坐标（2,1）
，且与x 轴相交两点的距离为2，则其
表达式为
.
10.抛物线的顶点为（－1，－8），它与
x轴的两个交点间的距离为4，此抛物线
的解析式是
.
11.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分 别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。
y
C
乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标
都是整数。
OA
x B
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数， x=4
且S⊿ABC= 3。 请你写出满足上述条件的全部特点的所有的
二次函数的解析式为- 2,0),在y轴上的截距 为- 3,对称轴 x=2,求它的 解析式.
y
x2和y
1 2
x
3的图象,他认为它们的交点AB,的横坐
标
3 2
和
2就是原
方程的解.
17.你能否画出适当的函数图象，求方程
x2 1 x 3 2
的解？
图 26.3.3
18.已知：二次函数y=x2+2ax-2b+1和 y=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过 x轴上两个不同的点M、N，求 a， b的值．
两类p叶亚纯函数的性质
＋ ＝
∑ （） （，， ｃ 卢 ）
｛ ，， ｝ ， ｌ２ … ）
（） １
用 （ ）－ ｋ ，） Ｓ ｐ （ ， 卢 表示满足下面条件 的式 。 （） ２ 中的函数 （） 所成的函数族
（） ：１ 十
。 ”
ａ ≥０ ， （ ） ｓ ） ２
；
ｉ ｚ ） ＜ ｆ （／ ２Ｐ ） （ ｚ ） ＋一 （ ａｌ
（ ） （ ， ｓ ｔ ， 卢）及
（） ， ， 这２ 数 的系 不等 ， 定 函 族∑Ｇ（唧） 利 数 （ （ 卢 ｃ （，ｆ 得到 个函 族 数 式 并 义了 数 １ ） ｃ ． 用函 族 ｓ ， ） ， ）
和∑（） ， 的 数 征 到 论： 个∑（）。 ，， 中 数与 个∑（） ， 中函 ｃ （，卢 系 特 得 结 有限 ） （ 卢 函 有限 ） ｃ （，卢 ） 数
可类似定义多个亚纯 函数 的卷积． 对式 （ ） １ 中函数 ） 定义算子 如下 ：
ｚ＝ （ ， ） ， ） ｚ ｚ ）＝ｆ （）＋ ，
（） （）。 ，， ＝ （）。 ， 为Ｐ ２ ∑ ．０（ 卢 ∑ ｓ （ ｓ ０ ） ）
叶 （ ＜Ｐ ０≤ ）阶 卢 （ ＜卢 ≤ １ ０ ）型 亚纯 函数 ，
２ …，） 那么卷积（ ａ ａ 乘积） ， ｑ， Ｈｍ ｒ ｄ
； ｌ ＝
１ ２
引理 １ 设 （ ） Ｕ ｚ 是 中的正则且单 叶的 函
：… ： ｌ ｝ ＝ ：
ｇｌ ｇ２Ｉ 。：… ｇ。 ） ｃ ∈ （
数 由 ２给 ￣ｆ ｚ∈ ｜ 后 ／ ） （ 式（） 出， ｓ ） ∑（） ，， ） ｌ（ Ｓ （ Ｏ３ ／
收 稿 日期 ： ０ ０—０ ２１ ６一ｏ ４
基金项 目： 教育部博士点基金项 目（ ０ ５５ ４ ０ ） ２０ ０ ７ ０ ２ ｝ 通讯作 者 ，ｕ ｓ＠ｓ ｕ ｅ ｕ ｃ ｌ ｍ ｈ ｃ ．ｄ ．ａ ｉ ｎ
∑ （） （，， ｃ 卢 ）
｛ ，， ｝ ， ｌ２ … ）
（） １
用 （ ）－ ｋ ，） Ｓ ｐ （ ， 卢 表示满足下面条件 的式 。 （） ２ 中的函数 （） 所成的函数族
（） ：１ 十
。 ”
ａ ≥０ ， （ ） ｓ ） ２
；
ｉ ｚ ） ＜ ｆ （／ ２Ｐ ） （ ｚ ） ＋一 （ ａｌ
（ ） （ ， ｓ ｔ ， 卢）及
（） ， ， 这２ 数 的系 不等 ， 定 函 族∑Ｇ（唧） 利 数 （ （ 卢 ｃ （，ｆ 得到 个函 族 数 式 并 义了 数 １ ） ｃ ． 用函 族 ｓ ， ） ， ）
和∑（） ， 的 数 征 到 论： 个∑（）。 ，， 中 数与 个∑（） ， 中函 ｃ （，卢 系 特 得 结 有限 ） （ 卢 函 有限 ） ｃ （，卢 ） 数
可类似定义多个亚纯 函数 的卷积． 对式 （ ） １ 中函数 ） 定义算子 如下 ：
ｚ＝ （ ， ） ， ） ｚ ｚ ）＝ｆ （）＋ ，
（） （）。 ，， ＝ （）。 ， 为Ｐ ２ ∑ ．０（ 卢 ∑ ｓ （ ｓ ０ ） ）
叶 （ ＜Ｐ ０≤ ）阶 卢 （ ＜卢 ≤ １ ０ ）型 亚纯 函数 ，
２ …，） 那么卷积（ ａ ａ 乘积） ， ｑ， Ｈｍ ｒ ｄ
； ｌ ＝
１ ２
引理 １ 设 （ ） Ｕ ｚ 是 中的正则且单 叶的 函
：… ： ｌ ｝ ＝ ：
ｇｌ ｇ２Ｉ 。：… ｇ。 ） ｃ ∈ （
数 由 ２给 ￣ｆ ｚ∈ ｜ 后 ／ ） （ 式（） 出， ｓ ） ∑（） ，， ） ｌ（ Ｓ （ Ｏ３ ／
收 稿 日期 ： ０ ０—０ ２１ ６一ｏ ４
基金项 目： 教育部博士点基金项 目（ ０ ５５ ４ ０ ） ２０ ０ ７ ０ ２ ｝ 通讯作 者 ，ｕ ｓ＠ｓ ｕ ｅ ｕ ｃ ｌ ｍ ｈ ｃ ．ｄ ．ａ ｉ ｎ
抛物线解析式的求法
二次函数解析式的几种表达式
• 一般式：y=ax2+bx+c • 顶点式：y=a(x+h)2+k
• 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式
1.当x=3时，y最小值=-1，且图象 过（0，7）;
2.图象过点（0，-2）（1，2）且 对称轴为直线 x=1.5;
3.图象经过点（0，1）（1，0） （3，0）;
二次函数的解析式为
。
12.已知二次函数的图象过 点(- 2,0),在y轴上的截距 为- 3,对称轴 x=2,求它的 解析式.
13.抛物线y=x2-2(m+1)x+n过点 (2,4),且其顶点在直线y=2x+1上,
x轴的两个交点间的距离为4，此抛物线
的解析式是
.
11.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分 别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。
y
C
乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标
都是整数。
OA
x B
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数， x=4
且S⊿ABC= 3。 请你写出满足上述条件的全部特点的所有的
பைடு நூலகம்
8.已知抛物线经过三个点A（2，6），
B（－1，0），C（3，0），那么二次
函数的解析式是
，
它的顶点坐标是
变:抛物线与x轴的两个交点的横坐标是 －3和1，且过点（0， 3 ），此抛物线
2
的解析式是
9. 已知二次函数的图象顶点坐标（2,1）
，且与x 轴相交两点的距离为2，则其
表达式为
.
10.抛物线的顶点为（－1，－8），它与
，
• 一般式：y=ax2+bx+c • 顶点式：y=a(x+h)2+k
• 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式
1.当x=3时，y最小值=-1，且图象 过（0，7）;
2.图象过点（0，-2）（1，2）且 对称轴为直线 x=1.5;
3.图象经过点（0，1）（1，0） （3，0）;
二次函数的解析式为
。
12.已知二次函数的图象过 点(- 2,0),在y轴上的截距 为- 3,对称轴 x=2,求它的 解析式.
