湖南省邵东县第一中学高三数学上学期第三次月考试题 文

湖南省邵东一中2021年下学期高三年级第3次月考试题
数 学 〔文科〕
本试题卷分为选择题和非选择题两局部，共4页。

时量120分钟，总分150分。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题〔共12小题，每题只有一个选项正确，每题5分，共60分〕
1．假设〔1+2ai 〕i=1﹣bi ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，那么|a+bi|=〔 〕
A ． +i
B ．5
C ．
D ．
2．集合61A x N
Z x ⎧
⎫
=∈∈⎨⎬-⎩
⎭，307x B x x ⎧-⎫=≤⎨⎬-⎩⎭
，那么集合A B 中共有 ( ) 个真子集 A. 7 B .4 C. 3 D. 8 3．以下说法正确的选项是〔 〕
A ．“f 〔0〕=0”是“函数f 〔x 〕是奇函数〞的充要条件
B ．假设p ：∃x 0∈R ，x 02﹣x 0﹣1＞0，那么￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1＜0
C ．假设p ∧q 为假命题，那么p ，q 均为假命题
D ．“假设α=，那么sin α=〞的否命题是“假设α≠，那么sin α≠〞
4．假设α∈〔0，
〕，且cos 2α+cos 〔
+2α〕=
，那么tan α〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
5．函数2
2()log (412)f x x x =--的单调递增区间是〔 〕 A ．(,2)-∞ B ．(,2)-∞
C ．(2,)+∞
D ．(6,)+∞
6．()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2x
f x t =+，那么(3)f -的值为〔 〕
A ．3-
B ．7-
C ．3
D ．7
7．函数53
()sin 1(,,)f x ax bx c x a b c R =+++∈ ,()10f m =，那么()f m -=〔 〕
A ．6-
B ．7-
C ．8-
D ．9-
8．函数2
()ln(1)f x x x
=--
的零点所在的大致区间是 ( ). A.()1,2 B. ()2,3 C. ()3,4 D. ()4,5
9．设函数1()7,02
(),0x
x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩
，假设()1f t <，那么实数t 的取值范围为〔 〕 A ．(,3)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(,3)
(1,)-∞-+∞ D ．(3,1)-
10．等比数列{}n a ,满足23210log log 1+=a a ,且568916=a a a a ,那么数列{}n a 的公比为( )
〔A 〕2
〔B 〕4
〔C 〕2±
〔D 〕4±
11．向量(1,2),(1,)λ=-=m n .假设⊥m n ,那么2+m n 与m 的夹角为( )
〔A 〕2π3
〔B 〕3π4
〔C 〕π3
〔D 〕
π4
12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 15＞0，S 16＜0，那么中最大的是
〔 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕
13．等比数列{a n }的前n 项和为S n =a •2n +a ﹣2，那么a n =_____． 14．函数
2
,()24,x x m f x x mx m x m
≤⎧
=⎨-+>⎩，其中0m >，假设存在实数b ，使得关于x 的方
程()f x b =
有三个不同的零点，那么m 的取值范围是 ．
15．菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC=3BE ，DC=λDF ，假设
•
=1，那么λ的值为______．
16．函数f 〔x 〕〔x ∈R 〕满足f 〔1〕=1，且f 〔x 〕的导数f ′〔x 〕＜，那么不等式f 〔x 2
〕＜
的解集为______．
三、解答题〔本大题共7小题，总分值70分〕 17.〔本小题总分值10分〕
在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足:cos cos 2cos +=b A a B c C ,ABC 的面积为43.
〔Ⅰ〕求角C 的大小; 〔Ⅱ〕假设2=a ,求边长c . 18. 〔本小题总分值12分〕
公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=70，且a 1，a 2，a 6成等比数列． 〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项公式； 〔Ⅱ〕设b n =
，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值．
19. 〔本小题总分值12分〕
函数()2
1ln f x x ax x =-++-在1x =处获得极值.
