新人教版九年级数学上册同步提升训练：抛物线与几何图形

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新人教版九年级数学上册同步提升训练：抛物线与几何图形
———专题讲解———
专题总体特征：试题的背景往往是把三角形、四边形或者学生熟悉的图形放在坐标系中，结合有关性质以及图形之间的相互关系构建抛物线，结合二次函数的性质解决点的存在性问题等能力．
本专题主要研究抛物线与等腰三角形、直角三角形、平行四边形的综合问题，解决这类试题常常需要用到数形结合思想，转化思想，分类讨论思想等，解题的关键是弄清函数与几何图形之间的联系，在解题的过程中，将函数问题几何化．同时能够学会将大题分解为小题，逐个击破．
———典型例题———
【例1】（2014•山东德州）如图，在平面直角坐标系中，
已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P 在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐
标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，
当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
【提示】（1）求得B、C的坐标，利用待定系数法求解；
（2）分点A为直角顶点时和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC列方程求解；（3）垂线段最短．
【感悟】（1）利用抛物线探求等腰三角形分三步：先分类，
按腰相等分为三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．
（2）利用抛物线探求直角三角形，逐次选择顶角进行讨论，一般运用勾股定理建立方程，然后解方程并检验．
【例2】（2014•四川眉山）如图，已知直线y=－3x＋3与x
轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=－1，该抛物线与x 轴的另一个交点为B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P 的坐标；
（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写
出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理
由．
【提示】（1）利用抛物线的交点式求解；（2）直线BC与
对称轴直线l：x=-1的交点即为所求；（3）按照以AB为对角线、以AB为边讨论．
【感悟】在抛物线上构造平行四边形的有关问题，需根据
平行四边形的特征与判定．充分利用抛物线的顶点、对称轴及对称性质，对交点的不同的情况、不同的位置与特征进行探索.从简单情形入手，从特殊情况转化，从归纳中探求结论，发现规律．用动态思想，发挥想象能力和猜想能力，先猜想出结论，再加以解题证明．
【例3】（2014•四川遂宁）已知：直线l：y=－2，抛物线
y=ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，且经过点（0，－1），（2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．
（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：
（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2＋bx＋c于点A、B，分别过A、B两点作直线l
的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，
求证：ON⊥OM．
（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD＋FO取得最小值？若
存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【提示】（1）待定系数法求解；（2）用勾股定理求出PO
的值，与PQ=PE＋EQ的值进行比较得出结论；（3）由三角形的内角和定理及平行线的性质、矩形的性质可以得出结论．
【感悟】本题考查运用待定系数法求一次函数的解析式的
运用，勾股定理的运用，平行线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
———小试身手———
1．（☆☆）如果一条抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为[－1，b，0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（）A．±2 B．±3 C．2 D．3
2．（☆☆2013•浙江湖州）如图，在10×10的网格中，每个
小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与
网格对角线OB的两个交点之间的距离为2
3，且这两
个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形
．．．．．．．的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）
A．16 B．15 C．14 D．13
（第2题图）（第4题图）3．（☆☆☆2014•江阴市二模）点A，B的坐标分别为（－
2，3）和（1，3），抛物线y=ax2＋bx＋c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜－3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为－5；④当四边形
ACDB为平行四边形时，a=−
3
4
．其中正确的是（）A．②④B．②③C．①③④D．①②④
4．（☆☆☆2013•辽宁锦州）二次函数y=
3
2
x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…C n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠A n－1B n A n=60°，菱形A n－1B n A n C n的周长为．
5．（☆☆☆）如图，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的一个交点A在点（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：
（1）abc0（填“＞”或“＜”）；
（2）a的取值范围是．
（第5题图）（第6题图）
6．（☆☆☆☆☆2014•浙江丽水模拟）如图，抛物线y=−
3
1
x2＋2x与x 轴相交于点B、O，点A是抛物线的顶点，连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上的一点，点Q抛物线是上的一点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t．
①当0＜S≤18时，t的取值范围是；
②在①的条件下，当t取得最大值时，请你写出使△OPQ
