2020-2021学年四川省达州市大竹中学高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)

2020-2021学年四川省达州市大竹中学高二（下）期中数学试卷
（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣4＝0}，则下列关系式表示正确的是（）
A．∅∈A B．{﹣2}＝A C．2∈A D．{2，﹣2}⫋A 2．命题“∃x∈（0，+∞），”的否定是（）
A．∃x∈（0，+∞），B．∃x∈（0，+∞），
C．∀x∈（0，+∞），D．∀x∈（0，+∞），
3．若复数z满足z+（3﹣4i）＝1，则z的虚部是（）
A．﹣2B．4C．4i D．﹣4
4．已知物体位移S（单位：米）和时间t（单位：秒）满足：S＝t3﹣2t+1，则该物体在t＝1时刻的瞬时速度为（）
A．1米/秒B．2米/秒C．3米/秒D．4米/秒
5．已知，f′（x）为f（x）的导函数，则＝（）A．B．C．D．1
6．用数学归纳法证明++…+＞时，由k到k+1，不等式左边的变化是（）A．增加项
B．增加和两项
C．增加和两项同时减少项
D．以上结论都不对
7．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数g（x）的解析式是（）
A．B．
C．D．
8．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的点，Q是线段PF1上靠近F1的三等分点，△PQF2为正三角形，则椭圆C的离心率为（）
A．B．C．D．
9．在正方体ABCD﹣A'B′C′D′中，二面角A﹣B'C﹣D′的余弦值是（）A．B．C．D．﹣
10．若数列{a n}满足，d为常数），则称数列{a n}为调和数列，已知数列为调和数列，且x12+x22+x32+…+x20182＝8072，则x9+x2010的最大值为（）
A．B．2C．D．4
11．函数f（x）在定义域（0，+∞）内恒满足f（x）＜xf'（x）＜3f（x），其中f'（x）为f （x）的导函数，则（）
A．B．
C．D．
12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax2）（e x﹣2m﹣ax2），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（（1﹣ln2），+∞）B．（﹣∞，（1﹣ln2））
C．D．
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为．
14．为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A，B，C三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈．已知这三个部门共有64人，
其中B部门24人，C部门32人，则从A部门中抽取的访谈人数．
15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当＝时，D1E⊥平面AB1F．
16．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0（其中a＞0），命题q：实数x满足2＜x ≤3．
（1）若a＝1，p、q都为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）＝x3﹣3x．
（1）求曲线f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）求的值
（2）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S．
20．如图，在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱VA⊥底面ABCD，E、F、G 分别为VA、VB、BC的中点．
（1）求证：平面EFG∥平面VCD；
（2）求证：面VAD⊥面VDC；
（3）当二面角V﹣BC﹣A、V﹣DC﹣A分别为45°、30°时，求直线VB与平面EFG所成角的正弦值．
21．已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|＝|AC|，且BC的中点在y轴上．
（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知轨迹Γ上的不同两点M，N与P（1，2）的连线的斜率之和为2，求证：直线MN过定点．
22．设函数f（x）＝x2，g（x）＝alnx+bx（a＞0）．
（Ⅰ）当a＝b＝1时，若g（x）⩽2x+m恒成立，求m的取值范围．
（Ⅱ）设G（x）＝f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1，x2，且x1，x0，x2成等差数列，试探究G'（x0）值的符号．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣4＝0}，则下列关系式表示正确的是（）
A．∅∈A B．{﹣2}＝A C．2∈A D．{2，﹣2}⫋A 解：集合A＝{x|x2﹣4＝0}＝{﹣2，2}；