〔1〕求()f x ，并求函数()f x 在点()()
2,2f 处的切线方程； 〔2〕求函数()f x 的单调区间. 20. 〔本小题总分值12分〕 函数．
〔1〕设
，且
，求θ的值；
〔2〕在△ABC 中，AB=1，，且△ABC 的面积为
，求sinA+sinB 的值．
21．〔本小题总分值12分〕
数列{}n a 的前n 项和为n S ,且15=a ,2
1(1)+-+=+n n nS n S n n . 〔Ⅰ〕求证:数列{
}n
S n
为等差数列; 〔Ⅱ〕假设1(21)=
+n n b n a ,判断{}n b 的前n 项和n T 与1
6
的大小关系,并说明理由.
22．〔本小题总分值12分〕 设函数f 〔x 〕=x 2﹣2x+alnx
〔1〕当a=2时，求函数f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程；
〔2〕假设函数f〔x〕存在两个极值点x1、x2〔x1＜x2〕，
①务实数a的范围；②证明：＞﹣﹣ln2．
湖南省邵东一中2021年下学期高三年级第3次月考试题
数 学 〔文科〕
本试题卷分为选择题和非选择题两局部，共4页。

时量120分钟，总分150分。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题〔共12小题，每题只有一个选项正确，每题5分，共60分〕 1．假设〔1+2ai 〕i=1﹣bi ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，那么|a+bi|=〔 D 〕
A ． +i
B ．5
C ．
D ．
2．集合61A x N
Z x ⎧
⎫
=∈∈⎨⎬-⎩
⎭，307x B x x ⎧-⎫=≤⎨⎬-⎩⎭
，那么集合A B 中共有 ( C ) 个真子集 A. 7 B .4 C. 3 D. 8 3．以下说法正确的选项是〔 D 〕
A ．“f 〔0〕=0”是“函数f 〔x 〕是奇函数〞的充要条件
B ．假设p ：∃x 0∈R ，x 02﹣x 0﹣1＞0，那么￢p ：∀x ∈R ，x 2﹣x ﹣1＜0
C ．假设p ∧q 为假命题，那么p ，q 均为假命题
D ．“假设α=，那么sin α=〞的否命题是“假设α≠，那么sin α≠〞
4．假设α∈〔0，
〕，且cos 2
α+cos 〔
+2α〕=，那么t an α〔 B 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
5．函数2
2()log (412)f x x x =--的单调递增区间是〔 D 〕 A ．(,2)-∞ B ．(,2)-∞
C ．(2,)+∞
D ．(6,)+∞
6．()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2x
f x t =+，那么(3)f -的值为〔 B 〕
A ．3-
B ．7-
C ．3
D ．7
7．函数53
()sin 1(,,)f x ax bx c x a b c R =+++∈ ,()10f m =，那么()f m -=〔 C 〕
A ．6-
B ．7-
C ．8-
D ．9-
8．函数2
()ln(1)f x x x
=--
的零点所在的大致区间是 ( B ). A.()1,2 B. ()2,3 C. ()3,4 D. ()4,5
9．设函数1()7,02
(),0x
x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩
，假设()1f t <，那么实数t 的取值范围为〔 D 〕 A ．(,3)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(,3)
(1,)-∞-+∞ D ．(3,1)-
10．等比数列{}n a ,满足23210log log 1+=a a ,且568916=a a a a ,那么数列{}n a 的公比为( A )
〔A 〕2
〔B 〕4
〔C 〕2±
〔D 〕4±
11．向量(1,2),(1,)λ=-=m n .假设⊥m n ,那么2+m n 与m 的夹角为( D )
〔A 〕2π3
〔B 〕3π4
〔C 〕π3
〔D 〕
π4
12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 15＞0，S 16＜0，那么中最大的是
〔 C 〕
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题〔共4小题，每题5分，共20分〕
13．等比数列{a n }的前n 项和为S n =a •2n +a ﹣2，那么a n =_____． 2n ﹣1 . 14．函数
2
,()24,x x m f x x mx m x m
≤⎧
=⎨-+>⎩，其中0m >，假设存在实数b ，使得关于x 的方
程()f x b =有三个不同的零点，那么m 的取值范围是 ．(3,)+∞
15．菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC=3BE ，DC=λDF ，假设
•
=1，那么λ的值为______． 2 ；
16．函数f 〔x 〕〔x ∈R 〕满足f 〔1〕=1，且f 〔x 〕的导数f ′〔x 〕＜，那么不等式f 〔x 2〕＜
的解集为______． 〔-∞，-1〕∪〔1，+∞〕
三、解答题〔本大题共7小题，总分值70分〕 17.〔本小题总分值10分〕
在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足:cos cos 2cos +=b A a B c C ,ABC 的面积为43.
