最新特征方程求解递归方程讲课讲稿

前面2种情况下的c1,c2,…,ck均为待定系数； 将初始条件代入，建立联立方程，确定各个系数具体值，得到
通解f(n)
例1. 3阶常系数线性齐次递归方程如下
f(n)6f(n1)11f(n2)6f(n3)
f(0)0
f(1)2
f(2)10
解： 特征方程为 x3 － 6x2 + 11x － 6 = 0
特征方程求解递归方程
算法复杂性经常描述为递归方程，解递归方程得到算法复 杂性的具体表示
• 用特征方程解递归方程 • 用生成函数解递归方程 • 用递推方法解递归方程
用特征方程解递归方程
K阶常系数线性齐次递归方程 K阶常系数线性非齐次递归方程
K阶常系数线性齐次递归方程
K阶常系数线性齐次递归方程形如：
特征方程的k个根不相同：
假设：q1, q2, …, qk是k个不同的根，则递归方程的 通解为
f(n ) c 1 q 1 n c 2 q 2 n ... c kq kn
特征方程的k个根有重根：
假设：r个重根qi, qi+1, …, qi+r-1，则递归方程的通解 为
f(n ) c 1 q 1 n ... c i 1 q in 1 (c i c i 1 n ... c i r 1 n r 1 )q in ... c kq k
得到： c1=0, c2=-1, c3=1
因此，递归方程的解为：
f(n)(c1c2n)q1n c3q3n 3n n
作业1
解下列递归方程： 1. f(n)=3f(n-1), f(0)=5 2. f(n)=2f(n-1) f(0)=2 3. f(n)=5f(n-1) – 6f(n-2), f(0)=1, f(1)=1 4. f(n)= -6f(n-1) – 9f(n-2), f(0)=3, f(1)=-3
f(1)2
解： 对应的齐次方程的特征方程为 x2 － 7x +12= 0
因式分解： (x － 3)(x － 4)=0
特征根：q1=3，q2=4
对应齐次方程通解： f(n)c13nc24n
a=2不是特征方程的重根，故令非齐次递归方程的特解为：
f*(n)(A1nA2)2n
代入原递归方程得：
(A1n2 A2)2n 7{A1(n1)A2}2n1 12{A1(n2)A2}2n2 n2n
其中，
1） f ( n ) 为对应齐次递归方程的通解
2） f*(n) 为原非齐次递归方程的特解
解题原理： 1. 一般没有寻找特解的有效方法 2. 先根据g(n)具体形式，确定特解；再将特解代入递归方程，用
待定系数法，求解特解的系数
3. g(n)分为以下几种情况: g(n)是n的m次的多项式 g(n)是n的指数函数
f(n)143n54n(2n10)2n 143n54n(n5)2n1
作业2
解下列递归方程： 1. f(n)=f(n-1) + n2, f(0)=0 2. f(n)=2f(n-1) +n, f(0)=1 3. f(n)=3f(n-1) + 2n, f(0)=3 4. f(n)= — 2f(n-1) + 2n —n2, f(0)=1
化简后得到： 2A 1n2A 210A 14n
由此得到联立方程：
2A22A110A41 0
解得：A1=2, A2=10 非齐次递归方程的通解为：
f(n ) c 1 3 n c 2 4 n (2 n 1 0 )2 n
初始条件代入有： f(f1()0) 3cc114cc22120412
得到： c1= -14, c2=5 最后，非齐次递归方程通解为：
二、K阶常系数线性非齐次递归方程
K阶常系数线性非齐次递归方程形如： f(n ) a 1 f(f n ( i) 1 ) b i a 2 f(n 0 2 ) i. .. k a k 1 f(n k ) g (n ) 其中，bi为常数，第2项为方程初始条件。
它的通解形式为： f(n)f(n)f*(n)
g(n)是n的m次的多项式
g(n)形如：
g ( n ) b 1 n m b 2 n m 1 ... b m n b m 1
其中，bi为常数。 此时，特解f*(n)也是n的m次多项式，形如：
f* ( n ) A 1 n m A 2 n m 1 ... A m n A m 1
