长沙市明德中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．已知平行四边形ABCD 的一边长为5，则对角线AC ，BD 的长可取下列数据中的（ ）
A ．2和4
B ．3和4
C ．4和5
D ．5和6 2．下列命题为假命题的是（ ）
A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
B ．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等．
C ．等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合．
D ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
3．下列命题中，错误的是 （ ）
A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；
B ．对角线相等的菱形是正方形；
C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；
D ．一组邻边相等的矩形是正方形． 4．四边形ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ．给出下列四组条件： ①AB ∥CD ，AD ∥BC ；
②AB CD =，AD BC =；
③AO CO =，BO DO =；
④AB ∥CD ，AD BC =．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A ．1组；
B ．2组；
C ．3组；
D ．4组． 5．如图1，平行四边形纸片ABCD 的面积为120，20AD =．今沿两对角线将四边形ABCD 剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD 、CB 重合）形成一轴对称图形（戊），如图2所示，则图形戊的两对角线长度和为（ ）
A ．26
B ．29
C ．2243
D ．1
253
6．如图，在正方形 ABCD 内有一个四边形AECF ，AE EF ⊥， CF EF ⊥且8AE CF ==，12EF =，则图中阴影分的面积为（ ）
A ．100
B ．104
C ．152
D ．304
7．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作//EF BC ，分别交,AB CD 于,E F ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
8．矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若4AB CF ==，2BC CE ==，则EH =（ ）
A ．2
B ．2
C ．3
D ．5 9．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A ．对角线相等 B ．对角线互相平分 C ．对角线互相垂直 D ．对边相等且平行 10．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点M 是边AB 上一点（不与点A ，B 重合），作M
E ⊥AC 于点E ，M
F ⊥BC 于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是（ ）
A ．1.2
B ．1.5
C ．2.4
D ．2.5
11．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，30ACD ∠=︒，若ABC 的周
长比AOB 的周长大10，则AB 的长为（ ）．
A ．103
B ．53
C ．10
D ．20
12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( )
A ．若∠ACP=45°， 则CP=5
B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5
C ．若∠ACP=45°，则CP=245
D ．若∠ACP=∠B ，则CP=245
二、填空题
13．如图，在ABC 中，10AB AC ==，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥交AB 于点F ．若F 为AB 中点，且12BC =，则DF =__________．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CF BE ⊥，连接AE ，G 是AB 的中点，连接GF ，若4AE =，则GF =_____．
15．在平面直角坐标系xOy 中，OABC 的三个顶点的坐标分别为
()()()0,0,3,0,4,3O A B ，则其第四个顶点C 的坐标为______．
16．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，AE 是对角线，则EAB ∠的度数是
__________．
17．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．
18．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝8，EF ＝1，则BC 长为__________．
19．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图（2），再沿BF 折叠成图（3），继续沿EF 折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住EFG ；整个过程共折叠了8次，问图（1）中DEF ∠的度数是_________．
20．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和AB 上，BE=2，AF=2，BF=4，将△BEF 绕点E 顺时针旋转，得到△GEH ，当点H 落在CD 边上时，F ，H 两点之间的距离为______．
三、解答题
21．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，连接AC ，DF ．
（1）求证：AEF ≌DEC ；
（2）求证：四边形ACDF 是平行四边形．
22．如图，ABCD 中，E 、F 是直线AC 上两点，且AE CF =．
求证：（1）BE DF =；
（2）//BE DF ．
23．如图，已知点D 在ABC 的BC 边上，//DE AC 交AB 于E ，//DF AB 交AC 于F ．
（1）求证：AE DF =；
（2）若AD 平分BAC ∠，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．
24．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，延长BM 至点E ，使EM BM =，连接DE ．
（1）求证：AMB CND △≌△；
（2）若2BD AB =，且3AM =，4DN =，求四边形DEMN 的面积．
25．如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 是AC 上的两点，并且AE CF =，连接DE ，BF ．