对于A：空集是任何集合的子集，应该∅⊆A，∴A不对．
对于B：集合与集合的关系，应该{﹣2}⊆A，∴B不对．
对于C：2是集合A的元素，即2∈A，∴C对．
对于D：集合与集合的关系，应该{2，﹣2}＝A．
故选：C．
2．命题“∃x∈（0，+∞），”的否定是（）
A．∃x∈（0，+∞），B．∃x∈（0，+∞），
C．∀x∈（0，+∞），D．∀x∈（0，+∞），
解：命题“∃x∈（0，+∞），”的否定是：否定限定量词和结论，
故为：∀x∈（0，+∞），，
故选：C．
3．若复数z满足z+（3﹣4i）＝1，则z的虚部是（）
A．﹣2B．4C．4i D．﹣4
解：∵z+（3﹣4i）＝1，
∴z＝﹣2+4i，即z的虚部是4．
故选：B．
4．已知物体位移S（单位：米）和时间t（单位：秒）满足：S＝t3﹣2t+1，则该物体在t＝1时刻的瞬时速度为（）
A．1米/秒B．2米/秒C．3米/秒D．4米/秒
解：因为S＝t3﹣2t+1，所以S'＝3t2﹣2，
当t＝1时，S'＝3×1﹣2＝1．
故选：A．
5．已知，f′（x）为f（x）的导函数，则＝（）A．B．C．D．1
解：根据题意，，则f′（x）＝cos（x+），
则＝cos＝，
故选：C．
6．用数学归纳法证明++…+＞时，由k到k+1，不等式左边的变化是（）A．增加项
B．增加和两项
C．增加和两项同时减少项
D．以上结论都不对
解：n＝k时，左边＝++…+
n＝k+1时，左边＝++…+
由“n＝k”变成“n＝k+1”时，+﹣
故选：C．
7．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数g（x）的解析式是（）
A．B．
C．D．
解：由题意，将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，
故选：B．
8．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上的点，
Q是线段PF1上靠近F1的三等分点，△PQF2为正三角形，则椭圆C的离心率为（）
A．B．C．D．
解：由题意可得|PF1|＝3|QF2|＝|PQ|＝|PF2|，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，所以可得|PF2|＝a，|PF1|＝a，
在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠P＝cos60°＝＝
＝，
整理可得：7a2＝25c2，
所以离心率e＝＝，
故选：D．
9．在正方体ABCD﹣A'B′C′D′中，二面角A﹣B'C﹣D′的余弦值是（）A．B．C．D．﹣
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A'B′C′D′中棱长为1，
则A（1，0，0），B′（1，1，1），C（0，1，0），D′（0，0，1），＝（1，﹣1，0），＝（1，0，1），＝（0，﹣1，1），设平面AB'C的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，﹣1），
设平面B'CD′的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，﹣1，﹣1），
设二面角A﹣B'C﹣D′的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴二面角A﹣B'C﹣D′的余弦值为．
故选：C．
10．若数列{a n}满足，d为常数），则称数列{a n}为调和数列，已知数列为调和数列，且x12+x22+x32+…+x20182＝8072，则x9+x2010的最大值为（）A．B．2C．D．4
解：由题设知：＝x n+12﹣x n2＝d（n∈N*，d为常数），
∴{x n2}是等差数列，
∵x12+x22+x32+…+x20182＝8072＝，
∴x12+x20182＝8＝x92+x20102，
∵x92+x20102≥2x9x2010（当且仅当x9＝x2010时取“等号“），（不等号两边同时加上）
∴（x9+x2010）2≤2（x92+x20102）＝16，
∴x9+x2010≤4（当且仅当x9＝x2010＝2时取“等号“），
∴x9+x2010的最大值为4．
故选：D．
11．函数f（x）在定义域（0，+∞）内恒满足f（x）＜xf'（x）＜3f（x），其中f'（x）为f
（x）的导函数，则（）
A．B．
C．D．
解：令g（x）＝，x∈（0，+∞），
g′（x）＝，
∵∀x∈（0，+∞），f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴f（x）＞0，则g′（x）＞0，
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴g（3）＜g（4），即4f（3）＜3f（4），
∴＜；
令h（x）＝，x∈（0，+∞），
h′（x）＝，
∵∀x∈（0，+∞），f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴h′（x）＜0，
∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
∴h（3）＞h（4），即＞，
＞，
