2020-2021学年重庆十八中两江实验中学九年级(上)开学数学试卷

2020-2021学年重庆十八中两江实验中学九年级（上）开学数学
试卷
一、单选题
1．下列各数当中，最小的数是（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
2．随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，又是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．从2019年末到2020年4月6日截止，全球感染新冠状肺炎病毒患者累计达到120万人之多，将数据120万用科学记数法表示为（）
A．120×104B．12×105C．1.2×106D．0.12×107
4．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）
A．10B．15C．18D．21
5．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，且∠D＝40°，则∠PCA等于（）
A．50°B．60°C．65°D．75°
6．下列运算正确的是（）
A．a3+a4＝a7B．2a3•a4＝2a7C．（2a4）3＝8a7D．a8÷a2＝a4
7．估算的结果应在（）
A．4与5之间B．5与6之间C．6与7之间D．7与8之间
8．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为64，则第2020次输出的结果为（）
A．4B．64C．16D．1
9．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i＝1：2.4，坡长为2.6米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．10.2B．9.8C．11.2D．10.8
10．已知点A（﹣1，3），点B（﹣1，﹣4），若常数a使得一次函数y＝ax+1与线段AB有交点无解，则所有满足条件的整数a的个数为（）
A．3B．4C．5D．6
11．如图，△ABC中，∠C＝45°，且满足AE＝AB，D为线段AE的中点，DB＝3，则AE＝（）
A．3B．2C．3D．6
12．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0），点C，D在反比例函数y＝（k＞0），AC ∥BD∥y轴，已知点A，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（）
A．4B．3C．2D．
二、填空题
13．用科学记数法表示：0.00000036＝．
14．从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c2+4x+c＝0有实数根的概率为．
15．如图，在△ABC中，CA＝CB，AB＝4，点D为AB的中点，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是．
16．“五一”节期间，刘杰老师准备自驾从甲地经过乙地到丙地旅游．其中甲地到乙地有两条路线，乙地到丙地有三条路线．如果刘杰老师从中任选一条从甲地到丙地的路线．
17．武汉疫情爆发期间，大学生小玲和小丽应聘成为了阳光小区的疫情防控志愿者．一天早晨，小玲从阳光小区出发骑三轮车匀速到距离7500米处的区疾病防控中心领取防疫物资，小丽发现小玲忘记带了社区介绍信，立即骑自行车沿小玲行驶的路线匀速行驶去追赶，立即将介绍信交给了她，并用2分钟时间与小玲核对了一下防疫物资的清单，而小丽则按原路以原来一半的速度匀速返回阳光小区．设小丽与小玲之间的距离y（米）与小玲从阳光小区出发后的时间x（分），小玲离区疾病防控中心的距离还有米．
18．某公司销售A、B、C三种电子产品，在去年的销售中，产品C的销售额占总的销售额的60%，估计今年A、B两种产品的销售额都将比去年减少45%，公司将产品C定为今年销售的重点，那么今年产品C的销售额应比去年增加%．
三、解答题
19．计算：
（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；
（2）（a﹣）÷．
20．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；
（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．
21．经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”
知识竞赛，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）．
收集整理数据如下：
分析数据：
平均数中位数众数1班83a80
2班83b c
3班d8080根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人
22．已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象x+1的解集．
23．2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV），因2019年武汉出现的病毒性肺炎病例而被发现，为防治疫情的蔓延，因此口罩的销售量大增．某药店销售一种口罩，经市场调查发现：2020年2月以100元/盒的进价购进一款口罩2000盒，多家爱心企业也转产该款口罩，所以口罩的储备量迅速上升，该款口罩每盒的售价在2月售价基础上每降价5元，月销量就会相应增加100盒．
