(8)_用样本估计总体(复习)

________、________.
解析：由题意知x＝6，则平均数为 ＝5， 则s2＝ [(5＋1)2＋(5－0)2＋(5－4)2＋(5－6)2＋(5－7)2 .
＋(5－14)2]＝24 答案：5 24
1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐
标表示 ，频率＝组距× . 2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因此 在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长 方形高的比也就是频率比．
查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．
(1)A类工人中和B类工人中各抽查多少名工人？ (2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别 如下表1和表2.
表1： 生产能 力分组 人数 表2： 生产能 力分组 人数 [110,120) 6 [120,130) y [130,140) 36 [140,150) 18 [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 4 8 x 5 3
401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430
(1)完成数据的茎叶图； (2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？ (3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行 比较，写出统计结论．
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)
A
9 8 7 7 5 8 2 0 2 1 0 3 1 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 3 1 3 1 0 0 2 0
[考题印证]
(文)(2009· 广东高考)(12分) 随机抽取某中学甲、乙两班各10 名同学，测量他们的身高(单位： cm)，获得身高数据的茎叶图如图．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
1.平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简 明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平
均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描
述波动大小． 2．平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，那么mx1＋a，mx2＋ a， mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m ＋a.
B
7
5 3 4 5
9 5 4 3 0 5 4
4 5 2 1 2
6 4 4 5 7 7 1 3 6 7 5 6
(2)由于每个品种的数据都只有25个，样本不大，画茎叶图 很方便；此时茎叶图不仅清晰明了地展示了数据的分布情
况，便于比较，没有任何信息损失，而且还可以随时记录
新的数据． (3)通过观察茎叶图可以看出：①品种A的亩产平均数(或均 值)比品种B高；②品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大， 故品种A的亩产稳定性较差.
中位数b＝15，众数c＝17.∴c>b>a. 答案：D
2．商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时
的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知 9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额 为 ( )
A．6万元
B．8万元
C．10万元
解析：由
D．12万元
，得x＝10万元．
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)A类工人中和B类工人中分别抽查25名和 75名． (2)①由4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5,6＋y＋36＋18＝75， 得y＝15.频率分布直方图如下：
从直方图可以判断，B类工人中个体间的差异程度更小. ② ＝123， ×115＋ ×123＋ ×125＋ ×135＋ ×145＝133.8， ×105＋ ×115＋ ×125＋ ×135＋ ×145
和131.1.
茎叶图在样本数据较少，较为集中且位数不多时比
较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助
我们分析样本数据的大致概率分布，还可以用来分析样 本数据的一些数字特征．
[特别警示] 当数据是两位有效数字时，用茎叶图显得容
易、方便．而当样本数据较大和较多时，用茎叶图表示，
就显得不太方便．
法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工
人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零 件数)．
(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人， 乙为B类工人； (2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分 别如下表1和表2.
表1：
生产能 力分组 人数
[100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
[课堂笔记] (1)甲、乙两人五次测试的成绩分别为：来自甲乙10分
13分
13分
14分
12分
12分
14分
12分
16分
14分
甲的平均得分为：
乙的平均得分为：
＝13，
＝13.
＝
[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16
－13)2]＝4， ＝ [(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14
答案：C
3．一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下： 组别 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 频数 2 3 4 5 4 2
则样本在(20,50]上的频率为 A．12% C．60% B．40% D．70%
(
)
解析：本题考查样本的频率运算．据表知样本分布在(20,50] 的频数3＋4＋5＝12，故其频率为 答案：C ＝0.6.
－13)2]＝0.8.
(2)由
，可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩
在平均线上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的 成绩则无明显提高．
以选择题或填空题的形式考查有关直方图的信
息题、均值或方差的计算是高考对本节内容的常规考 法.2009年广东、海南、宁夏、安徽等高考不仅以解答 题的形式考查了本节内容且将统计与概率等问题有机 结合命题，这是一个新的考查方向．
①先确定x、y，再完成下列频率分布直方图，就生产能力 而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的 差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回 答结论)
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估
计该工厂工人的生产能力的平均数．(同一组中的数据用
该组区间的中点值作代表)
(2009· 安徽高考)某良种培育基地正在培育一种小 麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试 验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克) 如下：
品种A：
357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421, 423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454 品种B： 363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,
4．某个容量为100的样本的频率分布直方图如下，则在 区间[4,5)上的数据的频数为________．
解析：对于在区间[4,5)的频率的数值为1－(0.4＋0.15＋ 0.1＋0.05)＝0.3，而样本容量为100，因此频数为30.
答案：30
5．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4， x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为
5．会用随机抽样的基本方法和样本
估计总体的思想解决一些简单的 实际问题．
1．作频率分布直方图的步骤
2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方 形上端的 中点 ，就得频率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着 样本容量 的增加，作图时 所分组数 增加， 组距 减小，相应的频率折线图会越来
【解】
(1)乙班的平均身高较高．(可由茎叶图判 ＝170(cm)，
断或计算得出)┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分) (2)因为甲班的平均身高为 所以甲班的样本方差 s2＝ ＝ (xi－ )2 [2×122＋2×92＋2×22＋12＋72＋82＋02]
＝57.2.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)
越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
3．样本的数字特征
[思考探究]
如何利用频率分布直方图估计样本的数字特征？
提示：(1)在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方 图的面积相等，由此可以估计中位数的值．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面
积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点 的横坐标．
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2. ①s2＝ [( ＋…＋ )－n ]；
②数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2； ③数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成
绩得分情况如图．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． [思路点拨]
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小． ② ×105＋ ×115＋ ×125＋ ×135＋
×145＝123， ×115＋ ×123＋ ×125＋ ×135＋ ×145＝133.8，
×133.8＝131.1.
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数
以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8
×133.8＝131.1.
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及 全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123,133.8和131.1.
(理)(2009· 海南、宁夏高考)某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750 名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样方
1．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中 位数为b，众数为c，则有 ( )
A．a>b>c
C．c>a>b
B．b>c>a
D．c>b>a
解析：平均数a＝ 16＋14＋12)＝14.7.
(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋
3．频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的
两种形式，前者准确，后者直观．
(文)(2009· 海南、宁夏高考)某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名 工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样方法(按 A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调
1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，
会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶
图，理解它们各自的特点． 2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计
算数据标准差．
3．能从样本数据中提取基本的数字特征(如
平均数、标准差)，并给出合理的解释． 4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用 样本的基本数字特征估计总体的基本数字 特征，理解用样本估计总体的思想．
(3)从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm的同学，共有10种不同的取法：
(173,176)，(173,178)，(173,179)，(173,181)，
4 8 x 5 3
表2： 生产能 力分组 人数 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
6
y
36
18
①先确定x、y，再完成下列频率分布直方图，就生产能 力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体 间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图 直接回答结论)
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估 计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该 组区间的中点值作代表)．
[思路点拨]
[课堂笔记] (1)甲、乙被抽到的概率均为
，且事件“甲
工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙 两工人都被抽到的概率为P＝ .
(2)①由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查 75名．故4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5， 6＋y＋36＋18＝75，得y＝15. 频率分布直方图如下：