（1）求证：△≌△DOE BOF ；
（2）若BD EF =，连接EB ，DF ，判断四边形EBFD 的形状，并说明理由． 26．已知，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与A 、B 重合），分别过A 、B 向直线CP 作垂线，垂足分别为D 、E ，M 为斜边AB 的中点（备注，可以直接用结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
（1）如图1，当点P 与点M 重合时，AD 与BE 的位置关系是 ，MD 与ME 的数量关系是 ．
（2）如图2，当点P 在线段AB 上不与点M 重合时，试判断MD 与ME 的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P 在线段BA 的延长线上且PQ 是不与AB 重合的任一直线时，分别过A 、B 向直线PQ 作垂线，垂足分别为D 、E ，此时（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
由三角形三边关系可得三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【详解】
解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形，
所以1
2
（AC-BD）＜5＜
1
2
（AC+BD），
由题中数据可得，AC和BD的长可取5和6，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系问题，能够熟练求解此类问题．2．B
解析：B
【分析】
根据直角三角形斜边的中线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】
A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意；
B、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等，是假命题，符合题意．
C、等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合，是真命题，不符合题意；
D、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．A
解析：A
【分析】
根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．
【详解】
解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；
B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；
D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．
故选：A
【点睛】
本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．
4．C
解析：C
【分析】
根据平行四边形的判定方法对①②③④分别作出判断即可求解．
【详解】
解：①AB ∥CD ，AD ∥BC ，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；
②AB CD =，AD BC =，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；；
③AO CO =，BO DO =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形；
④AB ∥CD ，AD BC =，无法判定四边形是平行四边形．
故选：C
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定定理是解题关键． 5．A
解析：A
【分析】
由题意可得对角线EF ⊥AD ，且EF 与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出BC 边的高即可．
【详解】
解：如图，连接AD 、EF ，
则可得对角线EF ⊥AD ，且EF 与平行四边形的高相等．
∵平行四边形纸片ABCD 的面积为120，AD=20，
∴BC=AD=20，12EF×AD=12
×120， ∴EF=6，
又AD=20，
∴则图形戊中的四边形两对角线之和为20+6=26，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
由题意可证四边形AECF 是平行四边形，可得AO ＝CO ，EO ＝FO ＝12
EF ＝6，由勾股定理可
求AO ＝10，可得AC ＝20，由阴影分的面积＝S 正方形ABCD -S ▱AECF 可求解．
【详解】
解：连接AC ，
∵AE ⊥EF ，CF ⊥EF ，
∴AE ∥CF ，且AE ＝CF ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∴AO ＝CO ，EO ＝FO ＝12EF ＝6， ∴AO ＝22AE EO +＝10，
∴AC ＝20， ∴阴影分的面积＝S 正方形ABCD -S ▱AECF ＝
20202⨯-8×12＝104， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．
7．A
解析：A
【分析】
先根据矩形的性质证得DFP PBE S
S =，然后求解即可．
【详解】
解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ，
∴四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形，
∵ADC ABC S S =△△，AMP AEP S
S =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =，
∴S 矩形DFPM =S 矩形BEPN ，
∵PM=AE=1，PF=NC=3，
∴131322
DFP PBE S S ==⨯⨯=△△， ∴S 阴=
33+=322
， 故选：A ．
【点睛】 本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得DFP PBE S S =是解答本题的关键． 8．A
解析：A
【分析】
延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ，先计算出
RG=6，∠ARG=90︒，AR=2，根据勾股定理求出AG =，利用
1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅，求出EN =，即可利用勾股定理求出NG 、EH ．
【详解】
如图，延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ， ∵矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，
∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG=90︒，AR=AR-CE=4-2=2，