各个系数Ai待定
例3 。 2阶常系数线性非齐次递归方程如下
f(n)7f(n1)10f(n2)4n2
f(0)1
f(1)2
解： 对应的齐次方程的特征方程为 x2 － 7x +10= 0
因式分解： (x － 2)(x － 5)=0
特征根：q1=2，q2=5
对应齐次方程通解： f(n)c12nc25n
令非齐次递归方程的特解为：
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f*(n)A 1n2A 2nA 3
代入原递归方程得：
{A1n2A2nA3}7{A1(n1)2A2(n1)A3} 10{A1(n2)2A2(n2)A3} 4n2
化简后得到：
4A 1 n2( 2 6A 14A 2)n(3 3A 1 1 3A 24A 3) 4 n24 n20*n0 !!!!!!由此得到联立方程：
xk a 1 xk 1 a 2xk 2 ... 2 x k 2 ... a k 0
解题原理：
1） 求解上述特征方程的根，得到递归方程的通解 2）利用递归方程初始条件，确定通解中待定系数，得到递归方
程的解
考虑2种情况： 1）特征方程的k个根不相同 2）特征方程有相重的根
因式分解： (x-3)(x2 － 2x+1)=0
(x-3)(x-1)(x-1)=0
得到特征根： q1=1, q2=1, q3=3
递归方程的通解为：
f(n)(c1c2n)q1nc3q3n c1 c2n c33n
代入初始条件：
f (0)c1 c3 1 f (1)c1 c2 3c3 2 f (2)c1 2c2 9c3 7
f(n )4 12 n4 35 nn 2 1 3n 1 0 3
3 2 4
28
g(n)是n的指数函数
g(n)形如：
g ( n ) ( b 1 n m b 2 n m 1 ... b m n b m 1 ) a n
其中，a和bi为常数。 1）如果a不是特征方程的重根，特解f*(n) 形如：
f* ( n ) ( A 1 n m A 2 n m 1 ... A m n A m 1 ) a n
f(n f)(i )a 1 b fi(n 1 ) a 2f(n 2 ) 0 ..i. a k k f1 (n k )
其中，bi为常数，第2项为方程初始条件。 在上式中，用xn取代f(n), 有：
x n a 1 x n 1 a 2 x n 2 ... a k x n k
两边分别除以xn-k，得：
4A1 4
26A1 4A2 0
33A1 13A2 4A3 0
解得：A1=1, A2=13/2, A3=103/8
非齐次递归方程的通解为：
f(n)c12nc25nn21 2 3n10 83
初始条件代入有：
f
(0)
c1
c2
8 103
1
f
(1)
2c1
5c2
163 8
2
得到： c1=-41/3, c2=43/24 最后，非齐次递归方程通解为：
各个系数Ai待定
2）如果a是特征方程的r重特征根，特解f*(n) 形如：
f* ( n ) ( A 1 n m A 2 n m 1 ... A m n A m 1 ) n r a n
各个系数Ai待定
例4 。 2阶常系数线性非齐次递归方程如下
f(n)7f(n1)12f(n2)n2n
f(0)1
得到： c1=0, c2=-2, c3=2 因此，递归方程的解为：
f(n)2(3n2n)
例2 。 3阶常系数线性齐次递归方程如下
f(n)5f(n1)7f(n2)3f(n3)
f(0)0
f(1)2
f(2)7
解： 特征方程为 x3 － 5x2 + 7x － 3= 0
改写为： x3 － 5x2 + 6x + x－ 3 = 0
改写方程为：
x 3 3 x 2 3 x 2 9 x 2 x 6 0
因式分解： (x-1)(x-2)(x-3)=0
得到特征根： q1=1, q2=2, q3=3
递归方程的通解为： f(n)c1q1nc2q2nc3q3n
c1 c22n
c33n
由初始条件得：
f (0)c1 c2 c3 0 f (1)c1 2c2 3c3 2 f (2)c14c2 9c3 10