（1）若该药店3月计划销售该款口罩不超过2600盒，则该款口罩3月的售价每盒至少多少元？
（2）实际上，3月该药店购进该款口罩的进价比2月便宜了，而实际售价在2月基础上降了m元，已知该款口罩3月的销售利润比2月减少，求m的值．
24．材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q 整除，则称这个数为“p阶q级数”，因为＝101，因为＝70．（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；
（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”
25．二次函数y1＝ax2+bx﹣5与x轴交于A、D两点，D（5，0），与直线y2＝2x﹣5交于B、E两点，点B在y轴上，E（6，n）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上有一点P，若△APE的面积为28，求点P的横坐标；
（3）点F在第四象限的抛物线上运动，连接AF，与直线BE交于点Q，AB．设△ABQ 的面积为S1，△FBQ的面积为S2，求的最大值．
26．在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，连接AM，在BC下方有一点N，连接MN．
（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；
（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：AB＝
2020-2021学年重庆十八中两江实验中学九年级（上）开学数学
试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．下列各数当中，最小的数是（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【解答】解：如图所示，
，
故选：A．
2．随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，又是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：C．
3．从2019年末到2020年4月6日截止，全球感染新冠状肺炎病毒患者累计达到120万人之多，将数据120万用科学记数法表示为（）
A．120×104B．12×105C．1.2×106D．0.12×107
【解答】解：120万＝1200000＝1.2×107，
故选：C．
4．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个
图案中有3个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）
A．10B．15C．18D．21
【解答】解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝6+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝4+2+3，
…
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为7+2+3+4+5＝15，
故选：B．
5．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，且∠D＝40°，则∠PCA等于（）
A．50°B．60°C．65°D．75°
【解答】解：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠COD＝∠A+∠ACO，
∴∠A＝∠COD＝25°，
∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．
故选：C．
6．下列运算正确的是（）
A．a3+a4＝a7B．2a3•a4＝2a7C．（2a4）3＝8a7D．a8÷a2＝a4
【解答】解：A、a3和a4不是同类项不能合并，故本选项错误；
B、3a3•a4＝7a7，故本选项正确；
C、（2a7）3＝8a12，故本选项错误；
D、a6÷a2＝a6，故本选项错误；
故选：B．
7．估算的结果应在（）
A．4与5之间B．5与6之间C．6与7之间D．7与8之间
【解答】解：原式＝+2，
∵16＜19＜25，
∴4＜＜8，
∴6＜+2＜8，
故选：C．
8．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为64，则第2020次输出的结果为（）
A．4B．64C．16D．1
【解答】解：由题可知，第一次输出结果为：64÷4＝16，
第二次输出的结果为：16÷4＝2，
第三次输出的结果为：4÷4＝6，
第四次输出的结果为：1+3＝3，
第五次输出的结果为：4÷4＝7，
第六次输出的结果为：1+3＝7，
……
由此可得，从第二次开始，
∵（2020﹣1）÷2＝1009…6，
∴第2020次输出结果与第2次输出结果一样，
∴第2020次输出的结果为4．
故选：A．
9．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i＝1：2.4，坡长为2.6米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
A．10.2B．9.8C．11.2D．10.8
【解答】解：如图，作DH⊥FC交FC的延长线于H，作DJ⊥AT于J．
由题意四边形EFTB四边形DHTJ是矩形，
∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，