为直角三角形且OP为直角边的Q点的坐标：．7．（☆☆☆2014•四川乐山）如图，抛物线y=x2－2mx（m ＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，－m）作PM⊥x 轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
（1）若m=2，求点A和点C的坐标；
（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m 的值；
（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（☆☆☆2014•广西桂林）如图，已知抛物线y=ax2＋bx
＋4与x轴交于A（－2，0）、B两点，与y轴交于C点，
其对称轴为直线x=1．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对
应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、
C′的坐标；
（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否
还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的
四边形为平行四边形，若存在，求出E、F的坐标；
若不存在，请说明理由．
9．（☆☆☆☆2014•湖南益阳）如图，直线y=－3x＋3与x
轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x－2）2＋k经
过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为
底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，
M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．
10．（☆☆☆☆2014•浙江金华）如图，直角梯形ABCO的两
边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，
以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l的解析式为y=x＋m，它与x轴交于点G，
在梯形ABCD的一边上取点P．
①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC
的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，
试求△OPH的面积；
②当m=－3时，过点P分别作x轴，直线l的垂线，
垂足为E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，
F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（☆☆☆☆2013•湖北黄冈）如图，在平面直角坐标系中，
四边形ABCD是梯形，其中A（6，0），B（3，3），C
（1
，
3），动点P 从点O 以每秒2个单位的速度向点
A 运动，动点Q 也同时从点
B 沿B →
C →O 的线路以每秒1个单位的速度向点O 运动，当点P 到达A 点时，点Q 也随之停止，设点P ，Q 运动的时间为t （秒）． （1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）当点Q 在CO 边上运动时，求△OPQ 的面积S 与时
间t 的函数关系式；
（3）以O ，P ，Q 顶点的三角形能构成直角三角形吗？若
能，请求出t 的值；若不能，请说明理由； （4）经过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴、直线OB 和
PQ 能够交于一点吗？若能，请求出此时t 的值（或范围），若不能，请说明理由）．
———参考答案———
例1．【解析】（1）由A （4，0），可知OA =4，∵OA =OC =4OB ，∴OA =OC =4，OB =1， ∴C （0，4），B （－1，0）．
设抛物线的解析式是y =ax 2＋bx ＋x ，则
0,1640,4,a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得1,3,4,a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
则抛物线的解析式是y =－x 2＋3x ＋4； （2）存在．
第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作CP 1⊥AC ，交抛物线于点P 1．过点P 1作y 轴的垂线，垂足是M ． ∵∠ACP 1=90°，∴∠MCP 1＋∠ACO =90°． ∵∠ACO ＋∠OAC =90°，∴∠MCP 1=∠OAC ．
∵OA =OC ，∴∠MCP 1=∠OAC =45°，∴∠MCP 1=∠MP 1C ，∴MC =MP 1． 设P （m ，－m 2＋3m ＋4），则m =－m 2＋3m ＋4－4，解得m 1=0（舍去），m 2=2． ∴－m 2＋3m ＋4=6，即P （2，6）．
第二种情况，当点A 为直角顶点时，过A 作AP 2，AC 交抛物线于点P 2，过点P 2作y 轴的垂线，垂足是N ，AP 交y 轴于点F ．
∴P 2N ∥x 轴，由∠CAO =45°，∴∠OAP =45°，∴∠FP 2N =45°，AO =OF ．∴P 2N =NF ． 设P 2（n ，－n 2＋3n ＋4），则n =（－n 2＋3n ＋4）－1，解得n 1=－2，n 2=4（舍去）， ∴－n 2＋3n ＋4=－6，则P 2的坐标是（－2，－6）． 综上所述，P 的坐标是（2，6）或（－2，－6）；
（3）连接OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD =EF ． 根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．
由（1）可知，在直角△AOC 中，OC =OA =4，则AC =22
OC OA +=4
2，
根据等腰三角形的性质，D 是AC 的中点． 又∵DF ∥OC ，∴DF =
1
2OC =2，∴点P 的纵坐标是2． 则－x 2＋3x ＋1=2，解得x =
317±，
∴当EF 最短时，点P 的坐标是（
3172
+，0）或（
3172
-，0）．
例2．【解析】（1）直线y =－3x ＋3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ， 当y =0时，－3x ＋3=0，解得x =1，则A 点坐标为（1，0）． 当x =0时，y =3，则C 点坐标为（0，3）．
抛物线的对称轴为直线x =－1，则B 点坐标为（－3，0）． 把C （0，3）代入y =a （x －1）（x ＋3）得3=－3a ，解得a =－1， 则此抛物线的解析式为y =－（x －1）（x ＋3）=－x 2－2x ＋3； （2）连接BC ，交对称轴于点P ，如图1，
设直线BC 的关系式为y =mx ＋n ，把B （－3，0），C （0，3）代入y =mx ＋n 得
30,3,m n n -+=⎧⎨=⎩解得1,
3.