13.抛物线y=x2-2(m+1)x+n过点 (2,4),且其顶点在直线y=2x+1上,
x轴的两个交点间的距离为4，此抛物线
的解析式是
.
11.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分 别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。
y
C
乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标
都是整数。
OA
x B
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数， x=4
且S⊿ABC= 3。 请你写出满足上述条件的全部特点的所有的
பைடு நூலகம்
8.已知抛物线经过三个点A（2，6），
B（－1，0），C（3，0），那么二次
函数的解析式是
，
它的顶点坐标是
变:抛物线与x轴的两个交点的横坐标是 －3和1，且过点（0， 3 ），此抛物线
2
的解析式是
9. 已知二次函数的图象顶点坐标（2,1）
，且与x 轴相交两点的距离为2，则其
表达式为
.
10.抛物线的顶点为（－1，－8），它与
，
第二章 解析函数
z
zw
n
v
0
w
z1 0
x
u
r
n 0
w z
n
0
26
特别：将w 平面上的角形区域 n n 变成 z 平面上除原点与负实轴的区域．
一般：将张角为
都变成 z 平面除去原点与负实轴的区域．
27
2k 2k Tk : (k 0,1,, n 1) n n n n
33
支割线：用来割破 z 平面，借以分出 z n 的单值解析分支的割线，称为 z 的支割 线．
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
2
f ( z ) f ( z0 ) 注:（1）定义中极限可改为 lim0 z z ； z z 0
若 f (z ) 在D内处处可导，则称 f (z ) 在D内 可导。
（2） z z0 的方式是任意的，因此较一元 实变函数具有许多独特的性质和应用。
推论2：若函数 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D内解析，且 f ( z ) 0, ( z D) ，则 u( x, y ) c1 v( x, y ) c2 （ c1 , c2 为常数） 是D内两组正交曲线族。
12
证明：由于 f ( z) 0, ( z D) ，故在D内 ( x, y ) 点 u y 与 v y 不全为0。
§3 初等多值函数
定义:设函数 f (z ) 在区域D内有定义，且 对D内任意不同的两点 z1 及 z 2 ，有 f ( z1 ) f ( z2 ) ，则称函数 f (z ) 在D内是单 叶的．并且称区域D为 f (z ) 的单叶性区 域． １、根式函数 根式函数w z 为幂函数 z 数（n是大于１的整数）．
一类具有负系数的γ阶p叶解析函数类
�
� � � ) 则 f(z)�Rn(p, , )当 且 仅 当 f(z)= p+ j fp+j (z) 其
j = 1
从而
(p+ j)|a p+j |zj Re
j = 1
�
<1 z� U (p+ j)|a p+j |z
j
中
p+j
�0
j = 1
p+j
=1.
2 pj = 1
� �
� � � 证 明 若 f(z)= p+jfp+j (z)= pfp (z)+ p+jfp+j (z) 在 上式 中取 z=x� { 0,1) 并令 x�1- 可得 j = 1 j = 1 a( p+lj)|a p+j| gp. � j=1 � p p zp+j) f(z)= pfp(z)+ p+ j (z 反 之 由定 理 1 显然成 立. 定 理证毕 . � p+ j j = 1 �
定义 � 设 p �N n �N �{0}
�
0
'� 0 若
从而得 到
f(z)� �A- 1(p)满足 条件 � 1+ 1 ( [ 1- )f(z) + f'(z) - 1] - 1 � pn zp pzp-1 1+ 1 Re{1- ) f(z) + f'(z) - 1} 0,z�U 由此 f(z)� Qn(p, , ). 定理 证毕. zp pzp-1
�
系数 不等 式 定理 �
a(p+lj)|a p+j | gp.
j=1
� �
� � � 证 明 若 f(z)=zp|a p+j|zp+j�Rn(p, , ) 则 设 函数 f (z)=zp+ a p+j zp+j 若 a(p+lj)
� � � ) 则 f(z)�Rn(p, , )当 且 仅 当 f(z)= p+ j fp+j (z) 其
j = 1
从而
(p+ j)|a p+j |zj Re
j = 1
�
<1 z� U (p+ j)|a p+j |z
j
中
p+j
�0
j = 1
p+j
=1.
2 pj = 1
� �
� � � 证 明 若 f(z)= p+jfp+j (z)= pfp (z)+ p+jfp+j (z) 在 上式 中取 z=x� { 0,1) 并令 x�1- 可得 j = 1 j = 1 a( p+lj)|a p+j| gp. � j=1 � p p zp+j) f(z)= pfp(z)+ p+ j (z 反 之 由定 理 1 显然成 立. 定 理证毕 . � p+ j j = 1 �
定义 � 设 p �N n �N �{0}
�
0
'� 0 若
从而得 到
f(z)� �A- 1(p)满足 条件 � 1+ 1 ( [ 1- )f(z) + f'(z) - 1] - 1 � pn zp pzp-1 1+ 1 Re{1- ) f(z) + f'(z) - 1} 0,z�U 由此 f(z)� Qn(p, , ). 定理 证毕. zp pzp-1
�
系数 不等 式 定理 �
a(p+lj)|a p+j | gp.
j=1
� �
� � � 证 明 若 f(z)=zp|a p+j|zp+j�Rn(p, , ) 则 设 函数 f (z)=zp+ a p+j zp+j 若 a(p+lj)
傅立叶变换的原理、意义和应用
傅立叶变换的原理、意义和应用1概念：编辑傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。
许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。
参考《数字信号处理》毅明著p.89，机械工业2012年发行。
定义f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t）的傅里叶变换，②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。
F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做F（ω）的像原函数。
F（ω）是f(t）的像。
f(t）是F（ω）原像。