在Rt△DCH中，∵CD＝2.6米，＝，
∴DH＝1（米），CH＝8.4（米），
∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，
∴AT＝TC，
设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.3）米，
在Rt△ADJ中，∵tan∠ADJ＝，
∴＝0.75，
解得x＝11.2，
∴AB＝AT﹣BT＝AT﹣EF＝11.6﹣1.4＝6.8（米），
故选：B．
10．已知点A（﹣1，3），点B（﹣1，﹣4），若常数a使得一次函数y＝ax+1与线段AB有交点无解，则所有满足条件的整数a的个数为（）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：把点A（﹣1，3）代入y＝ax+2得，解得a＝﹣2，
把点B（﹣1，﹣6）代入y＝ax+1得，解得a＝5，
∵一次函数y＝ax+8与线段AB有交点，
∴﹣2≤a≤5，且a≠8，
解不等式组得，
∵不等式组无解，
∴a﹣≤，
解得：a≤2，
则所有满足条件的整数a有：﹣2，﹣1，8，2，3，8，
故选：D．
11．如图，△ABC中，∠C＝45°，且满足AE＝AB，D为线段AE的中点，DB＝3，则AE＝（）
A．3B．2C．3D．6
【解答】解：解法一：过点A作AF⊥BE于F，交BD于G
∵AE＝AB，AF⊥BE，
∴BF＝EF，∠AEB＝∠ABE，
∵D为线段AE的中点，
∴G为△AEB的重心，
∴BG＝2DG＝BD＝＝2，
在△BDE和△CAB中，
∠BED＝∠CBA，∠BDE＝∠CAB，
∠BED+∠BDE+∠DBE＝∠CBA+∠CAB+∠C＝180°，∠C＝45°，∴∠DBE＝∠ACB＝45°，
在Rt△GFB中，∠GFB＝90°，
∴∠FGB＝90°﹣∠GBF
＝90°﹣45°
＝45°
＝∠GBF，
∴FG＝FB，
∵FG7+FB2＝BG2，
∴3FG2＝，
∴FG＝2，
∴AG＝4FG
＝2×2
＝5，
∴FB＝FG＝2，
∴AF＝AG+FG
＝4+6
＝6，
在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，AF＝6，
∴AE＝
＝
＝4．
解法二：过点A作AF⊥BE于F，交BD于G，过点D作DH⊥EB于点H
∵AE＝AB，AF⊥BE，
∴BF＝EF，∠AEB＝∠ABE，
∴DF为三角形ABE的中位线，
∴DF＝AB＝，
又∵DH⊥EB，
∴EH＝FH＝EF，
在△BDE和△CAB中，
∠BED＝∠CBA，∠BDE＝∠CAB，
∠BED+∠BDE+∠DBE＝∠CBA+∠CAB+∠C＝180°，∠C＝45°，
∴∠DBE＝∠ACB＝45°，
∵DB＝3，
∴BH＝DH＝7，
∴EH＝FH＝BH＝8，
∴DE＝＝＝，
∴AE＝2DE＝2．
解法三：过A作直线AF∥BC，过A作AH⊥BC于H，延长BD交直线AF于G，
在△BDE和△CAB中，
∠BED＝∠CBA，∠BDE＝∠CAB，
∠BED+∠BDE+∠DBE＝∠CBA+∠CAB+∠C＝180°，∠C＝45°，
∴∠DBE＝∠ACB＝45°，
∵AE＝AB，AH⊥BC，
∴BH＝EH，
∵AF∥BC，D为AE中点，
∴△ADG≌△EDB，
∴∠AGD＝∠EDB＝45°，AG＝EB，
设BH＝EH＝IH＝x，BI＝x，
∴GI＝DG+DI＝3+7﹣﹣x，
∵△AGI为等腰直角三角形，
∴AG＝AI＝6﹣x，
∴AH＝AI+IH＝3﹣x+x＝6，
∵AG＝EB，
∴6﹣x＝7x，
∴x＝2，
在Rt△AEH中，AH＝6，
由勾股定理可得，AE＝＝，
故选：B．
12．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0），点C，D在反比例函数y＝（k＞0），AC ∥BD∥y轴，已知点A，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（）
A．4B．3C．2D．
【解答】解：∵点A，B在反比例函数y＝，点A，2，
∴点A的坐标为（2，1），），
∵AC∥BD∥y轴，
∴点C，D的横坐标分别为1，2，
∵点C，D在反比例函数y＝，
∴点C的坐标为（5，k），），
∴AC＝k﹣1，BD＝，
∴S△OAC＝（k﹣1）×1＝，S△ABD＝•×（6﹣1）＝，
∵△OAC与△ABD的面积之和为，
∴，
解得：k＝4．
故选：B．
二、填空题
13．用科学记数法表示：0.00000036＝ 3.6×10﹣7．
【解答】解：0.00000036＝3.7×10﹣7，
故答案为：3.2×10﹣7．
14．从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c2+4x+c＝0有实数根的概率为．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中满足Δ＝16﹣4ac≥0，8），3），4），4），1），1）这6种结果，
则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝7有实数根的概率为＝，
故答案为：．
15．如图，在△ABC中，CA＝CB，AB＝4，点D为AB的中点，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是π﹣2．
【解答】解：连接CD，作DM⊥BC．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴DC＝AB＝7，DM＝．
则扇形FDE的面积是：＝π．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴CD平分∠BCA，