∴
AG ===，
∵H 是AG 中点，
∴，
∵1122
AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅， ∴
24⨯=，
∴EN =，
在Rt △ENG 中，NG =
=，
∴5NH NG HG =-=
，
∴
EH = 故选：A ．
【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据矩形和菱形的性质即可得出答案．
【详解】
解：A：因为矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；
B：因为菱形和矩形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；
C：因为对角线互相垂直是菱形具有的性质，故此选项符合题意；
D：因为矩形和菱形的对边都相等且平分，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形性质的区别是解题关键．
10．A
解析：A
【分析】
先由勾股定理求出AB=5，再证四边形CEMF是矩形，得EF=CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM=2.4，即可得出答案．
【详解】
解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴2222
++=，
345
AC BC
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF=CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP=1
2
EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积=1
2AB×CM=
1
2
AC×BC，
∴CM=
•
AC BC
AB
=
34
2.4
5
⨯
=，
∴CP=1
2EF=
1
2
CM=1.2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
由矩形的性质和已知条件求出，BC=10，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=DO=BO，AD=BC，∠ABC=90°，AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=30°，
∴
，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AO+OC+BC，△AOB的周长=AB＋AO＋BO，
又∵ABC的周长比△AOB的周长长10，
∴AB+AC+BC-（AB＋AO＋BO）=BC=10，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，求出BC的长是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
四个选项，A、C选项CP为顶角的平分线， B、D选项CP为底边上的高线，
根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线
等于24
5
，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不
是同一条，可得正确的为D选项．
【详解】
解：∵∠C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8，
∴2222
8610
AB AC BC
+=+=，
当CP为AB的中线时，
1
5
2
CP AB
==，
若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，∵BC≠AC，
∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∠ACP=∠B，如图2
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠ACP =90°，
∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；
当CP为AB的高线时，
11
22
ABC
S AC BC AB PC =⋅=⋅
△
,
即11
8610
22
PC
⨯⨯=⨯⋅，解得
24
5
PC=,
故D选项正确，C选项错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．
二、填空题
13．8【分析】过点A作AM⊥BC过点A作AN⊥BC交DE于N证明
△AFN≌△BFE得出AN=BE=3再利用勾股定理解答即可【详解】解：
∵AB=AC∴∠B=∠C∵∴∠C+∠BFE=90∠B+∠BFE=90
解析：8
【分析】
过点A作AM⊥BC，过点A作AN⊥BC交DE于N，证明△AFN≌△BFE，得出AN=BE=3，再利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
⊥，
∵DE BC
∴∠C+∠BFE=90，∠B+∠BFE=90°，
∵∠BFE=∠AFD，∠B=∠C，
∴∠BFE=∠AED=∠CDE，
∴AD=AF，
过点A作AM⊥BC，
在△ABC中，∵AB=AC，
∴M为BC的中点，
∴BM=1
BC=6，
2
在Rt△ABM中，=
∵F为AB中点，FE⊥BC，
∴FE为△ABM的中位线，BF=AF=1
AB=5，
2
∴AD=AF=5，BE=13
BM=，
2
过点A作AN⊥BC交DE于N，
∵AF=BF，∠AFN=∠BFE，∠ANF=∠BEF=90°，
∴△AFN≌△BFE，
∴AN=BE=3，
在Rt△AND中，
=，
4
∵AD=AF，AN⊥DF，
∴DF=2DN=8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正确作出辅助线是解题的关键．
14．2【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解即可得利用等腰三角形的性质得到进而可得是的中位线根据三角形的中位线的性质可求解
【详解】解：在平行四边形中∴∵平分∴∴∴∵∴∵是的中点∴是的中位线 解析：2
【分析】
根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解CBE BEC ∠=∠，即可得CB CE =，利用等腰三角形的性质得到BF EF =，进而可得GF 是ABE △的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
【详解】
解：在平行四边形ABCD 中，//AB CD ，
∴ABE BEC ∠=∠，
∵BE 平分ABC ∠，
∴ABE CBE ∠=∠，
∴CBE BEC ∠=∠，
∴CB CE =，
∵CF BE ⊥，
∴BF EF =，
∵G 是AB 的中点，
∴GF 是ABE △的中位线， ∴12
GF AE =
∵4AE =， ∴2GF =；
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF 是ABE △的中位线是解题的关键．