①傅里叶变换②傅里叶逆变换中文译名Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。
为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。
应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。
相关* 傅里叶变换属于谐波分析。
* 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;* 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；*卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).[1]2性质编辑线性性质傅里叶变换的线性，是指两函数的线性组合的傅里叶变换，等于这两个函数分别做傅里叶变换后再进行线性组合的结果。
单叶p-调和映射
元 素的 映射 下 ，Ｄ 的像域 分别是 星形 的和 凸的．主要 结果是 定理 ３２ 定理 ３３ 它们的证 明 ．和 ．． 将在 第 ３节给 出．本 文 的第二 个 目的是 确定 日 和 日 中的极 值点 ，同时证 明 了 日 和 日 中具 有 非负 系数 的映射 可 以表示 为极值 点 的 凸组合 ．主要 结果 是定 理 ４１ ．、定理 ４２、 ． 定理 ４３ 定理 ４ ． 后 ，讨论 了 日 中 Ｐ ．和 ． 最 ４ 调和 映射 邻域 的存在性 ．证 明了 日 中映射 的一 些邻 域是 Ｈ 的子 集 ．主要 结果 是定 理 ５１ 它的证 明将 在第 ５节 中给 出． ．．
摘要：主要 目的是介绍两个 Ｐ一 调和映射类 Ｈ 和 Ｈ 及其相应的子类 日 和 日 ， 同 时研究这些类 中映射的性质 ．首先，讨论了 日 和 Ｈ 中映射的几何性质．证 明了在 Ｈ 和 Ｈ 中的映射下，单位 圆盘的像域分别是星形的和凸的．其次，确定了 Ｈ 、 日 、 日 ｎ 和 日 ｎ 的极值点 ，其 中 明了 Ｈ 中映射邻域的存在性． 关键词：Ｐ一调和 映射；星形性；凸性；极值点；邻域． 表示具有非负系数 的 Ｐ一调和映射类．最后 ，证
且 系数满 足
∑ Ｊａ ＋ ） １ Ｊｌ Ｉｌ ） （ｊ ｌｆ 一６（ ｂ＜１ １ｌ １０ ｌ
ｊ ＝２
而 ＨＣ 表示 ＨＳ 中所 有 满足条 件
二 Ｉｌ Ｉ１ １ ｂ （ ｂ ＜ ） Ｊ（ｊ ） 一ＩＩ Ｉｌ １ ｎ＋ ｌ０ ｌ
ｊ＝２
＋ 的元 素构 成 的集合 ．
∑
２
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ ）主题分类： ０ ６ ； ０ ４ 中图分类号： ７． 文献标识码：Ａ ３Ｃ ５３Ｃ ５ ０１４５ 文章编号 ： ０３３９ （ １）３５８１ １０—９ ８２ ２０—８—３ ０
摘要：主要 目的是介绍两个 Ｐ一 调和映射类 Ｈ 和 Ｈ 及其相应的子类 日 和 日 ， 同 时研究这些类 中映射的性质 ．首先，讨论了 日 和 Ｈ 中映射的几何性质．证 明了在 Ｈ 和 Ｈ 中的映射下，单位 圆盘的像域分别是星形的和凸的．其次，确定了 Ｈ 、 日 、 日 ｎ 和 日 ｎ 的极值点 ，其 中 明了 Ｈ 中映射邻域的存在性． 关键词：Ｐ一调和 映射；星形性；凸性；极值点；邻域． 表示具有非负系数 的 Ｐ一调和映射类．最后 ，证
且 系数满 足
∑ Ｊａ ＋ ） １ Ｊｌ Ｉｌ ） （ｊ ｌｆ 一６（ ｂ＜１ １ｌ １０ ｌ
ｊ ＝２
而 ＨＣ 表示 ＨＳ 中所 有 满足条 件
二 Ｉｌ Ｉ１ １ ｂ （ ｂ ＜ ） Ｊ（ｊ ） 一ＩＩ Ｉｌ １ ｎ＋ ｌ０ ｌ
ｊ＝２
＋ 的元 素构 成 的集合 ．
∑
２
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ ）主题分类： ０ ６ ； ０ ４ 中图分类号： ７． 文献标识码：Ａ ３Ｃ ５３Ｃ ５ ０１４５ 文章编号 ： ０３３９ （ １）３５８１ １０—９ ８２ ２０—８—３ ０
用Ruscheweyh导数定义的一类p叶解析函数
Ａｂ ｔａ ｔ Ｂｙ ｎ ｅ ｎ ｆＲｕ ｃ ｗｅ ｈ ｄｅ ｉ ａ ｉ ｅ ，ａ ｎ ｗ ｕ ｌ ｓ ｆｐ ｖ ｌ ｎ ｎ ｌ ｔｃｆ ｎｃ ｉ ｎｓ ｓｒ ｃ ： ＇ ａ ｓ ｏ ｓ ｈｅ ｙ ｒｖ ｔＶ ｓ ｅ ｓ ｂｃａ ｓ ｏ — ａ ｅ ｔａ ａ ｙ ｉ ｕ ｔｏ ｌ
．
－
ｗ ｎｔｏｄ ｅ ・ Ｔｗ ｏ ｎｅ ｅ ｓ ｒ ｎ ｕｆｉｉ ｎ ｏ ｉｉ ｓ ｗ ｅ ｅ ｏ ａ ｎ ｄ ｓ ｉ ｒ ｕｃ ｄ ｃ ｓ ａ ｙ ａ ｄ ｓ ｆｃｅ ｔ ｃ ｎｄ ｔｏｎ ｒ ｂｔ ｉ ｅ
＿（ ） 厂２
ｇ（ ． ）
１ 预 备 知 识
为避免重 复 ， 全文 设 ， Ｊ∈ Ｎ Ｎ ： ｛ ， 。 ， ｌ ２
～ ） 一 × ） 一
的解 析 函数类 ．
设 厂 和 ｇ 都在 Ｕ内解 析 ， （） （） 若存在 Ｕ内满 足 ｌ ）ｌ ｛ ｛ 砌（ ≤ 的解 析 函数 砌（ 使 得 ＿ ） ） 厂 ： （
ｇ（ （ ） 则 称 ｆ（ 从 属 于 ｇ（ ）， 做 叫 ）， ２） 记
Ｖｏ． ｏ １ ２１ Ｎ ．６
ＮＯ Ｖ． ２０ ０７
文 章编号 ：６ ２ ６ ９ （０ ７ ０ ． ０ ５ ０ １７— １７２０ ）６ ０ １— ４ ．
用 Ｒｕ ｃ ｅ ｙ 数 定 义 的一类 Ｐ叶解 析 函数 ｓｈ ｗｅ ｈ导
施 冬 芳
（ 扬州 大 学 数 学科 学 学院 ，江 苏 扬州 ２ ５ ０ ） ２ ０ ２ 摘 要 ：利用 Ｒｕｅ ｅ ｅ ｈ导ｃ ￣￣ 引进 了单 位 圆盘 内解析 函数 的一个 新子 类 给 出 了 函 数 ｓｈ ｗ ｙ ａ － 属于 函数 类 的两个 充 要条 件 ， 并考虑 了近 于 凸 函数 、 星象 函数 和 凸 函ｃ ４ ￣ ａ －
用算子L^δ,λl p,α,β定义的多叶解析函数子类的性质
有『 ｗ （ ｚ ） Ｉ ≤Ｉ ｚ 『 以及 ） ＝ ｇ （ ｗ （ ｚ ） ） 成立． ２ ０ ０ ７年 ， Ｓ Ｒ Ｉ Ｖ Ａ Ｓ Ｔ Ａ Ｖ Ａ和 Ａ ｒ Ｉ ’ Ｉ Ｙ Ａ ¨ 提出算子 ：
退化为 Ｃ Ｈ Ｏ等 ２ 推广 的 Ｓ ｒ ｉ ｖ ａ ｓ ｔ ａ ｖ ａ ． Ａ ｔ ｔ ｉ ｙ ａ算子． 定义 ２ 函 数 ／（ ｚ ）∈Ａ 称 为 属 于 函 数 类
２ ０ １ ０年 ， Ｃ Ｈ Ｏ等 推广 了 Ｓ ｒ ｉ ｖ ａ ｓ ｔ ａ ｖ ａ — Ａ ｔ ｔ ｉ ｙ ａ 算子 ：
’
搿 ） （ ） ＜
（ ｚ ∈ ） ， （ ３ ）
）＝ ＋
ｋ ｐ
＝ ＋ ｎ （ 、 Ｐ １ － 几 ） 。
其 中 ∈Ｃ ， （ ） ＞ ０ ， 一１ ≤ ≤１ ， Ａ≠ ． 先 给 出证 明本 文 的主要 结果 需用 到 的引理 ． 引理 １ ‘ ６ 设 函数 （ ） 在 单位 圆盘 内单 叶 解析且 ｈ （ ０ ）＝１ ， ｋ （ ｚ ） 在 单 位 圆盘 解 析且 有如 下 的 定 义方 式
加
一 Ｓ ＂ （ ｋ ＋ ｚ ／
（ ∈ Ｃ —Ｚ ； Ｚ ＝｛ ０，一１ ， 一２ ， …｝ ） ，