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵∠GDH＝∠MDN＝90°，
∴∠GDM＝∠HDN，
在△DMG和△DNH中，
，
∴△DMG≌△DNH（AAS），
∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝2．
则阴影部分的面积是：π﹣2．
故答案为：π﹣7．
16．“五一”节期间，刘杰老师准备自驾从甲地经过乙地到丙地旅游．其中甲地到乙地有两条路线，乙地到丙地有三条路线．如果刘杰老师从中任选一条从甲地到丙地的路线．
【解答】解：设甲地到乙地有A1，A2两条路线，从乙地到丙地有B8，B2，B3三条路线，根据题意画图如下：
共有8种，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，选到最短路线记为事件A的结果有1种，
则P（选到最短路线）＝．
故答案为：．
17．武汉疫情爆发期间，大学生小玲和小丽应聘成为了阳光小区的疫情防控志愿者．一天早晨，小玲从阳光小区出发骑三轮车匀速到距离7500米处的区疾病防控中心领取防疫物资，
小丽发现小玲忘记带了社区介绍信，立即骑自行车沿小玲行驶的路线匀速行驶去追赶，立即将介绍信交给了她，并用2分钟时间与小玲核对了一下防疫物资的清单，而小丽则按原路以原来一半的速度匀速返回阳光小区．设小丽与小玲之间的距离y（米）与小玲从阳光小区出发后的时间x（分），小玲离区疾病防控中心的距离还有375米．
【解答】解：由图象得：小玲骑车速度：7500÷30＝250（米/分），
由函数图象得出，小丽在小玲6分后出发，
设小丽去时的速度为v米/分，
（13．5﹣3）v＝13.5×250，
解得，v＝450，
∴小丽回家的时间为：（13．5×250）÷（450×，
∴当小丽刚好返回到阳光小区时，小玲离区疾病防控中心的距离为：250×（32﹣15﹣15．故答案为：375．
18．某公司销售A、B、C三种电子产品，在去年的销售中，产品C的销售额占总的销售额的60%，估计今年A、B两种产品的销售额都将比去年减少45%，公司将产品C定为今年销售的重点，那么今年产品C的销售额应比去年增加30%．
【解答】解：设今年产品C的销售金额应比去年增加x，
根据题意得：0.6（5+x）+（1﹣60%）（1﹣45%）＝7，
解得x＝30%，
故答案为：30．
三、解答题
19．计算：
（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2；
（2）（a﹣）÷．
【解答】解：（1）（2x+y）（x+y）+（x﹣y）2
＝4x2+2xy+xy+y2+x2﹣2xy+y8
＝3x2+xy+2y2；
（2）（a﹣）÷
＝
＝
＝
＝．
20．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，交BC于点F，交CD的延长线于点G．（1）若∠G＝29°，求∠ADC的度数；
（2）若点F是BC的中点，求证：AB＝AD+CD．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，∠BAD＝∠ADC．
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠BAG＝2∠G．
∴∠ADC＝∠BAD＝2∠G．
∵∠G＝29°，
∴∠ADC＝58°；
（2）∵AF平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG．
∵∠BAG＝∠G，
∴∠DAG＝∠G．
∴AD＝GD．
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF．
在△ABF和△GCF中，
∵
∴△ABF≌△GCF（AAS），
∴AB＝GC．
∴AB＝GD+CD＝AD+CD．
21．经历疫情复学后，学校开展了多种形式的防疫知识讲座，并举行了全员参加的“防疫”
知识竞赛，每题10分．现分别从七年级1，2，3班中各随机抽取10名同学的成绩（单位：分）．
收集整理数据如下：
分析数据：
平均数中位数众数1班83a80
2班83b c
3班d8080根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级学生共120人
【解答】解：（1）一班10个数据的中第5、第6个数据都是80分；
二班10个数据的中第8、第6个数据分部是80分，所以b＝85；
二班10个数据的中90分出现的次数最短，所以c＝90；
三班的平均数d＝（60+70+80×7+90×2+100×2）＝83；
（2）我认为七年级4班的成绩比较好，随机抽取的样本中，2班成绩的中位数为85；
2班成绩的众数90大于3班和3班成绩的众数80；
（3）因为所抽取的样本中，样本总量是30．
所以×120＝16
答：估计需要准备的奖状是16张．
22．已知函数y＝k|x+2|+b的图象经过点（﹣2，4）和（﹣6，﹣2），完成下面问题：（1）求函数y＝k|x+2|+b的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用适当的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函数y＝x+1的图象如图所示，结合你所画出y＝k|x+2|+b的图象x+1的解集．
【解答】解：（1）根据题意，得，
解方程组，得，
所求函数表达式为；
（2）函数的图象如图所示，
性质为：
①当x＜﹣5时，y随x增大而增大，y随x增大而减少．
②当x＝﹣2时，该函数取得最大值．
（3）由图象可知：k|x+2|+b＞x+1的解集为：﹣3＜x＜0．
