高一数学基本不等式+函数零点

基本(均值)不等式
1．了解基本(均值)不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 【基础检测】
1．函数y ＝x
1＋2x 2(x>0)取最大值时x 的值为( )
A .
22B .2
4
C .2
D ．2 2 2．已知a>0，b>0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2
b
的最小值为( )
A ．4
B ．22
C ．8
D ．16
3．设0＜x ＜1，a ＞0，b ＞0，a ，b 为常数，则a 2
x ＋b
2
1－x
的最小值是( )
A ．4ab
B ．2(a 2＋b 2)
C ．(a ＋b)2
D ．(a －b)2
1．基本不等式ab ≤a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b ． 2．几个重要的不等式
(1)a 2
＋b 2
≥__2ab__(a ，b ∈R)； (2)b a ＋a b
≥__2__(a ，b 同号)；
(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪
⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R)；
(4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
≤a 2
＋b 2
2(a ，b ∈R)． 3．算术平均数与几何平均数
设a ＞0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，
(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p(简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2
4
(简记：和定积最大)．
考点1 利用基本(均值)不等式求最值
例1(1)已知xy ＝1，且0<y<22，则x 2
＋4y
2
x －2y 的最小值为( )
A ．4 B.9
2 C ．2 2 D ．4 2
(2)已知a>0，b>0，且a 2
＋b 2
2
＝1，则a 1＋b 2
的最大值为________．
1．a 2
＋b 2
≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，而
a ＋b
2
≥ab 成立，则要求a >0，b >0.
2．利用基本不等式求最值，要注意使用条件：一正(各数为正)，二定(和或积为定值)，三相等(等号在允许取值范围内能取到)，要熟悉均值不等式的各种变形
⎝ ⎛⎭
⎪⎫如y ＝ax 2
＋bx ＋c x ＝ax ＋c x ＋b . 3．连续使用以上公式中的任一个或两个，取等号的条件要在同一条件下取得，方可取到最值．
1．(2018·天津)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a
＋18b 的最小值为________．
考点集训
A 组题
1．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝2xy ，则x ＋4y 的最小值为( )
2．设x ＋y ＝1，x ，y ∈(0，＋∞)，则x 2
＋y 2
＋xy 的最小值为( ) A.14B.34C ．－14D ．－34
3．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是( ) A ．(－∞，－1] B ．[3，＋∞) C ．[－1，3]
D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
4．已知a 2＋2a ＋2x ≤4
x 2－x
＋1对于任意的x ∈()1，＋∞恒成立，则( )
A ．a 的最小值为－3
B ．a 的最小值为－4
C ．a 的最大值为2
D ．a 的最大值为4
6．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则
k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x
x
的最小值为________．
7．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3
的最小值为________．
8．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1
y
的最小值．
函数图像及函数零点
1.函数()2log 3-=x x f 的大致图象是( )
2.已知函数1
3
3,
1,()log ,1,x x f x x x ⎧⎪
=⎨⎪⎩≤＞则y ＝f (2－x )的大致图象是( )
函数的图象可能为（ ）
1()cos (0)f x x x x x x ⎛
⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝
⎭且
1.已知函数()f x 满足2
(1)41f x x x +=--+，函数()()4,4,f x x m g x x x m -≤⎧=⎨->⎩
有两个零点，
则m 的取值范围为 ． 2. 函数2
||
1
()()2
x f x x =-的零点个数为 A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3.函数()()23
1
ln --
-=x x x f 的零点所在区间为( ) A ．()3,4-- B ．()e --,3 C.()2,--e D ．()1,2--
4.定义在R 上的函数()x f 满足()()22-=x f x f ，且当(]1,1-∈x 时，()x
x f ⎪⎭
⎫
⎝⎛=21.若关