15．【分析】由题意得出OA=3由平行四边形的性质得出BC ∥OABC=OA=3即可得出结果【详解】解：∵O （00）A （30）∴OA=3∵四边形OABC 是平行四边形∴BC ∥OABC=OA=3∵B （43）∴点
解析：()1,3
【分析】
由题意得出OA=3，由平行四边形的性质得出BC ∥OA ，BC=OA=3，即可得出结果．
【详解】
解：∵O （0，0）、A （3，0），
∴OA=3，
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴BC ∥OA ，BC=OA=3，
∵B （4，3），
∴点C 的坐标为（4-3，3），
即C （1，3）；
故答案为：（1，3）．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．【分析】根据正多边形的性质求解即可【详解】解：∵八边形是正八边形∴=∠HAB=×=故答案为：【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理正多边形的性质掌握相关定理是解题的关键
解析：67.5︒
【分析】
根据正多边形的性质求解即可
【详解】
解：∵八边形ABCDEFGH 是正八边形，
∴EAB ∠=12∠HAB=12×()821808
-⨯=67.5︒． 故答案为：67.5︒．
【点睛】
本题主要考查多边形的内角和定理，正多边形的性质，掌握相关定理是解题的关键． 17．【分析】过D 作DF ⊥AC 于F 得到AB ∥DF 求得AF ＝CF 根据三角形中位线定理得到DF=AB ＝1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D 作DF ⊥AC 于F ∴∠DFC ＝∠A ＝90°∴AB ∥DF
【分析】
过D作DF⊥AC于F，得到AB∥DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=1
2
AB＝
1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：过D作DF⊥AC于F，
∴∠DFC＝∠A＝90°，
∴AB∥DF，
∵点D是BC边的中点，
∴BD＝DC，
∴AF＝CF，
∴DF=1
2
AB＝1，
∵∠DEC＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE=2DF=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
18．15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB得出
AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF的长即可求出BC的长【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCDC=AB=8A
解析：15
【分析】
由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF的长，即可求出BC的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=8，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
则∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=8，
同理可证：DE=DC=8，
∵EF=AF+DE-AD=1，
即8+8-AD=1，
解得：AD=15；
故答案为：15．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．
19．20°【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了8次可得CF与GF重合依据平行线的性质即可得到∠DEF的度数【详解】解：设∠DEF=α在图（1）中∵是长方形纸带∴AD//BC∴
解析：20°
【分析】
根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了8次，可得CF与GF重合，依据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．
【详解】
解：设∠DEF=α，
在图（1）中∵是长方形纸带，
∴AD//BC，
∴∠EFB=∠DEF =α，
∵折叠8次后CF与GF重合，
∴∠CFE=8∠EFB=8α，
∵CF∥DE，
∴∠DEF+∠CFE=180°，
∴α+8α=180°，
∴α=20°，
即∠DEF=20°．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查了翻折变换以及矩形的性质．在本题中应理解∠DEF+∠CFE=180°．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
20．【分析】根据旋转的可证明△BEF≌△CHE作FM⊥CD于M分别求出FMMH的长利用勾股定理即可求解【详解】∵将△BEF绕点E顺时针旋转得到△GEH点H落在CD边上∵BE=2AF=2BF=4∴GH=B
解析：
【分析】
根据旋转的可证明△BEF≌△CHE，作FM⊥CD于M，分别求出FM,MH的长，利用勾股定理即可求解．
【详解】
∵将△BEF绕点E顺时针旋转，得到△GEH，点H落在CD边上，
∵BE=2，AF=2，BF=4
∴GH=BF=EC=4，EH=EF=22
2425
+=
∴在Rt△HEC中，CH=()22
-=
2542
∴BE=CH
又∵∠B=∠C=90°，BF=CE=4
∴△BEF≌△CHE
作FM⊥CD于M，故四边形AFMD是矩形，
∴DM=AF=2，MH=CM-CH=2，FM=AD=6
∴FH=22
+=
26210
故答案为：210．
【点睛】
此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、正方形的性质、矩形的性质及全等三角形的判定定理．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得AB//CD，根据平行线的性质可得就爱∠FAE=∠CDE，利用ASA即可证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质可得AF=DC，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得结论．
【详解】
（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AEF 和△DEC 中FAE CDE AE DE AEF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△AEF ≌△DEC （ASA ）．
（2）∵△AEF ≌△DEC ，
∴AF ＝DC ，
∵AF ∥DC ，
∴四边形ACDF 是平行四边形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的对边互相平行；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质与判定定理是解题关键．
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；