23．2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV），因2019年武汉出现的病毒性肺炎病例而被发现，为防治疫情的蔓延，因此口罩的销售量大增．某药店销售一种口罩，经市场调查发现：2020年2月以100元/盒的进价购进一款口罩2000盒，多家爱心企业也转产该款口罩，所以口罩的储备量迅速上升，该款口罩每盒的售价在2月售价基础上每降价5元，月销量就会相应增加100盒．
（1）若该药店3月计划销售该款口罩不超过2600盒，则该款口罩3月的售价每盒至少多少元？
（2）实际上，3月该药店购进该款口罩的进价比2月便宜了，而实际售价在2月基础上降了m元，已知该款口罩3月的销售利润比2月减少，求m的值．
【解答】解：（1）设该款口罩3月的售价为x元/盒，
依题意，得：2000+，
解得：x≥120．
答：该款口罩8月定价至少为120元/盒．
（2）依题意，得：[（150﹣m）﹣100（1﹣×100）＝2000×（150﹣100）（1﹣，整理，得：m2﹣20m＝0，
解得：m1＝4（不合题意，舍去），m2＝20．
答：m的值为20．
24．材料：对任意一个n位正整数M（n≥3），若M与它的十位数字的p倍的差能被整数q 整除，则称这个数为“p阶q级数”，因为＝101，因为＝70．（1）若415是“5阶k级数”，且k＜300，求k的最大值；
（2）若一个四位数M的百位数字比个位数字大2，十位数字为1，且M既是“4阶13级数”又是“6阶5级数”
【解答】解：（1）∵415是“5阶k级数”，
所以为整数，
∵k＜300，
∴k的最大值为205．
（2）设M为千位数字为x，个位数字为y，
∴M＝1000x+100（y+2）+10+y，（0≤y≤3）
∵M既是“4阶13级数”又是“6阶4级数”，
∴与均为整数，
∴M﹣7是13的整数倍，M﹣6是5的整数倍，
∴y＝8或1，
当y＝1时，M﹣7＝1000x+307，
＝＝77x+24﹣，
∴x＝3，
∴M＝8311．
当y＝6时，M﹣4＝1000x+812
＝＝77x+63﹣，
∴x＝6，
∴M＝6816．
综上所述，满足要求的M为8311或6816．
25．二次函数y1＝ax2+bx﹣5与x轴交于A、D两点，D（5，0），与直线y2＝2x﹣5交于B、E两点，点B在y轴上，E（6，n）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上有一点P，若△APE的面积为28，求点P的横坐标；
（3）点F在第四象限的抛物线上运动，连接AF，与直线BE交于点Q，AB．设△ABQ 的面积为S1，△FBQ的面积为S2，求的最大值．
【解答】解：（1）∵直线y2＝2x﹣2过E点，
∴将点E的坐标代入上式并解得：n＝7，故点E（6，
将点D、E的坐标代入抛物线表达式得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣5x﹣5；
（2）如图1，过点P作y轴的平行线交AE于点H，
由点A、E的坐标得，
设点P（m，m6﹣4m﹣5），则点H（m，
∴△APE的面积S＝S△PHA+S△PHE＝PH×（x E﹣x A）＝|m2﹣4m﹣8﹣m﹣1|×（6+8）＝28，
解得：m＝﹣2或7或，
故点P的横坐标为﹣2或3或；
（3）如图7，分别过点A、N，
设F（m，m2﹣4m﹣8），则点N（m，则NF＝2m﹣5﹣（m3﹣4m）＝﹣m2+4m，
当x＝﹣1时，y2＝2x﹣5＝﹣7，故点M（﹣4，即AM＝7，
∵△ABQ和△FBQ等高，
∴S2：S4＝QF：AQ，
∵AM∥y轴∥NF，
∴△QNF∽△QMA，
∴QF：AQ＝NF：AM，
∴＝NF：AM＝2+4m），
∵＜3，故，
当m＝3时，的最大值为．
26．在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，连接AM，在BC下方有一点N，连接MN．
（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；
（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：AB＝
【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCN＝60°，
又AC⊥CD，
∴AB⊥AC，
∴∠B＝30°，
在Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴BC＝2AE＝10，
∴AC＝BC＝5，
∴，
∴；（2）证明：延长CN至G，使CG＝AC，
由（1）知∠ACM＝∠GCM，
又MC＝MC，
∴△ACM≌△GCM，
∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，
又AM＝MN，
∴GM＝MN，
∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，
又由（1）可得EC＝EA，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，
∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，
∴∠NMC＝∠MAE，
在MC上截取MF＝AE，
∴△MAE≌△NMF，
∴ME＝FN，
又MC＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，∵EA＝MF＝CE，
∴ME＝CN＝FN＝CF，
∴△NCF为等边三角形，
∴∠MCN＝60°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴，
∵AE＝BC，
∴AB＝AE．。