m n =⎧⎨
=⎩ ∴直线BC 的关系式为y =x ＋3．
当x =－1时，y =－1＋3=2，∴P 点坐标为（－1，2）； （3）当以AB 为对角线，如图2，
∵四边形AMBN 为平行四边形，A 点横坐标为1，N 点横坐标为0，B 点横坐标为－3， ∴M 点横坐标为－2，M 点纵坐标为y =－4＋4＋3=3， ∴M 点坐标为（－2，3）； 当以AB 为边时，如图3，
∵四边形ABMN 为平行四边形，∴MN =AB =4，即M 1N =4，M 2N =4， ∴F 1的横坐标为－4，F 2的横坐标为4，
对于y =－x 2－2x ＋3，当x =－4时，y =－16＋8＋3=－5； 当x =4时，y=－16－8＋3=－21，
∴M 点坐标为（－4，－5）或（4，－21）．
综上所述，M 点坐标为（－2，3）或（－4，－5）或（4，－21）．
例3．【解析】（1）由题意，得0,21,042,
b a
c a b c ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪=++⎪
⎩
解得1,40,1.a b c ⎧
=⎪⎪
=⎨⎪=-⎪⎩
∴抛物线的解析式为y =
14
x 2
−1． （2）如图①，设P （a ，
14a 2－1），则OE =a ，PE =14a 2－1， ∵PQ ⊥l ，∴EQ =2，∴QP =
14
a 2
＋1． 在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO 2221(1)4a a +-14
a 2＋1，
∴PO =PQ ；
（3）①如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ， ∴BN =BO ，AM =AO ，BN ∥AM ，
∴∠BNO =∠BON ，∠AOM =∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM =180°． ∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO =180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM =180°， ∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM =360°， ∴2∠BON ＋2∠AOM =180°，
∴∠BON ＋∠AOM =90°，∴∠MON =90°， ∴ON ⊥OM ；
②如图③，作F′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F′E ⊥DG 于E ，
∴∠EGH =∠GHF′=∠F′EG =90°，FO =FG ，F′H =F′O ，
∴四边形GHF′E 是矩形，FO ＋FD =FG ＋FD =DG ，F′O ＋F′D =F′H ＋F′D ， ∴EG =F′H ，∴DE ＜DF′，
∴DE ＋GE ＜HF′＋DF′，∴DG ＜F′O ＋DF′， ∴FO ＋FD ＜F′O ＋DF′，∴F 是所求作的点． ∵D （1，1），∴F 的横坐标为1， ∴F （1，－
3
4
）． 1．【答案】A
【解析】∵抛物线三角形系数为[－1，b ，0]，∴抛物线解析式为y =－x 2＋bx =－（x －2
b
）2＋
42
b ，∴顶点坐标为（
2
b
，4
2b ）．令y =0，则－x 2＋bx =0，解得x 1=0，x 2=b ，∴与x 轴的交点为（0，0），（b ，0）．∵“抛物线三角形”是等腰直
角三角形，∴42b =2
|
|b ，∴b 2=2b 或b 2=－2b ，∵b =0时，抛物线与x 轴只有一个交点（0，0），∴b =0不符合题意，∴b =2
或b =－2． 2．【答案】C
【解析】如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y =－x 2＋4x ，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，所以，一共有7条抛物线，同理可得开口向上的抛物线也有7条，所以，满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是7＋7=14．
3．【答案】A
【解析】∵点A ，B 的坐标分别为（－2，3）和（1，3），∴线段AB 与y 轴的交点坐标为（0，3），又∵抛物线的顶点在线段AB 上运动，抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ），∴c ≤3，（顶点在y 轴上时取“=”），故①错误；