综上可得，＜＜．
故选：C．
12．已知函数f（x）＝（lnx+1﹣ax2）（e x﹣2m﹣ax2），若存在实数a使得f（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（（1﹣ln2），+∞）B．（﹣∞，（1﹣ln2））
C．D．
解：要存在实数a使得f（x）＜0恒成立，lnx+1﹣ax2，e x﹣2m﹣ax2一正一负恒成立，
检验当x∈（0，）时，lnx+1＜0，e x﹣2m＞0，e x﹣2m＞lnx+1，
所以存在实数a使得lnx+1＜ax2＜e x﹣2m恒成立，
先考虑存在实数a使得lnx+1＜ax2恒成立，
lnx+1＜ax2，＜a，
记g（x）＝，g′（x）＝＝，
所以x∈（0，e），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
x∈（e，+∞），g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以g（x）max＝g（e）＝，
所以a≥，
再考虑存在实数a使得ax2＜e x﹣2m恒成立，即a＜，
只需＜，＜2e﹣2m﹣1恒成立，设t（x）＝，x＞0，
t′（x）＝，x∈（0，2），
t′（x）＞0，t（x）单调递增，
x∈（2，+∞），t′（x）＜0，t（x）单调递减，
所以t（x）max＝t（2）＝，＜2e﹣2m﹣1，解得x∈（﹣∞，（1﹣ln2）），故选：B．
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为y＝±x．
解：双曲线x2﹣＝1的a＝1，b＝，
可得渐近线方程为y＝±x，
即有y＝±x．
故答案为：y＝±x．
14．为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A，B，C三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈．已知这三个部门共有64人，其中B部门24人，C部门32人，则从A部门中抽取的访谈人数2．
解：由题意可知，A部门一共有64﹣24﹣32＝8人，
故采用分层抽样的方法从A，B，C三个部门中抽取16名员工，则从A部门中抽取的访谈人数为．
故答案为：2．
15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当＝时，D1E⊥平面AB1F．
解：不妨设正方体的边长为2，DF＝a，则CF＝2﹣a．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
A（0，0，0），B1（2，0，2），D1（0，2，2），E（2，1，0），F（a，2，0）．所以，．
由D1E⊥平面AB1F，有，解得a＝1．
所以F为CD中点，故．
故答案为：．
16．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是．
解：由，得（）•（）＝0，即有（）⊥（），所以或＝4，
设＝，＝，以O为原点，方向为x轴正方向建系，如图，
则A（1，0），令C（4，0），则＝，＝，
则点B在以（，0）为圆心，为半径的圆上，
又非零向量与的夹角为，
则设的起点为原点，则终点在不含端点的两条射线y＝±x，（x＞0）上，
则||的几何意义等价于圆上的点到射线上的点的距离，
故其最小值为圆心到直线的距离减去半径，
不妨以y＝x为例，
则||的最小值为﹣＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0（其中a＞0），命题q：实数x满足2＜x ≤3．
（1）若a＝1，p、q都为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：（1）由已知（x﹣a）（x﹣3a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a＝1时，命题p：1＜x＜3，又命题q：2＜x≤3，
因为p、q都为真，所以实数x的取值范围为2＜x＜3；
（2）设A＝{x|a＜x＜3a}，B＝{x|2＜x≤3}，
因为q是p的充分不必要条件，所以B⫋A，
则有，解得1＜a≤2，
所以实数a的取值范围1＜a≤2．
18．已知函数f（x）＝x3﹣3x．
（1）求曲线f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
解：（1）f′（x）＝3x2﹣3，
则f′（0）＝﹣3，f（0）＝0，
故曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程y＝﹣3x，
（2）由3x2﹣3＞0可得x＞1或x＜﹣1，由3x2﹣3＜0可得﹣1＜x＜1，
故函数的增区间：（﹣∞，﹣1），（1，+∞），减区间（﹣1，1），
故当x＝﹣1时，函数取得极大值f（﹣1）＝2，当x＝1时函数取得极小值f（1）＝﹣2．
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．（1）求的值
（2）若cos B＝，b＝2，求△ABC的面积S．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由正弦定理，则＝，
所以＝，