Ｚ ， 如果它满足如下的从属关系：
其中ｆ Ｅ Ａ 和 Ｋ为复数．这个算子被称为 Ｓ ｒ ｉ ｖ ａ ｓ ｔ ａ ｖ ａ － Ａ ｔ ｔ ｉ ｙ ａ 算子 ， 简称 为 ｓ － Ａ算 子 ．
ｋ （ ｚ ）＝１＋Ｃ ｎ Ｚ ＋Ｃ ＋ １ ｚ ＋…
（ ∈ Ｃ— ｉ ； Ｚ ＝ ｛ ０， 一１ ，一２ ， …｝ ） ，
其中 ∈ 。 和 为复数．且运用微分从属的相关结 果， 得到了相关 Ｓ － Ａ算子的中间定理． ２ ０ ０ ７年 ， Ｃ Ａ Ｔ Ａ Ｓ 提 出算 子 ：
亚纯P叶星象函数的一个新子类
Ｒ ｅ ｛ ） ＜ 一 ，（ ∈ ＿ Ｅ ）
象 函数的卷积算子条件下的一些充分必要条件 ． 为了证明我们的主要结果 ， 需要下面的引理 ． 引理 １ ［ １
（ ５ ）
所以 （ 口 ， ｃ ； ａ ） 的星象性是（ ４ ） 式的一个结果 ． 更进一步地 ， 我们将考虑在 Ｓ ｐ （ ａ ） 和 （ 口 ， ｃ ； ａ ） 中星
设 Ｓ ｐ （ 口 ） 表示 对一 些 （ ０≤ 口 ＜ １ ） 满足
Ｒ ｅ ｛ ） ＜ 一 ，（ ｚ ∈ Ｅ ∈ ｃ …｝ ）
且形如（ １ ） 的函数 ． Ｓ ｐ （ ａ ） 中的函数 ， （ ） 称为 Ｅ内的ａ阶亚纯 Ｐ叶星象函数 ．
定 义 函数 （ ａ， ｃ ； ｚ ）为
得 到
（ １ ０ ）
（ 。＋２ ， ｃ ） ） ±卫± （ ０＋１ ， ｃ ） ｚ ）一 ＝
（ ａ， ｃ ） ， （ ａ ， ｃ ） ｆ （ ｚ ）＝ （ ａ ， ｃ ； ） ＊ ） ．
若函 数 ｚ ） ∈∑ ， 且满足不等式
Ｒ ｅ ｛
（ 口， ｃ ） ）＝
收 稿 日期 ：２ ０ １ ３ － ０ １ ． ２ ５
一 ） ｐ ｎ ａ ， ｃ ｚ ∈ Ｅ
＊ ）＝ 兰 ＝
则 称该 函数 属 于 （ ０ ， ｃ ； ａ ） 类． 此处 口 ＞ ０ ， ０≤ ａ ＜ １ 且 满足
作者简介 ：杨颖（ １ ９ ８ ０ － ） ， 女 ，安徽 马鞍山人 ，讲师 ， 硕 士，研究方向为复分析
第 ２期
１
杨Hale Waihona Puke 颖： 亚纯 Ｐ叶星象函数的一个新子类
Ｖ０ １ ． １ ２ Ｎｏ ． ２
Ｊ ｕ ｎ ．２ ０ ｌ ３
分数次微积分算子在一类解析函数上的应用
维普资讯
第１ ６卷
然科学版）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨ ｕ ｉ ａ ｎ ｔ ｕ ｅ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ （ ａ ｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ａｈ ｉ ｓ ｉ ｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ Ｎ ｔ ｒ Ｉ ｃ ｃｓＥ ｉ ｏ ） ｏ Ｉ ｔ ｅ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ — ａ ｅ ｔａ ａ ｙ ｉ ｕ ｃ ｉ ｎ ；ｄ ｆ ｅ ｅ ｔ ｌｓ ｂ ｒ ｎ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｐ ｖ ｌ ｎ ｎ ｌ ｔ ｆ ｎ ｔｏ ｓ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｏ ｄ ａ ｉ ｎ；ｆ ａ ｔｏ ａ ａ ｃ ｌ ｓ ｏ ｅ ａ ｏ ｓ ｃ ａ ｒ ｃｉｎ ｌ ｌｕ ｕ ｐ ｒ ｔ ｒ ｃ
Ａ ｓｒ ｃ ：Ｂａ ｅ ｎ ｄ ｆｅ ｅ ｔ ｏ ｅ ａ ｏ ｓ ｓ ｍｅ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ｎ ｈ ｒ ｃ ｅ ｓ ｏ ｖ ｌ ｎ ｎ ｌ ｔ ｕ ｅ ｂ ｔａ ｔ ｓ ｄ ｏ ｉｆ ｒ ｎ ｐ ｒ ｔ ｒ ， ｏ ｒ ｐ ｒ ｉｓ ａ ｄ ｃ ａ ａ ｔ ｒ ｆＰ— ａ ｅ ｔａ ａ ｙ ｉ ｒ ｎ — ｃ ｔｏ ｓ ｈ ｖ ｅ ｎ ｉ ｖ ｓ ｉ ａ ｅ ｘ ｅ ｓｖ ｌ ．Ａ ｅ ｔ ｉ ｔ ｇ ａ ｐ ｒ ｔ ｒＪ 。ｉ ｅ ｉ ｅ ｙ ｃ ｎ ｏ ｕ ｉ ｎ ｉ ｎ ａ ｅｂ ｅ ｅ ｔｇ ｔ ｄ ｅ ｔ ｎ ｉ ｅ ｙ ｎ ｃ ｒ ａ ｎ ｉ ｅ ｒ ｌ ｅ ａ ｏ 抖 ｓｄ ｆｎ ｄ ｂ ｏ ｖ ｌ ｔｏ ｎ ｏ
积分 算子作 用 下的准 确的偏 差定理 ．
关键词 ： Ｐ叶 解析 函数 ； 微分 从属 ； 分数 次微积 分 算子
中图分 类号 ： ７ ． １ Ｏ１ ４ ５ 文献 标识码 ： Ａ
Ａ ｐ ｌｃ ｔｏ ｆＦｒ ｃ ｉ ｎ ｌＣａ ｃ ｌ ｓｏ ｒａ ｎ Ｓｕ ｃ ａ ｓｏ ｐ ｉａ ｉ ｎ ｏ ａ ｔｏ ａ ｌｕ ｕ ｎ Ｃｅ ｔ ｉ ｂ ｌ ｓ ｆ
第１ ６卷
然科学版）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨ ｕ ｉ ａ ｎ ｔ ｕ ｅ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ （ ａ ｕ ａ Ｓ ｉｎ ｅ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａ ａｈ ｉ ｓ ｉ ｔ ｆＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ Ｎ ｔ ｒ Ｉ ｃ ｃｓＥ ｉ ｏ ） ｏ Ｉ ｔ ｅ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ — ａ ｅ ｔａ ａ ｙ ｉ ｕ ｃ ｉ ｎ ；ｄ ｆ ｅ ｅ ｔ ｌｓ ｂ ｒ ｎ ｔｏ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｐ ｖ ｌ ｎ ｎ ｌ ｔ ｆ ｎ ｔｏ ｓ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｕ ｏ ｄ ａ ｉ ｎ；ｆ ａ ｔｏ ａ ａ ｃ ｌ ｓ ｏ ｅ ａ ｏ ｓ ｃ ａ ｒ ｃｉｎ ｌ ｌｕ ｕ ｐ ｒ ｔ ｒ ｃ
Ａ ｓｒ ｃ ：Ｂａ ｅ ｎ ｄ ｆｅ ｅ ｔ ｏ ｅ ａ ｏ ｓ ｓ ｍｅ ｐ ｏ ｅ ｔｅ ｎ ｈ ｒ ｃ ｅ ｓ ｏ ｖ ｌ ｎ ｎ ｌ ｔ ｕ ｅ ｂ ｔａ ｔ ｓ ｄ ｏ ｉｆ ｒ ｎ ｐ ｒ ｔ ｒ ， ｏ ｒ ｐ ｒ ｉｓ ａ ｄ ｃ ａ ａ ｔ ｒ ｆＰ— ａ ｅ ｔａ ａ ｙ ｉ ｒ ｎ — ｃ ｔｏ ｓ ｈ ｖ ｅ ｎ ｉ ｖ ｓ ｉ ａ ｅ ｘ ｅ ｓｖ ｌ ．Ａ ｅ ｔ ｉ ｔ ｇ ａ ｐ ｒ ｔ ｒＪ 。ｉ ｅ ｉ ｅ ｙ ｃ ｎ ｏ ｕ ｉ ｎ ｉ ｎ ａ ｅｂ ｅ ｅ ｔｇ ｔ ｄ ｅ ｔ ｎ ｉ ｅ ｙ ｎ ｃ ｒ ａ ｎ ｉ ｅ ｒ ｌ ｅ ａ ｏ 抖 ｓｄ ｆｎ ｄ ｂ ｏ ｖ ｌ ｔｏ ｎ ｏ
积分 算子作 用 下的准 确的偏 差定理 ．