∵抛物线的顶点在线段AB 上运动，∴当x ＜－2时，y 随x 的增大而增大，因此，当x ＜－3时，y 随x 的增大而增大，故②正确；
若点D 的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x =1，根据二次函数的对称性，点C 的横坐标最小值为－2－4=－6，故③错误；
令y =0，则ax 2＋bx ＋c =0，CD 2=（－a b ）2－4×a
c
=2
24a ac b -，根据顶点坐标公式，a b ac 442-=3，∴a
ac
b 42-=
－12，∴CD 2=
a 1×（－12）=a -12，∵四边形ACDB 为平行四边形，∴CD =AB =1－（－2）=3，∴a
-12=32
=9，解得a =－
3
4
，故④正确； 综上所述，正确的结论有②④． 4．【答案】4n
【解析】∵四边形A 0B 1A 1C 1是菱形，∠A 0B 1A 1=60°，∴△A 0B 1A 1是等边三角形．
设△A 0B 1A 1的边长为m 1，则B 1（
2
31
m ，
2
1m ），代入抛物线的解析式中得
3
2（
231m ）2=
2
1
m ，解得m 1=0（舍去），
m 1=1，故△A 0B 1A 1的边长为1，同理可求得△A 1B 2A 2的边长为2，…依此类推，等边△A n －1B n A n 的边长为n ，故菱形A n －
1B n A n C n 的周长为
4n ．
5．【答案】（1）＜；（2）－
43
≤a ≤－25
2 【解析】（1）观察图形发现，抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标在第一象限，∴－a
b
2＞0，∴b ＞0，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的上方，∴c ＞0，∴abc ＜0；
（2）顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C 与D 点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线
解析式y =a （x －1）2＋3，由⎪⎩⎪
⎨⎧≥+--≤+--,
03)11(,03)12(2
2
a a 解得－43≤a ≤－31；当顶点C 与F 点重合，顶点坐标为（3，2），
则抛物线解析式y =a （x －3）2＋2，由⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≤+--,
02)31(,02)32(2
2
a a 解得－81≤a ≤－252；∵顶点可以在矩形内部，∴－43≤a ≤
－
25
2
． 6．【答案】①－3≤t ＜0或0＜t ≤3（－3≤t ≤3）；②（3，3）或（6，0）或（－3，－9）
【
解析】①∵抛物线y =−
3
1x 2
＋2x 与x 轴相交于点B 、O ，点A 是抛物线的顶点，∴点B 坐标为（6，0）． ∴顶点A 坐标为（3，3）．
设直线AB 解析式为y =kx ＋b ．∵A （3，3），B （6，0），∴y =－x ＋6． ∵直线l ∥AB 且过点O ，∴直线l 解析式为y =－x ．
∵点P 是l 上一动点且横坐标为t ，∴点P 坐标为（t ，－t ）． 当P 在第四象限时（t ＞0），S =S △AOB ＋S △OBP =
21×6×3＋2
1×6×|－t |=9＋3t ． ∵0＜S ≤18， ∴0＜9＋3t ≤18，∴－3＜t ≤3．又∵t ＞0，∴0＜t ≤3． 当P 在第二象限时（t ＜0），作PM ⊥x 轴于M ，设对称轴与x 轴交点为N ，
S =S 梯形ANMP ＋S △ANB －S △PMO =
21
（t －3）2＋29－2
1t 2=－3t ＋9； ∵0＜S ≤18，∴0＜－3t ＋9≤18，∴－3≤t ＜3；
又∵t ＜0，∴－3≤t ＜0，∴t 的取值范围是－3≤t ＜0或0＜t ≤3． ②存在，点Q 坐标为（3，3）或（6，0）或（－3，－9）． 由（2）知t 的最大值为3，则P （3，－3）； 过O 、P 作直线m 、n 垂直于直线l ，
∵直线l 的解析式为y =－x ，∴直线m 的解析式为y =x ． 可设直线n 的解析式为y =x ＋h ，则有3＋h =－3，h =－6． ∴直线n ：y =x －6．
联立直线m 与抛物线的解析式有⎪⎩
⎪
⎨⎧+==,231,
2
x x y x y 解得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎩⎨⎧==.3,3y x ∴Q 1（3，3）；同理可联立直线n 与抛物线的解析式，求得Q 2（6，0），Q 3（－3，－9）．