于x 的方程()()23+-=x a x f 在()50，上至少有两个实数解，则实数a 的取值范围为( ) A ．[]20，
B ．[)∞+，0 C.(]20， D ．[)∞+，2 5. 函数1
,04
()2sin(2),06x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨
⎪+<<⎪⎩
，若123,,x x x 是函数()y f x a =+三个不同的零点，则123x x x ++的范围是
A. 1(,)22π
- B. 1(,)323ππ
-
C. 11(,)3232ππ-+
D. 1(,)662ππ+
6.若函数()3
2231-+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=mx x x f 在区间()1,1-上单调递减，则实数m 的取值范围是
7.. 已知函数(26)1,1
()log ,1a
a x x f x x x -+≤⎧=⎨
>⎩，对12,(,)x x ∀∈-∞+∞，总有
1212()()0f x f x x x -<-12()x x ≠成立，则实数a 的取值范围是
A. 1
(,1)3
B. 1(0,)3
C. 11(,]32
D. 1[,1)2
8.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2
()121,(,)
2x x f x x x π⎧
∈⎪⎪=⎨
⎪-∈+∞⎪⎩
，则不等式1(1)2f x -≤的解集为__________，
函数()11-++=x x x f ，若对于任意R x ∈且0>a 有()a x f 2>恒成立，则函数
3
22log --=x x a
y 的单调减区间为（ ）
A.()1,-∞-
B.()+∞,3
C.()3,1-
D.()∞+，
1 4.已知幂函数()a x x f =的图像经过点
(
)
2,2，函数()()
k x a
x g +=log ，若0<x 时
()0≥x g 无解，则k 的范围是（ ）
A.2≥k
B.1-≤k
C.11≤≤-k
D.1≤k
5.设函数()()a
x a x a x f ++-=12log ，若2
1<x 时()x f 恒为单调递增函数，则a 的取值范
围是（ ）
A.21≤a
B.121<≤a
C.1>a
D.210<<a
6.方程()
222
log x x =+的实数解有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
7.当()2,1∈x 时，不等式()x
a x log 12
<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A.()1,0
B.()2,1
C.(]2,1
D.⎪⎭
⎫ ⎝⎛210，
8.若不等式0log 2<-x
m x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，内恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,161
B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21
C.⎪⎭
⎫
⎝⎛1,41 D.()∞+，
1 9.设βα,分别是方程03log 3=-+x x
和033=-+x x 的根，则βα+的值为（ ） A.3 B.
2
3
C.4
D.6 10.函数()()()
()⎪⎩⎪
⎨⎧<>=-0log 0log 212x x x f x x ，若()()a f a f ->，则实数a 的取值范围是（ ） A.（0,1） B.（-1,0） （1，+∞） C.（1，+∞） D.（-1,1） 11.已知函数()
ax a
y -=2log 在[]1,0上是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A.（0,1）
B.（1，+∞）
C.（2，+∞）
D.（1,2）
12.对任意两实数b a ,定义运算“＊”如下：a ＊b =⎩⎨
⎧>≤b a b b a a ,,，则函数()()
2321log -=x x f ＊x
2log 的值域为（ ）
A.(]0,∞-
B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,log 322
C.⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+∞,log 32
2 D.R
15.已知函数()()
()⎩⎨⎧<≥+=01012x x x x f ，则满足不等式()()x f x f 212>-的x 的范围是
__________
16.函数()2
122log +
-=x ax a
x f ，当x 在其定义域内时()x f 能取尽所有的正数，则a 的
取值范围是_________
9设函数()R a ax x x f ∈++=,122
.
(Ⅰ)当[]1,1-∈x 时，求函数()x f 的最小值()a g ；
(Ⅱ)若函数()x f 的零点都在区间[]0,2-内，求a 的取值范围.
10.已知函数()()
R m mx mx x f ∈+-=,12log 2
2.
(Ⅰ)若函数()x f 的定义域为R ，求m 的取值范围；
(Ⅱ)设函数()()x x f x g 4log 2-=.若对任意[]1,0∈x ，总有()
02≤-x g x
，求m 的取值范
围.
已知函数，则__________
2. 390cos ︒的值为
A.
2
B.
12
C. D. 12
-
已知
π
,π
2
α⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，且
4
sin
5
α.
（1）求
π
tan
4
α⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
的值，
（2）求
2
sin2cos
1cos2
αα
α
-
+
的值.。