关键词 ： Ｐ叶 解析 函数 ； 微分 从属 ； 分数 次微积 分 算子
中图分 类号 ： ７ ． １ Ｏ１ ４ ５ 文献 标识码 ： Ａ
Ａ ｐ ｌｃ ｔｏ ｆＦｒ ｃ ｉ ｎ ｌＣａ ｃ ｌ ｓｏ ｒａ ｎ Ｓｕ ｃ ａ ｓｏ ｐ ｉａ ｉ ｎ ｏ ａ ｔｏ ａ ｌｕ ｕ ｎ Ｃｅ ｔ ｉ ｂ ｌ ｓ ｆ
关于一类负系数的P叶解析函数性质
其应用 ．
维普资讯
ｌ ４
中 央 民族 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ｌ ７卷
条件 （ ）４ 等价 于 ３（） ：
一
１
［ ＋（ 一日）Ｐ 一 ） 日旦 日 Ａ （ ］一
＜ １ｚ∈ Ｄ ，
（） ５
在本 文 中 ， 我们 采用 文献 ［ ］ 的方法 ， ７中 首先 利 用从 属 原 理得 到 类 （ 日， ） 函数 的系 数估 计 ， Ａ， ａ 中
该 结果是 准 确 的 ． 证 明 令 Ｉ １ 则 １ １ 且 利用 三角不 等式 ， ：１ ＝１ ｚ 我们 有
｝
：１ Ｄ
：
！ ｝［ （ 日Ｐａ一 一一日 Ａ ）—］ ｝＋ 一（ ）日
ｆ ｚ １ ［ ＋（ —Ｂ） Ｐ 一口 ］ 一Ｂ （ ）一 —１ Ｂ Ａ （ ）ｚ Ｄ
ｐ
收 稿 日期 ：０ ７１．９ ２０ ．１１ 修 改 ） ２０ ．０２ （０８０ ．３
：
１
．
．
Ｄ …
， 。 、
（） ４
、
作 者 简 介 ： 申 （９６一）女 （ 古 族 ）吉 林 松 原 人 ， 林 省 松 原 职业 技 术 学 院 机 电 工 程 系 讲 师 ， 究 方 向 ： 数 论 及 哈 １６ ， 蒙 ， 吉 研 函
第 ｌ ７卷
第 ２期
关 于一 类 负 系数 的 Ｐ叶解 析 函数 性 质
哈 申
（ 林 省 松 原 职 业 技 术 学 院 机 电 工 程 系 ， 林 松 原 １８０ ） 吉 吉 ３０ ０
摘
要 ： 本 文 中 引进 并 研 究 具 有 负 系 数 的 Ｐ叶 解 析 函数 类 （ Ｂ， ） 利 用 从 属 原 理 得 到 该 类 中 函 数 的 系 Ａ。 ａ ，
维普资讯
ｌ ４
中 央 民族 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ｌ ７卷
条件 （ ）４ 等价 于 ３（） ：
一
１
［ ＋（ 一日）Ｐ 一 ） 日旦 日 Ａ （ ］一
＜ １ｚ∈ Ｄ ，
（） ５
在本 文 中 ， 我们 采用 文献 ［ ］ 的方法 ， ７中 首先 利 用从 属 原 理得 到 类 （ 日， ） 函数 的系 数估 计 ， Ａ， ａ 中
该 结果是 准 确 的 ． 证 明 令 Ｉ １ 则 １ １ 且 利用 三角不 等式 ， ：１ ＝１ ｚ 我们 有
｝
：１ Ｄ
：
！ ｝［ （ 日Ｐａ一 一一日 Ａ ）—］ ｝＋ 一（ ）日
ｆ ｚ １ ［ ＋（ —Ｂ） Ｐ 一口 ］ 一Ｂ （ ）一 —１ Ｂ Ａ （ ）ｚ Ｄ
ｐ
收 稿 日期 ：０ ７１．９ ２０ ．１１ 修 改 ） ２０ ．０２ （０８０ ．３
：
１
．
．
Ｄ …
， 。 、
（） ４
、
作 者 简 介 ： 申 （９６一）女 （ 古 族 ）吉 林 松 原 人 ， 林 省 松 原 职业 技 术 学 院 机 电 工 程 系 讲 师 ， 究 方 向 ： 数 论 及 哈 １６ ， 蒙 ， 吉 研 函
第 ｌ ７卷
第 ２期
关 于一 类 负 系数 的 Ｐ叶解 析 函数 性 质
哈 申
（ 林 省 松 原 职 业 技 术 学 院 机 电 工 程 系 ， 林 松 原 １８０ ） 吉 吉 ３０ ０
摘
要 ： 本 文 中 引进 并 研 究 具 有 负 系 数 的 Ｐ叶 解 析 函数 类 （ Ｂ， ） 利 用 从 属 原 理 得 到 该 类 中 函 数 的 系 Ａ。 ａ ，
由算子定义的一类p叶解析函数性质
定
义
／
定理 １
∑
口
＋
ｓ （ ）一 声 Ｓ ）一 声＋ １ｚ ， ｍ（
部 分
和
为
针
（ ≥ ２ ｍ ）．
≤ １ 其 中 ，
１一 Ｂ （ ＋ １ ＾ ＋ Ｐ ＋ ） ）（
一
Ａ－Ｂ ——
干
（ ） ９
则
（）当 一 １≤ Ｂ≤ ０时 ， ｉ 有
厂 ｚ （ ｎ ， ， （ ）Ｅ Ｈ ｐ， ， Ａ Ｂ）
．
注意 到 Ｉｆ（ ） ｐ ｚ 一， ｚ Ｉ－ 一型— （ ）， ｔ１ ） 厂（
由（ ） 不难验 证 ５式
（） ６
（ 计ｐ （ ） （ 厂 ｚ ） 一 ＋ ｐ Ｉ＋－厂 ｚ 一 计ｐ ｚ ）． １ （ ） ｒ． ｆ（ ）．
［ 稿 日期］ ２０ —４０ 收 ０ ８０ —７
５ ８
（０ １）
（ ）当 ≤ ０时 ， ｉ ｉ 有
Ｒ｛ ｝ 一 ， ∈ ，∈ ｅ ＞ ｚ ｕ １ Ｒ｛ ）惫 ，ｃ∈ ，∈ ｅ ＞ ｕ ｚ 仇
证 因 为
ｏｏ
（ １ １）
（ ２） １
）
＋
ｋ １
一… １ 高 ， ｌ
，
＋
所 以
告 ，
［ 键 词 ］ 解 析 函数 ；微 分 从 属 ； 分 和 ； 积 关 部 卷 ［ 圈 分 类 号 ］ Ｏ１ ４ ５ 中 ７． ２ ［ 献标 识 码 ］ Ａ 文 ［ 章 编 号］ １７ —４ ４２ １ ）２０ ５—５ 文 ６ ２１５ （０ １ ０—０ ７０
１ 引
言
全文 设 是 大于 一Ｐ 的整 数 ． Ａ。 令 表示 形 如
关于一类用算子D λ+p-1定义的P叶解析函数的性质
＝ ｉ ，
（ 如 ａ （＝ ， ｉ 果ｒ ｚ 三 有 ） ｇ０ ）
第 ２ 卷第 ５ ７ 期
齐 齐 哈 尔 大 学 学 报
Ｊ ｒ ａ ｆ ｑｈ ｒＵｎｖ ｓｔ ｏｕ ｎ ｌ ｉａ ｉｅｒｉ ｏ Ｑｉ ｙ
Ｖｏ ． ＮＯ． １２７． ５
２ １ 年 ９月 ０１
Ｓ ｐ，０ ｅ ． １ ２ １
关 于一 类 用 算 子
定 义 的 Ｐ叶解 析 函数 的性 质
ｋ＝ｌ
＋
ｚ ＝（ 厂） ） ｇ （ ｚ
对 于实数 ＞一 Ｐ和 中的 函数 厂（） ｚ ，定 义算 子 Ｄ
：
Ｄ 一（ ’ｚ ） 南
１ 一（： 量 ：— ÷ ￣ ＋／）ｚ＋ 』三 １ ， ｚ ， Ｄ ￡ ！
ｋ＝ｌ ！
（ ｚＥ 厂）（ ｚ ） ａ
１ 包含关系
弓 嘲设 （ ｃ ｃ ＋ Ｅ 解 且（≠ｚＥ 若 在 ∈使 Ｉ ）詈 Ｉ ｚ ＋ｚ ２ …在 内 析 ） （ ） 存 Ｅ 得ｒ（＜ 理 ） ｌ ｚ ＝ ＋ ｚ ０ｅ ， ａｚ ｇＩ
（ 及 ，）垩（ １则 ｌ ｌｌ ＜≤，有 （ ＝ ｏ ）
（ １ ）
定理 １
（） ８
＝
（ ）（） ｐ— ｚ ＋
（ ＝ （） － ）ｈ ｚ ｐ ＿ ＇ ｒｚ
（ ９）
假 存 一 ｚＥ使 ａ （ 詈（ ｌ ，玛 ｚ： ， 用 理 设 在 点。 ，得ｌ ｚ ｌ。 ｌ，）垩 应 引 有 ∈ ｒ ） １ ｚ ａｌｌ ｇＩ ｚ Ｉ （ ＜ ＜） ０
（ｚ）＝ｉ （ ０ 。 ± ，口 ） （） ＞ 。 古
全 设ｐ ｋ Ⅳ＝１，… ， ＞Ｐ ０ ＜ ， ＜ ＜ ，设 表 在Ｅ ｛ ｝ Ｉ 解 且 文 ， ∈ ｛ ３ ） 一， Ｐ ０ ｆ ｌ 示 ＝ｚｚ ） 析， 具 ，， ２ ｌ ：＜ 内 １
第二章傅里叶变换解析
1 u Mx
13
4.2 傅里叶变换和频率域介绍
二维DFT及反变换
二维傅里叶变换本质上是一维情形向两个方向的简单扩展.