7．【解析】（1）若m =2，抛物线y =x 2－2mx =x 2－4x ，∴对称轴x =2． 令y =0，则x 2－4x =0，解得x =0或x =4，∴A （4，0）． ∵P （1，－2），令x =1，则y =－3， ∴B （1，－3），∴C （3，－3）．
（2）∵抛物线y =x 2－2mx （m ＞0），∴A （2m ，0）对称轴x =m ．
∵P（1，－m），令x=1，则y=1－2m，
∴B（1，1－2m），∴C（2m－1，1－2m）．
∵PA2=（－m）2＋（2m－1）2=5m2－4m＋1，PC2=（2m－2）2＋（1－m）2=5m2－10m＋5，AC2=1＋（1－2m）2=2－4m ＋4m2，
∵△ACP为直角三角形，∴PA2=PC2＋AC2，
即5m2－4m＋1=5m2－10m＋5＋2－4m＋4m2，
整理得2m2－5m＋6=0，解得m=3
2
，m=1（舍去），故m=
3
2
．
（3）∵P（1，－m），C（2m－1，1－2m），设直线PC的解析式为y=kx＋b，
∴
,
12(21),
m k b
m m k b
-=+
⎧
⎨
-=-+
⎩
解得k=－
1
2
．
∵PE⊥PC，∴设直线PE为y=2x＋b′，
∴－m=2＋b′，解得b′=－2－m，∴直线PE：y=2x－2－m，
令y=0，则x=1＋1
2
m，∴E（1＋
1
2
m，0），
∴PE2=（－m）2＋（1
2
m）2=
2
5
4
m
，
∴
2
5
4
m
=5m2－10m＋5，解得m=2或m=
2
3
，∴E（2，0）或E（
4
3
，0），
∴在x轴上存在E点，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（2，0）或E（4
3
，0）；
令x=0，则y=－2－m，∴E（0，－2－m），
∴PE2=（－2）2＋12=5，∴5m2－10m＋5=5，解得m=2，m=0（舍去），∴E（0，－4），∴y轴上存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（0，－4）．
∴在坐标轴上是存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，E点的坐标为（2，0）或（4
3
，0）或（0，
－4）．
8．【解析】（1）y =－1
2
x2＋x＋4；
（2）抛物线的解析式y =－1
2
x2＋x＋4，当x=0时，y=4，可得点C（0，4）．
∵抛物线的对称轴为x=1，∴点C关于x=1的对称点C`的坐标为（2，4），
∴点C向右平移了2个单位长度，则点A向右平移后的点A`的坐标为（0，0），
所以点A`，C`的坐标分别分（0，0），（2，4）．
（3）存在，共有两种情况：
（一）如图，四边形ACEF是平行四边形，过点F作FD⊥x轴，
∴AF=CE，∠AEC=∠EAF，∠ADF=∠AOC=90°，∴∠DAF=∠CEO，∴△ADF≌△EOC，∴DF=CO=4，AD=EO，∴点F的纵坐标为－4．
∵点F在抛物线y =－1
2
x2＋x＋4的图象上，即－
1
2
x2＋x＋4=－4，解得x=1±17F(171，－4)，
∴DO 17－1．
∵AO =2，∴AD =EO =DO －AO 17－3，∴点E 17＋3，0），
所以点E 173，0），点F 的坐标为(171，－4) ．
x
y
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
–2
–3
–4
–1–2–3
–4
1
2
345B E`E
A
O
C
F`
H
F
D
（二）如图，四边形ACE`F`∴AC =E`F`，∠CAO =∠F`E`H ，∠∴HF`=CO =4，AO =E`H ，得点F`∵点F`在抛物线y =－
12x 2＋x ＋4的图象上，即－1
2a 2＋a ＋4=－4，解得x =1±17， 则点F`的坐标为（117，－4），∴EH =117E`H =AO =2，∴OE `=317， ∴点E 的坐标为（3170）．
所以点E 的坐标为（317，0），点F 的坐标为（117，－4）．
9．【解析】（1）∵直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， ∴(1,0)A ，(0,3)B ．
又抛物线2
(2)y a x k =-+经过点(1,0)A ，(0,3)B ，∴0,43;a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,
1.a k =⎧⎨=-⎩