即（cos A﹣2cos C）sin B＝（2sin C﹣sin A）cos B，化简可得sin（A+B）＝2sin（B+C）．因为A+B+C＝π，所以sin C＝2sin A．
因此＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）由＝2，得c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，及cos B＝，b＝2，得4＝a2+4a2﹣4a2×．解得a＝1，从而c＝2．
因为cos B＝，且sin B＝＝，
因此S＝ac sin B＝×1×2×＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20．如图，在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱VA⊥底面ABCD，E、F、G 分别为VA、VB、BC的中点．
（1）求证：平面EFG∥平面VCD；
（2）求证：面VAD⊥面VDC；
（3）当二面角V﹣BC﹣A、V﹣DC﹣A分别为45°、30°时，求直线VB与平面EFG所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为E、F分别为VA、VB中点．所以EF∥AB，
又因为ABCD是矩形，所以AB∥CD，所以EF∥CD，
因为CD⊂平面VCD，EF⊄平面VCD，所以EF∥平面VCD，
因为F、G分别为VB、BC中点，所以FG∥VC，
因为VC⊂平面VCD，FG⊄平面VCD，所以FG∥平面VCD，
因为EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面VCD．
（2）证明：因为VA⊥底面ABCD，VA⊂平面VAD，所以平面VAD⊥平面ABCD，因为ABCD是矩形，所以CD⊥AD，又因为平面VAD∩平面ABCD＝AD，
所以CD⊥平面VAD，又因为CD⊂平面VDC，所以平面VDC⊥平面VAD，
即平面VAD⊥平面VDC．
（3）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
由（2）知CD⊥平面VAD，所以CD⊥VD，CD⊥AD，
所以二面角V﹣DC﹣A的平面角为∠VDA，∠VDA＝30°，
同理，二面角V﹣BC﹣A的平面角为∠VBA，∠VBA＝45°，
不妨设VA＝2，则AB＝2，CD＝4，AD＝2，
＝（0，1，0），＝（，2，1），＝（0，2，﹣2），
设平面EFG的法向量为＝（x，y，z），
，令z＝﹣，＝（1，0，﹣），
所以直线VB与平面EFG所成角的正弦值为＝＝．
21．已知△ABC的顶点A（1，0），点B在x轴上移动，|AB|＝|AC|，且BC的中点在y轴上．
（Ⅰ）求C点的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）已知轨迹Γ上的不同两点M，N与P（1，2）的连线的斜率之和为2，求证：直线MN过定点．
解：（Ⅰ）设C（x，y）（y≠0），因为B在x轴上且BC中点在y轴上，所以B（﹣x，0），
由|AB|＝|AC|，得（x+1）2＝（x﹣1）2+y2，
化简得y2＝4x，所以C点的轨迹Γ的方程为y2＝4x（y≠0）．
（Ⅱ）证明：设直线MN的方程为x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），
由得y2﹣4my﹣4n＝0，
所以y1y2＝﹣4n，，同理，
所以，化简得y1y2＝4，
又因为y1y2＝﹣4n，所以n＝﹣1，
所以直线MN过定点（﹣1，0）．
22．设函数f（x）＝x2，g（x）＝alnx+bx（a＞0）．
（Ⅰ）当a＝b＝1时，若g（x）⩽2x+m恒成立，求m的取值范围．
（Ⅱ）设G（x）＝f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1，x2，且x1，x0，x2成等差数列，试探
究G'（x0）值的符号．
解：（Ⅰ）a＝b＝1时，g（x）＝lnx+x，不等式g（x）≤kx+m恒成立，化为m≥lnx﹣x 恒成立；
设h（x）＝lnx﹣x，x∈（0，+∞），h′（x）＝﹣1＝，
令h′（x）＝0，得x＝1，
所以h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
所以h（x）max＝h（1）＝﹣1，
所以g（x）⩽2x+m恒成立时，m的取值范围是[﹣1，+∞）．
（Ⅱ）G′（x0）的符号为正，理由如下：因为G（x）＝x2+2﹣alnx﹣bx有两个零点x1，x2，
则有x12+2﹣alnx1﹣bx1＝0，x22+2﹣alnx2﹣bx2＝0，
两式相减得x12+2﹣alnx1﹣bx1﹣x22﹣2+alnx2+bx2＝0，
即x1+x2﹣b＝，
于是G′（x0）＝2x0﹣﹣b＝（x1+x2﹣b）﹣＝[ln﹣]＝[ln﹣]
①当0＜x1+x2时，令＝t，则t＞1，且G′（x0）＝[lnt﹣]，
设u（t）＝lnt﹣，t＞1，则u′（t）＝﹣＝＞0，
故u（t）在（1，+∞）上为增函数，又u（1）＝0，所以u（t）＞0，
即lnt﹣＞0，又因为a＞0，x2﹣x1＞0，所以G′（x0）＞0．
②当0＜x2＜x1时，同理可得G′（x0）＞0．
综上所述，G′（x0）的符号为正．。