F (u, v)
f ( x, y)
f ( x, y)e j 2 (ux vy) dxdy F (u, v)e j 2 (ux vy) dudv
F(u)可以看作f(x)在谐波上的投影，即f(x)在频率为u的谐波 上占有的成份。
9
4.2 傅里叶变换和频率域介绍
谱的概念:
注意到傅里叶变换后的函数是在复数域内, 也可以表示为
F(u) = R(u) + iI(u)
或极坐标的形式: F(u) = |F(u)|ej(u). 我们把量|F(u)| = [R2(u) + I2(u)]1/2称为傅里叶变换的幅度(Magnitude) 或者谱(Spectrum). 这是在图像处理中要经常用到的量. 谱可以表示原函 数(或图像)对某一频谱分量的贡献.
频率域的概念:
利用欧拉公式: ej = cos + jsin, 有
1 F (u ) M
M 1 x 0
f ( x)[cos(2 ux / M ) j sin(2 ux / M )]
其中u = 0, 1, 2, …, M-1.
变量u确定了变换的频率成分→ u的取值范围称为频率域(给定一个u 上述公式可以计算出离散信号中包含了“多少”这个频率的谐波 ).对每一 个u, F(u)称为变换的频率分量(也叫振幅).
1 v Ny
17
4.2 傅里叶变换和频率域介绍
例4.2 一个简单函数的频谱(已经做过中心化处理).
图像是512512的黑色背景上叠加一个2040 象素的白色矩形. 频谱的显示 经过了对数变换处理以加强灰度级细节, 并适当调整了灰度强度.可以看出, u方 向谱的零点分隔恰好是v方向零点分隔的两倍, 在不同方向上符合了原图中1:2的 矩形尺寸比例. 这和一维情形完全类似. 极限情况、能量分布情况? 18
关于一致凸函数
利用算子 （ ，）我们现在引进 Ａ 的如下两子类 ： ｎｃ ， 定义 １ １ 函数 ｚ ∈Ａ ． ） 称为 在类 （ ，， ） ， 它满 足 ｎ ｃ Ａ， 中 若
Ｒ ｅ： ｛ 三
注意 ：当 一１ ≤１ ＜ ，
）＞ ： ＋ ｆ 三
一 ｃ Ａｚ， ∈ ｆＥ
给出 的函数属 于类 （ ，， ） ａｃＡ， ．
本文 的 目的是研究 类 （ ，， ， 与 （ ， ， ） ｎ ｃ Ａ ） ｎ ｃＡ， 中函数 的有趣 的性 质．
２ 函数类 （ ， ， Ｉ） 口 ｃ Ａ， 的性质 ｔ
Ｒ ＋ ｆ 一，Ｅ Ｕ ｅ １ｚ ＝（ ＞ ∈ Ｔ ｆ Ｒ＋ ｅ ｛ ＞ ｆ ＥＵ Ｋ （
定 义 １ ２ 对 于 Ａ≥ ＞ｌ 一Ａｌ ， ． 一１ 口＞０和 ｃ ０ 我们 称 （ ，， ） 由形 如 １ ＞ ， 口 ｃ Ａ， 中
ｚ 一∑ａ＋ｐ （ ） ）＝ ｐｚ ＋≥０ ．
收稿 日期 ： ０ ８— ２—１ ２０ ０ ５ 作者简介 ： 杨定恭 （ ９７ ） 男 ， １３ 一 ， 江苏常熟 人 ， 苏州大学数学科学学 院教授 ， 研究方 向： 几何 函数论
维普资讯
１ ６
常熟 理工 学 院学 报 （自然科 学 ）
２０ ０ ８芷
２． ）６ ． … 若 ． ． （ 删）
ｚ （ ｚ ∈Ａ ） ） ） ．
（） １． ． ６
（． ） １７
Ｌ （ ，） ｚ （ ，；） ａ ｃ ）＝ ａ ｃｚ
当Ｐ＝１Ａ 上算 子 Ｌ （ ，） Ｃ ｒｏ ，ｈｆｒ １首 先 引进 的． ，。 。口ｃ 是 ａｌ ｎＳａ ｅ ］ ｓ ｆ ｌ 显然 ， 子 。口 ｃ 映照 Ａ 到 自身． 口 ， 算 （ ，） 。 若 ≠０ 一
由线性算子定义的解析多叶函数类
由线性算子定义的解析多叶函数类
杨定恭
【期刊名称】《常熟理工学院学报》
【年(卷),期】2006(020)004
【摘要】设Ap,k(p,k是正整数)表示单位圆盘E内形为
f(z)=zp+∞∑n=kap+nzp+n的解析函数类.利用线性算子Lp(a,c),引进Ap,k的子类Qp,k(a,c,δ,A,B)和Q*p,k(a,c,δ,A,B),导出类中函数的许多有趣的性质.
