2021版新高考数学一轮复习 课时规范练27 数系的扩充与复数的引入

课时规范练27 数系的扩充与复数的引入
基础巩固组
1.已知复数z=(m+3)+(m-1）i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是（)
A.（-3，1)
B.（—1，3）
C.(1,+∞) D。

（-∞,—3）
2.(2019江西九江一模，2）若a为实数,且（1+a i）（a—i）=2，则a=(）
A.—1 B。

0 C.1 D.2
，则|z|=() 3.(2019陕西第二次质检，2）已知复数z满足z=-1+5i
2
A.3 B。

√26 C.4 D.√26
2
,则｜z｜=（）4。

(2019山西吕梁一模，2)已知复数z=3+4i
1+2i
A。

√5 B.√10 C.2√5 D.5
5.(2019河北唐山一模，2)设复数z满足(1+i）z=2i（其中i为虚数单位),则下列结论正确的是()
A.｜z｜=2 B。

z的虚部为i
C.z2=2 D。

z的共轭复数为1-i
6.已知复数z1=2-i,z2=m+i（m∈R）,若z1·z2为纯虚数,则z1·z2=（）
A.5i
2B。

5
2
C.-2i
D.-2
7。

（2019宁夏银川一中一模，2）复数z=1-2i,则z2+3
z-1
=（) A。

2i B。

—2 C.-2i D。

2
8.（2019北京海淀一模，6）已知复数z=a+i（其中a∈R)，则下面结论正确的是(）
A。

z=—a+i
B。

｜z|≥1
C.z一定不是纯虚数
D.在复平面上,z对应的点可能在第三象限
9。

设z=1+i，则2
z
+z2等于（)
A.1+i
B.—1+i
C.-i
D.—1-i
10.(2019天津,理9)i是虚数单位,则|5-i
1+i
|的值为.
11.已知i为虚数单位，复数z=1+3i
1-i
,则复数z的实部是.
综合提升组
12.（2019河北武邑中学调研二，2）已知复数为纯虚数，z=z+i
1+i
(i为虚数单位),则实数a=(）
A.1
B.-1
C.2 D。

-2
13。

(2019湖南长郡中学适应考试一,1)设a∈R,i为虚数单位。

若复
数z=a-2+（a+1)i是纯虚数,则复数z-3i
2-i
在复平面上对应的点的坐标为()
A。

(1
5,8
5
) B.(-75,45)
C。

(-4
5,7
5
) D.(75,-45)
14。

(多选)复数z的共轭复数记为z,复数z，z分别对应点Z，z。

设A是一些复数对应的点组成的集合,若对任意的Z∈A，都有z∈A,就称A为“共轭点集”。

下列点集中是“共轭点集”的有（）
A.{（x，y）|x2+（y-1)2≤1｝
B。

{(z,z)|{z>2z-4,
z<-2z+4,
z>0
}
C.{(z,z)|z2
2
-z2=1}
D.{（x，y）|y=2x｝
15.设复数z 满足｜z —i ｜≤2(i 为虚数单位）,则z 在复平面内对应的点的集合构成图形的面积是 .
16.已知复数z 满足｜z+3｜+｜z —3|=10，设复数z 在复平面内对应的点为Z.则点Z 的轨迹方程为 .
创新应用组
17.
(2019宝山区校级月考)国际数学教育大会（ICME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开,其会标如图，包含着许多数学元素。

主画面是非常优美的几何化的中心对称图形,由弦图、圆和螺线组成,主画面标明的ICME-14下方的“
”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制
数3744，也可以读出其二进制码(0)11111100100，换算成十进制的数是n ，则（1+i ）2n = ，(1+i √2)z
= （其中i 为虚
数单位)。

18。

(2019山东潍坊期末）已知复数z=1—i . (1)若z 2+az+b=1+i,a ，b ∈R ,求a ,b ；
(2)设复数z 1=x+y i(x ，y ∈R ）满足|z 1-z|=1,试求复数z 1在复平面内对应的点(x ，y )到原点距离的最大值.
参考答案
课时规范练27 数系的扩充与
复数的引入
1.A 要使复数z 在复平面内对应的点在第四象限，应满足{z
+3>0,
z -1<0,
解得-3〈m 〈1,故选A 。