即a ，k 的值分别为1，1-．
（2）设Q 点的坐标为(2,)m ，对称轴2x =交x 轴于点F ，过点B 作BE 垂直于直线2x = 于点E ． 在Rt AQF ∆中，2
2
2
2
1AQ AF QF m =+=+，在Rt BQE ∆中，2
2
2
2
4(3)BQ BE EQ m =+=+-． ∵AQ BQ =，∴2
2
14(3)m m +=+-，∴2m =． ∴Q 点的坐标为(2,2)．
（3）当点N 在对称轴上时，NC 与AC 不垂直．所以AC 应为正方形的对角线．
又对称轴2x =是AC 的中垂线，所以，M 点与顶点(2,1)P -重合，N 点为点P 关于x 轴的对称点，其坐标为(2,1)． 此时，1MF NF AF CF ====，且AC MN ⊥，∴ 四边形AMCN 为正方形．
在Rt AFN ∆中，22
2AN AF NF =
+=，即正方形的边长为2．10．【答案】
【解析】（1）由题意得：A （4，0），C （0，4），对称轴为x =1．
设抛物线的解析式为y =ax 2＋bx ＋c ，则有⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=-==++,12,4,0416a b c c b a 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-=.4,1,21c b a
∴抛物线的函数解析式为y =－
2
1x 2
＋x ＋4． （2）①当m =0时，直线l ：y =x ． ∵抛物线对称轴为x =1，∴CP =1．
如答图1，延长HP 交y 轴于点M ，则△OMH 、△CMP 均为等腰直角三角形．
∴CM =CP =1，∴OM =OC ＋CM =5． ∴S △OPH =S △OMH －S △OMP =
2
1（
22OM ）2－
21OM •CP =2
1
×（
22×5）2－
21×5×1=425－25=4
15
． ②当m =－3时，直线l ：y =x －3．
设直线l 与x 轴、y 轴交于点G 、点D ，则G （3，0），D （0，－3）．假设存在满足条件的点P ．
Q
E 第20题解图
N (M ） F x
B O
A
1 -1 y
C P
a ）当点P 在OC 边上时，如答图2－1所示，此时点E 与点O 重合． 设PE =a （0＜a ≤4），则PD =3＋a ，PF =
22PD =
2
2（3＋a ）．
过点F 作FN ⊥y 轴于点N ，则FN =PN =2
2PF ，∴EN =|PN －PE |=|
2
2PF －PE |．
在Rt △EFN 中，由勾股定理得：EF =
2
2FN EN +=
2
22PF PF PE PE +⋅-．
若PE =PF ，则a =
2
2（3＋a ），解得a =3（
2＋1）＞4，故此种情形不存在；
若PF =EF ，则PF =
222PF PF PE PE +⋅-，整理得PE =
2PF ，即a =3＋a ，不成立，故此种情形不存在； 若PE =EF ，则PE =2
22PF PF PE PE +⋅-，整理得PF=
2PE ，即
2
2（3＋a ）=
2a ，解得a =3．
∴P 1（0，3）．
b ）当点P 在BC 边上时，如答图2－2所示，此时PE =4．
若PE =PF ，则点P 为∠OGD 的角平分线与BC 的交点，有GE =GF ，过点F 分别作FH ⊥PE 于点H ，FK ⊥x 轴于点K ， ∵∠OGD =135°，∴∠EPF =45°，即△PHF 为等腰直角三角形． 设GE =GF =t ，则GK =FK =EH =
2
2
t ，∴PH =HF =EK =EG ＋GK =t ＋
2
2t ，
∴PE =PH ＋EH =t ＋
2
2t ＋
2
2t =4，解得t =4
2－4，
则OE =3－t =7－4
2，∴P 2（7－42，4）;
c ）∵A （4，0），B （2，4），∴可求得直线AB 解析式为y =－2x ＋8； 联立y=－2x ＋8与y =x －3，解得x =
311，y =32． 设直线BA 与直线l 交于点K ，则K （
311，3
2）． 当点P 在线段BK 上时，如答图2－3所示．
设P （a ，8－2a ）（2≤a ≤
3
11
），则Q （a ，a －3），∴PE =8－2a ，PQ =11－3a ，∴PF =
22（11－3a ）．
与a ）同理，可求得EF =
2
22PF PF PE PE +⋅-．
若PE =PF ，则8－2a =
2
2
（11－3a ），解得a =1－2
2＜0，故此种情形不存在；
若PF =EF ，则PF =
2
22PF PF PE PE +⋅-，整理得PE =
2PF ，即8－2a =2•