【总页数】8页(P8-14,18)
【作者】杨定恭
【作者单位】苏州大学,数学科学学院,江苏,苏州,215006
【正文语种】中文
【中图分类】O174.51
【相关文献】
1.用线性算子定义的一类亚纯多叶函数 [J], 陶玉琴;杨颖
2.一类利用Catas算子定义的p叶解析函数类 [J], 阚兴莉
3.由线性算子定义的亚纯多叶函数类 [J], 赵伟;秦川;李小飞
4.由一个线性算子定义的亚纯多叶函数类 [J], 周从会
5.由线性算子定义的一类p叶解析函数 [J], 韦叶;陈建兰;刘金林
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的从属 关 系、 含关 系 、 包 偏差 定理 和实部不 等式 ， 得到更 为一 般的结果 ．
我们 需要 如下 引理 ： 引理 １ ： 设 Ｆ（ ） ＋６ ＋６ ＋…在 Ｕ 内解 析 ， （ 是 Ｄ 内解析 凸象 函数 ｈ Ｏ １ 若 Ｅ ２ 一１ 。 ＾ ） （） ．
Ｆ（ ） ２ ＋ — Ｆ ， ｚ ＜ ＾（ ） （ ） ２ ，
Ｒ（ ｅ一 ｛
［ 稿 日期］ ２ ０～６０ 收 ０ ６０ —９
）（） Ｉ ）＋ ＼ｚ。 ｆ
（ ） ｆｚ ． 。 ｌ Ｅ ＞， Ｕ
（ ５ ）
［ 金 项 目］ 内蒙 古 高校 科 研 基 金 项 目（ Ｊ ４ １ ） 基 Ｎ ０ １５
第 ５期
李 书 海 ： 于 某 类 Ｐ叶 解 析 函数 关
第２ ４卷 第 ５期
２０ 年 １ 月 ０８ ０
大 学 数 学
ＣＯ ＬＩＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ ｏ ． ４， ． １２ № ５ ０ｃ． ０ ｔ ２ ０８
关 于某类 叶解 析 函数
李 书 海
（ 峰学 院 数 学 系 ， 赤 内蒙 古 赤 峰 ０ ４ ０ ） ２０ １
定 义 ｌ 设 一１ Ｂ％Ａ≤ １ 称 ／ ） Ａ， 当且 仅 当 函 数 ＿ ） Ｈｐ 足 ≤ ， ’ ∈Ｖ （ Ｂ） （ 厂 ∈ （ 满
．
＜
．
定 义 ２ 设 ｄ Ｏ 一 １ Ｄ＜ Ｃ １ ｇ ２ ＥＶｐＡ， ， 称 － ） （ Ｂ， Ｄ； （ ） 当 且 仅 当 函 ＞ ， ≤ ≤ ， （ ） （ Ｂ） 则 厂 ＥＢ Ａ， Ｃ， ｇ ） （ 数 ， ） Ｈ 满 足 （ ∈
［ 摘
要 ］ 引进 了新 的 户叶 解 析 函 数 子 类 Ｂ ， Ａ， ｃ， ， 用 微 分 从 属 方法 证 明它 的从 属 关 系 、 含 。 Ｂ， Ｄ）应 （ 包
关 系、 偏差 定 理 和不 等 式 性 质 ．
［ 关键 词 ］ Ｐ叶 Ｂ ｚｅｉ ａｉｖｃ ｌ ｈ函 数 ； Ｐ叶 星象 函数 ； 属 ； 从 界 ［ 图分 类 号 ］ （ ． １ 中 ）７ ５ １４ ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 文章 编号 ］ １ ７—４ ４ ２０ ）５０ ７ —４ ６２－ ｔ
） ） （ 。 ＋
（ ） ， ＜
其 中幂 函数 取主 值 ， 以下 相 同． 别令 Ｂ＝Ｄ＝ 一１Ａ一１ ａ Ｃ一 １ ｐ ０ ＜ １ ０ ＜ １ 显然 ‘（ ） 特 ， —２ ， —２ ， ≤ ， ≤ｐ ． 厂 ｚ ∈Ｂ 。１ ２ ． ， —２ ， ； （ ） 一Ｂ 。ｄ 』 当且仅 当函数 ， ） Ⅲ． ａ 一１ １ ｆ 一１ ｇ ｚ ） 川， ，） （ ｉ （ ９ （ ＥＨｐ满足
７ １
定 义 ３中 当 Ｐ— ｌ Ａ： １ Ｂ一 一 １ ｇ（ ∈Ｓ 时 ， Ｂ ， ， ， ） 记 （ ， １ Ｃ， ｇ（ ） ＝ Ｂ （ Ｄ ， ） ・ 文 １ 一 ， Ｄ； ２ ） Ｃ， ｇ（ ） 在
Ｉ ］ ６ 中分别 研究 了函数类 Ｂ Ｃ， ｇ（ ） 其子 类． 文 中讨论 函数类 Ｂ¨． Ａ， Ｃ， ｇ ） ｓ 一［ ］ （ Ｄ， ） 及 本 。 Ｂ， Ｄ； （ ） （
ｆ
（） ６
其 中 ｆ ０ Ｒ ｃ ０ 则 ≠ ， ｅ≥ ，
Ｆ（ ＜ Ｃ ） Ｚ ｈ（ ） ｔ ｈ（ ） ｔｄ＜ ｔ．
引理 ２
设 （ ） ｒ Ｏ 叩 １ ， ｚ ＥＰ（ ）（≤ ＜ ） 则 ／
Ｐ （ ） ≤ ｚ
（ ２１
－
ｒ
／ ）
・
Ｐ（ ）
（＋（ １ １
（ ） ， ＜
仅 当 函 数 ， ） （ ∈Ｈ 满 足
㈦ ㈩
定 义 ３ 设 ｄ Ｏ ０ 一 ｌ Ｄ＜ Ｃ １ｇ ） Ａ ， ， 称 ＿ ＥＢ ． Ａ， Ｃ， ｇ ） 当 且 ＞ ，≥ ， ≤ ≤ ， （ ∈Ｖ （ Ｂ） 则 厂 ） 。 Ｂ， Ｄ； （ ） （ （
分别表 示通 常的 ｐ叶星象 函数类 和 Ｐ叶 凸象 函数类． （ Ｐ ）（ ≤ １ 表 示 Ｕ 内 满 足 条 件 Ｒｅ （ ） ｑ Ｏ ＜ ） ｐ ｚ ￣ 的 解 析 函 数 （ 一 １ ） ＋ ｚ 。 ＋ … 的 全 体 构 成 的类 ． ＋ｐ
设 ， ， ） Ｕ 内解 析 ， ’ ） Ｆ（ 在 （ 函数 ＿ ） 厂 称为 从属 于 Ｆ（ ） 记作 （ ） （ ｚ， ｚ ＜Ｆ（ ， ） 如果 存 在 Ｕ 内解 析 函 数 （ ） 满 足 叫（ ） ， （ Ｉ Ｉ ， 得 ＿ ） ｚ， ０ 一０ ｌ ） ≤ ｌ 使 厂 （ 一Ｆ（ ） 在 Ｕ 内成 立 ． 果 Ｆ（ ∈Ｓ， 么 ，（ （ ） 如 ） 那 ）
１ 引
言
令 Ｈ （ ＝１ ２ … ） 示 形 如 Ｐ ，， 表
厂（ ） ＝ ＋ ２ ＝ 口 ｚ ” （） １
且在单 位 圆盘 Ｕ＝ ｛ Ｉ ＜ １ 内解析 函数 ＿ ｚ 的全体 构成 的类 ． ＣＨ 表示 单叶 函数类 ， ， ｃ Ｈ ＝ ： ： ｆ ｝ 厂 ） （ Ｓ Ｓ Ｋ
＜ Ｆ（ 等 价 于 （ ） ） 厂 ０ 一Ｆ（ ） ＿ Ｕ） Ｏ ，、 一Ｆ（ ． ， （ Ｕ）
作 者在 Ｅ ２ ｌ 中引进并研 究 Ｐ叶 ／ Ｂ ｚ ｅ ｉ ｌ ａｉ ｖｃ － ｌ ｈ函数 的性 质 ； Ｅ － 在 ２ 中定 义 了扩 展 的近 于凸 函数类 ； 文 Ｉ 本