2.C ∵a 为实数，且（1+a i)(a-i ）=2a+(a 2—1）i =2，∴2a=2且a 2-1=0,解得a=1。

故选C .
3。

D 由复数模的运算法则可得|z ｜=|-1+5i 2|=|-1+5i||2|=√26
2
.故选D 。

4。

A z=3+4i 1+2i =(3+4i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=11-2i
5
，
所以｜z ｜=|11+2i 5|=
1
5
√112+22=√5，故选A 。

5。

D ∵（1+i)z=2i ，∴z=2i 1+i =2i(1-i)
2
=1+i,∴z 的共轭复数为1-i 。

6.A 因为z 1·z 2为纯虚数,故得到z 1·z 2=(2—i)(m+i ）=1+2m+（2—m ）i ，由2m+1=0且2—m ≠0，得m=—12
. 故z 1·z 2=5i 2
,故选A . 7.D ∵z=1-2i,∴
z 2+3
z -1
=
(1-2i)2
+31-2i -1
=-4i
-2i
=2,故选D 。

8。

B z 的共轭复数为z =a —i ，故A 错；｜z ｜=√z 2+1≥1,故B 正确;当a=0时z=i 为纯虚数,故C 错;因为z 的虚部为1，在复平面上z 对应的点不可能在第三象限.故D 错。

故选B 。

9.A
2
z
+z 2=21+i
+（1+i ）2=2(1-i)(1+i)(1-i)
+2i =
2(1-i)2
+2i =1—i +2i =1+i .
10.√13
5-i
1+i
=(5-i)(1-i)
2
=
4-6i 2
=2-3i 。

|
5-i
1+i
|=√4+9=√13. 11。

-1 由题意可得:z=1+3i 1-i =(1+3i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+3i +i -32=-2+4i
2
=-1+2i ，则复数的实部是—1。

12.B ∵z=z +i 1+i =(z +i)(1-i)(1+i)(1-i)=(z +1)+(1-z )i 2
为纯虚数，
∴
z +12
=0,
1-z 2
≠
0,∴a=—1，故选B 。

13。

D 因为复数z=a-2+（a+1）i 是纯虚数，所以a-2=0,解得a=2，
所以复数z -3i 2-i 可化为2-3i 2-i =75−45i,所以复数z -3i
2-i 在复平面上对应的点的坐标为(75,-45
).故选D .
14。

BC由题可知,满足性质：复数z，z分别对应点Z,z.图形关于x轴对称.
A.｛(x，y）｜x2+（y—1)2≤1｝表示的图形不关于x轴对称,所以不是“共轭点集”；
B.{(z,z)|{z>2z-4,
z<-2z+4,
z>0
}的图象关于x轴对称,是“共轭点集”;
C。

（x,y）z2
2
—y2=1的图形关于x轴对称,是“共轭点集”;
D。

｛（x，y)｜y=2x｝的图象不关于x轴对称，不是“共轭点集"。

故选BC.
15.4π|z-i｜≤2的几何意义为复平面内以(0，1）为圆心,半径为2的圆及其内部,则对应区域的面积S=π×22=4π.
16.z2
25+z2
16
=1由｜z+3｜+｜z—3｜=10，可得点Z是以（-3,0），
（3，0）为焦点，长半轴长是5的椭圆,则b2=a2-c2=16，
所以椭圆轨迹方程为z2
25+z2
16
=1.
17.—22 010i∵
11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+0×24+0×23
+1×22+0×21+0×20=2010.∴（1+i)2n=（2i）2010=—22010.(
√2)
z
=
(√2)2010=(
√2
)2×1005=i1005=i.
18.解（1）∵z2+az+b=1+i，且z=1—i,
∴—2i+a—a i+b=1+i,
∴a+b-（2+a)i=1+i，
∴{z+z=1,
-(2+z)=1,
解得a=—3，b=4.
（2)由题知z1=x+y i(x，y∈R),满足｜z1—z｜=1,∴｜(x+y i）-(1-i）｜=1，
即｜（x—1）+（y+1)i|=1，
∴（x-1）2+(y+1)2=1.
即复数z1在复平面内对应的点的轨迹是以(1,—1)为圆心,以1为半径的圆。

∴d max=√12+(-1)2+1=√2+1。