2
2
（11－3a ），解得a =3，符合条件，此时P 3（3，2）； 若PE =EF ，则PE =
2
22PF PF PE PE +⋅-，整理得PF =
2PE ，即
2
2（11－3a ）=
2（8－2a ），解得
a =5＞
3
11
，故此种情形不存在．
d ）当点P 在线段KA 上时，如答图2－4所示．
∵PE 、PF 夹角为135°，∴只可能是PE =PF 成立．∴点P 在∠KGA 的平分线上． 设此角平分线与y 轴交于点M ，过点M 作MN ⊥直线l 于点N ，则OM =MN ，MD =2MN ．
由OD =OM ＋MD =3，可求得M （0，3－3
2）．
又因为G （3，0），可求得直线MG 的解析式为y =（2－1）x ＋3－32．
联立直线MG ：y =（
2－1）x ＋3－32与直线AB ：y =－2x ＋8，可求得P 4（1＋22，6－42）．
e ）当点P 在OA 边上时，此时PE =0，等腰三角形不存在．
综上所述，存在满足条件的点P ，点P 坐标为（0，3）、（3，2）、（7－4
2，4）、（1＋22，6－42）． 11．【解析】（1）设所求抛物线的解析式为y =ax 2＋bx ＋c ，把A （6，0），B （3，
3），C （1，3）三点坐标代入得：
3660,
933,
3,
a
b c
a b c
a b c
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪
++=
⎩
解得
3
,
15
43
,
15
43
.
5
a
b
c
⎧
=-
⎪
⎪
⎪⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎪⎩
即所求抛物线解析式为y=－
3
15
x2＋
43
15
x＋
43
5
；
（2）如图1，依据题意得出：OC=CB=2，∠COA=60°，
∴当动点Q运动到OC边时，OQ=4－t，
∴△OPQ的边OP上的高为OQ×sin60°=（4－t）×
3
2
，
又∵OP=2t，∴S=
1
2
×2t×（4－t）×
3
2
=－
3
2
（t2－4t）（2≤t≤3）；
（3）根据题意得出0≤t≤3，
当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP=2t，OQ=2
3(3)t
+-，PQ=2
3[2(3)]
t t
+--=2
3(33)
t
+-，∵∠POQ＜∠POC=60°，∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如图2，则OP2＋PQ2=QO2，即4t2＋3＋（3t－3）2=3＋（3－t）2，解得t1=1，t2=0（舍去）；
若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OQP=90°，如图，3，则OQ2＋PQ2=PO2，即（3－t）2＋6＋（3t－3）2=4t2，解得t=2，
当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，此时QP=2t＞4，∠POQ=∠COP=60°，OQ＜OC=2，
故△OPQ不可能为直角三角形，
综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形；
（4）由（1）可知，抛物线y=－
3
15
x2＋
43
15
x＋
43
5
=－
3
15
（x－2）2＋
163
15
，其对称轴为x=2，
又∵OB的直线方程为y=
3
3
x，
∴抛物线对称轴与OB交点为M（2，23
3
），
又∵P（2t，0）设过P，M的直线解析式为y=kx＋b，
∴
23
2,
3
20,
k b
k t b
⎧
=+
⎪
⎨
⎪⨯+=
⎩
解得
3
,
3(1)
23
.
3(1)
k
t
t
b
t
⎧
=
⎪
-
⎪
⎨
-
⎪=
⎪-
⎩
即直线PM的解析式为y=
3
3(1)t-
x－
23
3(1)
t
t-
，即3（1－t）y=x－2t，
又0≤t≤2时，Q（3－t，3），代入上式，得3（1－t）×3=3－t－2t，恒成立，即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上，即M在直线PQ上；
当2＜t≤3时，OQ=4－t，∠QOP=60°，
∴Q（4
2
t-
，
3(4)
2
t-
），代入上式得
3(4)
2
t-
×3（1－t）=
4
2
t-
－2t，解得t=2或t=
4
3
（均不合题意，舍去）．
∴综上所述，可知过点A、B、C三点的抛物线的对称轴OB和PQ能够交于一点，此时0≤t≤2．。