引 进 声叶 解 析 函数 新 子 类 １川． Ａ， Ｃ， ． ３ 。 Ｂ， Ｄ） （
引 理 ３ 设 ｇ ） Ａ ， ， ｌ Ｂ＜Ａ≤ １ 则 当 Ｉ Ｉ ｒ １时 ， （ ＥＶ （ Ｂ） 一 ≤ ， — ＜ 有
ｒ Ｆ （ ） ≤ ・ｌ － ｒ ｐ・１ Ａｔｆｌ ｚ ｆ － ｇ 再 Ａ ｑ 瓦
我们 需要 如下 引理 ： 引理 １ ： 设 Ｆ（ ） ＋６ ＋６ ＋…在 Ｕ 内解 析 ， （ 是 Ｄ 内解析 凸象 函数 ｈ Ｏ １ 若 Ｅ ２ 一１ 。 ＾ ） （） ．
Ｆ（ ） ２ ＋ — Ｆ ， ｚ ＜ ＾（ ） （ ） ２ ，
Ｒ（ ｅ一 ｛
［ 稿 日期］ ２ ０～６０ 收 ０ ６０ —９
）（） Ｉ ）＋ ＼ｚ。 ｆ
（ ） ｆｚ ． 。 ｌ Ｅ ＞， Ｕ
（ ５ ）
［ 金 项 目］ 内蒙 古 高校 科 研 基 金 项 目（ Ｊ ４ １ ） 基 Ｎ ０ １５
第 ５期
李 书 海 ： 于 某 类 Ｐ叶 解 析 函数 关
第２ ４卷 第 ５期
２０ 年 １ 月 ０８ ０
大 学 数 学
ＣＯ ＬＩＥＧ Ｅ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖ ｏ ． ４， ． １２ № ５ ０ｃ． ０ ｔ ２ ０８
关 于某类 叶解 析 函数
李 书 海
（ 峰学 院 数 学 系 ， 赤 内蒙 古 赤 峰 ０ ４ ０ ） ２０ １
定 义 ｌ 设 一１ Ｂ％Ａ≤ １ 称 ／ ） Ａ， 当且 仅 当 函 数 ＿ ） Ｈｐ 足 ≤ ， ’ ∈Ｖ （ Ｂ） （ 厂 ∈ （ 满
．
＜
．
定 义 ２ 设 ｄ Ｏ 一 １ Ｄ＜ Ｃ １ ｇ ２ ＥＶｐＡ， ， 称 － ） （ Ｂ， Ｄ； （ ） 当 且 仅 当 函 ＞ ， ≤ ≤ ， （ ） （ Ｂ） 则 厂 ＥＢ Ａ， Ｃ， ｇ ） （ 数 ， ） Ｈ 满 足 （ ∈
［ 摘
要 ］ 引进 了新 的 户叶 解 析 函 数 子 类 Ｂ ， Ａ， ｃ， ， 用 微 分 从 属 方法 证 明它 的从 属 关 系 、 含 。 Ｂ， Ｄ）应 （ 包
关 系、 偏差 定 理 和不 等 式 性 质 ．
［ 关键 词 ］ Ｐ叶 Ｂ ｚｅｉ ａｉｖｃ ｌ ｈ函 数 ； Ｐ叶 星象 函数 ； 属 ； 从 界 ［ 图分 类 号 ］ （ ． １ 中 ）７ ５ １４ ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 文章 编号 ］ １ ７—４ ４ ２０ ）５０ ７ —４ ６２－ ｔ
） ） （ 。 ＋
（ ） ， ＜
其 中幂 函数 取主 值 ， 以下 相 同． 别令 Ｂ＝Ｄ＝ 一１Ａ一１ ａ Ｃ一 １ ｐ ０ ＜ １ ０ ＜ １ 显然 ‘（ ） 特 ， —２ ， —２ ， ≤ ， ≤ｐ ． 厂 ｚ ∈Ｂ 。１ ２ ． ， —２ ， ； （ ） 一Ｂ 。ｄ 』 当且仅 当函数 ， ） Ⅲ． ａ 一１ １ ｆ 一１ ｇ ｚ ） 川， ，） （ ｉ （ ９ （ ＥＨｐ满足
７ １
定 义 ３中 当 Ｐ— ｌ Ａ： １ Ｂ一 一 １ ｇ（ ∈Ｓ 时 ， Ｂ ， ， ， ） 记 （ ， １ Ｃ， ｇ（ ） ＝ Ｂ （ Ｄ ， ） ・ 文 １ 一 ， Ｄ； ２ ） Ｃ， ｇ（ ） 在
Ｉ ］ ６ 中分别 研究 了函数类 Ｂ Ｃ， ｇ（ ） 其子 类． 文 中讨论 函数类 Ｂ¨． Ａ， Ｃ， ｇ ） ｓ 一［ ］ （ Ｄ， ） 及 本 。 Ｂ， Ｄ； （ ） （
ｆ
（） ６
其 中 ｆ ０ Ｒ ｃ ０ 则 ≠ ， ｅ≥ ，
Ｆ（ ＜ Ｃ ） Ｚ ｈ（ ） ｔ ｈ（ ） ｔｄ＜ ｔ．
引理 ２
设 （ ） ｒ Ｏ 叩 １ ， ｚ ＥＰ（ ）（≤ ＜ ） 则 ／
Ｐ （ ） ≤ ｚ
（ ２１
－
ｒ
／ ）
・
Ｐ（ ）
（＋（ １ １
（ ） ， ＜
仅 当 函 数 ， ） （ ∈Ｈ 满 足
㈦ ㈩
定 义 ３ 设 ｄ Ｏ ０ 一 ｌ Ｄ＜ Ｃ １ｇ ） Ａ ， ， 称 ＿ ＥＢ ． Ａ， Ｃ， ｇ ） 当 且 ＞ ，≥ ， ≤ ≤ ， （ ∈Ｖ （ Ｂ） 则 厂 ） 。 Ｂ， Ｄ； （ ） （ （
分别表 示通 常的 ｐ叶星象 函数类 和 Ｐ叶 凸象 函数类． （ Ｐ ）（ ≤ １ 表 示 Ｕ 内 满 足 条 件 Ｒｅ （ ） ｑ Ｏ ＜ ） ｐ ｚ ￣ 的 解 析 函 数 （ 一 １ ） ＋ ｚ 。 ＋ … 的 全 体 构 成 的类 ． ＋ｐ
设 ， ， ） Ｕ 内解 析 ， ’ ） Ｆ（ 在 （ 函数 ＿ ） 厂 称为 从属 于 Ｆ（ ） 记作 （ ） （ ｚ， ｚ ＜Ｆ（ ， ） 如果 存 在 Ｕ 内解 析 函 数 （ ） 满 足 叫（ ） ， （ Ｉ Ｉ ， 得 ＿ ） ｚ， ０ 一０ ｌ ） ≤ ｌ 使 厂 （ 一Ｆ（ ） 在 Ｕ 内成 立 ． 果 Ｆ（ ∈Ｓ， 么 ，（ （ ） 如 ） 那 ）
１ 引
言
令 Ｈ （ ＝１ ２ … ） 示 形 如 Ｐ ，， 表
厂（ ） ＝ ＋ ２ ＝ 口 ｚ ” （） １
且在单 位 圆盘 Ｕ＝ ｛ Ｉ ＜ １ 内解析 函数 ＿ ｚ 的全体 构成 的类 ． ＣＨ 表示 单叶 函数类 ， ， ｃ Ｈ ＝ ： ： ｆ ｝ 厂 ） （ Ｓ Ｓ Ｋ
＜ Ｆ（ 等 价 于 （ ） ） 厂 ０ 一Ｆ（ ） ＿ Ｕ） Ｏ ，、 一Ｆ（ ． ， （ Ｕ）
作 者在 Ｅ ２ ｌ 中引进并研 究 Ｐ叶 ／ Ｂ ｚ ｅ ｉ ｌ ａｉ ｖｃ － ｌ ｈ函数 的性 质 ； Ｅ － 在 ２ 中定 义 了扩 展 的近 于凸 函数类 ； 文 Ｉ 本
引 进 声叶 解 析 函数 新 子 类 １川． Ａ， Ｃ， ． ３ 。 Ｂ， Ｄ） （
引 理 ３ 设 ｇ ） Ａ ， ， ｌ Ｂ＜Ａ≤ １ 则 当 Ｉ Ｉ ｒ １时 ， （ ＥＶ （ Ｂ） 一 ≤ ， — ＜ 有
ｒ Ｆ （ ） ≤ ・ｌ － ｒ ｐ・１ Ａｔｆｌ ｚ ｆ － ｇ 再 Ａ ｑ 瓦