（2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可．
【详解】
证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，
,//AD BC AD BC ∴=，
DAC BCA ∴∠=∠，
DAF BCE ∴∠=∠，
AE CF =，
AF EC ∴=，
在ΔFAD 和ΔECB 中，
AF CE FAD ECB AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ΔΔ()FAD ECB SAS ∴≅，
BE DF ∴=；
（2）ΔΔFAD ECB ≅，
F E ∠=∠∴，
//BE DF ∴．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△FAD ≌△ECB 是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）菱形，见解析
【分析】
（1）由DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，可证得四边形AEDF 是平行四边形，即可证得结论；
（2）由AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，易证得△ADE 是等腰三角形，又由四边形AEDF 是平行四边形，即可证得四边形AEDF 是菱形．
【详解】
（1）证明：∵DE ∥AC ，DF ∥ AB ，
∴四边形AEDF 是平行四边形，
∴DE=AF ；
（2）若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形；
理由：∵AD 平分∠BAC ，
∴∠EAD=∠FAD ，
∵DE ∥AC ，
∴∠ADE=∠FAD ，
∴∠EAD=∠ADE ，
∴AE=DE ，
∵四边形AEDF 是平行四边形，
∴四边形AEDF 是菱形．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质．注意熟练掌握菱形的判定方法是解此题的关键．
24．（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB ≌△CND ；
（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN 是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN 是直角，进而得到四边形DEMN 是矩形，即可得出四边形DEMN 的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB CD =，//AB CD ，OA OC =，
∴BAC DCA ∠=∠，
又点M ，N 分别为OA 、OC 的中点， ∴1122
=
==AM AO CO CN ， 在AMB 和CND △中， AB CD BAC DCA AM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AMB ≌△CND(SAS)
（2）∵△AMB ≌△CND ，
∴BM=DN ，∠ABM=∠CDN ，
又∵BM=EM ，
∴DN=EM ，
∵AB ∥CD ，
∴∠ABO=∠CDO ，
∴∠MBO=∠NDO ，
∴ME ∥DN ，
∴四边形DEMN 是平行四边形，
∵BD=2AB ，BD=2BO ，
∴AB=OB ，
又∵M 是AO 的中点，
∴BM ⊥AO ，
∴∠EMN=90°，
∴四边形DEMN 是矩形，
∵AM=3，DN=4，
∴AM=MO=3，DN=BM=4，
∴MN=6，
∴矩形DEMN 的面积=6×4=24．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
25．（1）见解析；（2）矩形，见解析
【分析】
（1）已知四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质可得OA ＝OC ，OB ＝OD ，由AE ＝CF 即可得OE ＝OF ，利用SAS 即可证明△BOE ≌△DOF ；
（2）四边形BEDF 是矩形．由（1）得OD ＝OB ，OE ＝OF ， 根据对角线互相平方的四边形为平行四边形可得四边形BEDF 是平行四边形， 再由BD ＝EF ，根据对角线相等的平行四边形为矩形即可判定四边形EBFD 是矩形．
【详解】
（1）证明：
四边形ABCD 是平行四边形， OB OD ∴=，OA OC =． 又AE CF =，OA AE OC CF ∴-=-，即OE OF =，
在DOE △和BOF 中，OE OF DOE BOF OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△≌△DOE BOF ．
（2）四边形EBFD 是矩形，理由如下： BD ，EF 相交于点O ，OD OB =，OE OF =，
∴四边形EBFD 是平行四边形．
又BD EF =，
∴四边形EBFD 是矩形．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，平行四边形的性质及判定、矩形的判定，熟练运用相关的性质及判定定理是解决问题的关键．
26．（1）//AD BE ，MD ME =；（2）MD ME =，理由见解析；（3）成立，理由见解析．
【分析】
（1）()P M 为AB 的中点，可得：BP AP =，由,AD CE BE CE ⊥⊥，可得
90ADP BEP ∠=∠=︒，
//AD BE ，再证明APD BPE ≌，从而可得结论； （2）如图，延长EM 交AD 于F ，再证明AFM BEM ≌，可得FM EM =，再利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得结论；
（3）延长DA 与EM 交于点G ，
同理可得：//,,,AD BE AM BM AMG BME =∠=∠ 可得,MAG MBE ∠=∠ 再证明,AMG BME ≌ ,MG ME = 再利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得结论．
【详解】
解：（1）如图，
()P M 为AB 的中点，
,BP AP ∴=
,,AD CE BE CE ⊥⊥
90ADP BEP ∴∠=∠=︒，
//,AD BE ∴
,APD BPE ∠=∠
(),APD BPE AAS ∴≌
,PD PE ∴= 即.MD ME =
故答案为：//AD BE ，.MD ME =
（2）如图，延长EM 交AD 于F ，
由（1）得：//AD BE ，
,FAM MBE ∴∠=∠ M 为AB 的中点，
,AM BM ∴=
,AMF BME ∠=∠
(),AFM BEM ASA ∴≌
,FM EM ∴=
90ADE ∠=︒，
1.2
DM EF ME ∴== （3）延长DA 与EM 交于点G ，
同理可得：//,,,AD BE AM BM AMG BME =∠=∠
,MAG MBE ∴∠=∠
(),AMG BME ASA ∴≌
,MG ME ∴=
90GDE ∠=︒，
1.2
MD EG ME ∴== 【点睛】
本题考查的平行线的判定与性质，三角形全等的判定与性质，同时考查自主应用结论的能力，掌握作出适当的辅助线构建三角形全等是解题的关键．。