MS06直接证明与间接证明

直接证明与间接证明
一、直接证明
内
容
综合法分析法
定义利用已知条件和某些数学定义、公理、
定理等，经过一系列的推理论证，最后
推导出所要证明的结论成立。

从要证明的结论出发，逐步寻求
使它成立的充分条件，直到最
后，把要证明的结论归结为判定
一个明显成立的条件(已知条件，
定理，定义，公理等)为止．
实
质
由因导果(顺推证法) 执果索因
框
图
表
示
文
字
语
言
因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…
二、间接证明
反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．
例1：用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )
A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°
解：假设为：“三个内角都大于60°”．选B。

例2：若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则( )
A．F(x)、G(x)均为偶函数B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数
C．F(x)与G(x)均为奇函数D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数
解：由F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)知F(x)＝F(－x)，G(－x)＋G(x)＝0.选D。

例3：命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：
“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了( )
A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法解：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．
例4：用反证法证明命题“如果a＞b，那么3
a＞
3
b”时，假设的内容是________．
例6：设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为( )
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b
b、c、d均为
正数)，则p、q的大小为( )
A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．不确定
例8：已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，证明：B为锐角．
例10：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数
解：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．答案：B
例11：设x、y、z>0，a＝x＋1
y
，b＝y＋
1
z
，c＝z＋
1
x
，则a、b、c三数
( )
A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2
∴a ，b ，c 中至少有一个不小于2.
例12：(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1
y
＋xy ；
(2)设1<a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c.
(1)要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1
y ＋xy 即证xy(x ＋y)＋1≤y ＋x ＋(xy)2 又[y ＋x ＋(xy)2]
－[xy(x ＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x ＋y)－(x ＋y)]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y)(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1) ∵x ≥1，y ≥1，∴(xy －1)(x －1)(y －1)≥0.从而所证不等式成立．
(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1
xy ，log b a ＝1
x ，log c b
＝1y ，log a c ＝xy. 于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1
y ＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立．
例13：分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b>0 B ．a －c>0
C ．(a －b)(a －c)>0
D ．(a －b)(a －c)<0
解：
b 2－ac<
3a ⇔b 2－ac<3a 2⇔(a ＋c)2－ac<3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －
3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0
⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c)(2a ＋c)>0⇔(a －c)(a －b)>0.答案：C 例14：要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )
A ．2ab －1－a 2b 2≤0
B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.
a ＋
b 2
2－1－a 2b 2≤0
D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0
解：因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.答案：D
例15：用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )
A ．假设a 、b 、c 都是偶数
B ．假设a 、b 、c 都不是偶数
C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数
D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数 解：“至少有一个”的否定“都不是”．答案：B
例16：设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x ＜0)，则a 与b 大小关系为( ) A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a ＝b
D ．a ≤b
解：∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b ＝e x ＜e 0＝1，故a ＞b.答案：A
例17：已知函数y ＝f(x)的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，都有f(x 1＋x 22
)<
f x 1
＋f x 2
2
，则称y ＝f(x)为D 上的凹函数．由此可得下列函数
中的凹函数为( )
A ．y ＝log 2x
B ．y ＝
x C ．y ＝x 2
D ．y ＝x 3
解：可以根据图象直观观察；对于C 证明如下：欲证f(x 1＋x 22)<
f
x 1
＋f x 2
2
，
即证2
122
x x ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
<
x 21＋x 22
2
.即证(x 1＋x 2)2<2x 21＋2x 22.即证(x 1－x 2)2>0.显然成立．故原
不等式得证．答案：C
例18：已知点A n (n ，a n )为函数y ＝
x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x
图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________． 解：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝
1
n 2＋1＋n
，∴c n 随n 的增大而减小．∴
c n ＋1<c n .答案：c n ＋1<c n
例19：设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b>1；②a ＋b ＝2；③a ＋b>2；④a 2＋b 2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号) 解：若a ＝12，b ＝2
3
，则a ＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；
若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故
④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案：③
例20：设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
(1)反证法．假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1＝k2.代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0，
此与k1为实数的事实相矛盾．从而k1≠k2，即l1与l2相交．
例21：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1
a ＋
b ＋
1
b ＋
c ＝
3
a ＋
b ＋c
，试问A ，B ，C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若
成等差数列，请给出证明．
＝x 2＋1的图象上．
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.
解：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n.
(2)由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n .b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2
例23：已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c 成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．。