〔Ⅰ〕求角C 的大小; 〔Ⅱ〕假设2=a ,求边长c .
解:〔Ⅰ〕因为cos cos 2cos b A a B c C +=,①由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===得 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===,② 将②代入①可得
化简得sin()sin 2sin cos A B C C C +==,
即sin (12cos )0C C -=,因为sin 0C ≠,所以1cos 2C =
,又(0,π)C ∈,所以π3
C =. 〔Ⅱ〕因为ABC 的面积为43,所以1
sin 432
ab C =,所以16ab =.又因为2a =,所以8b =,
由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=,即222281
2162
c +-=⨯,所以213c =.
21. 〔本小题总分值12分〕
公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=70，且a 1，a 2，a 6成等比数列． 〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项公式； 〔Ⅱ〕设b n =
，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值．
解：〔I 〕设公差为d 且d ≠0，那么有，即，
解得或〔舍去〕，∴a n =3n ﹣2．
〔II 〕由〔I 〕得， =，
∴b n ===3n+﹣1≥2﹣1=23，当且仅当3n=，即n=4时取
等号，
故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23． 22. 〔本小题总分值12分〕
函数()2
1ln f x x ax x =-++-在1x =处获得极值.
〔1〕求()f x ，并求函数()f x 在点()()
2,2f 处的切线方程； 〔2〕求函数()f x 的单调区间. 解：〔1〕由题得，()()'1
20.f x x a x x
=-+-
> 又函数()f x 在1x =处获得极值，所以()'
10,f =解得 3.a = 即()2
31ln f x x x x =-++-.〔3分〕
因为()()'1230f x x x x =-+->，所以()()'3
2,23ln 22
f f =-=-， 所以曲线()f x 在点()()3
2,26ln 22
f y x =-+-处的切线方程为.〔6分〕
〔2〕由〔1〕得，()()'1
230f x x x x
=-+->，
令()'11
0,230,12
f x x x x >-+-><<即解得，
所以()f x 的单调递增区间为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
. 〔9分〕 令()'11
0,230,12
f x x x x x <-+-
<<<>即解得0或， 所以()f x 的单调递减区间为()10,,1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
. 综上所述，
()f x 的单调递减区间为()10,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和，单调递增区间为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
.〔12分〕
23. 〔本小题总分值12分〕 函数．
〔1〕设
，且
，求θ的值；
〔2〕在△ABC 中，AB=1，，且△ABC 的面积为
，求sinA+sinB 的值．
解：〔1〕=
=
．
由
得
于是〔k ∈Z 〕 因为
所以
〔2〕因为C ∈〔0，π〕，由〔1〕知．
因为△ABC 的面积为，所以
，
于是
．①
在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b ． 由余弦定理得，
所以a 2+b 2=7．② 由①②可得或
于是．
由正弦定理得， 所以
．
21．〔本小题总分值12分〕
数列{}n a 的前n 项和为n S ,且15=a ,21(1)+-+=+n n nS n S n n . 〔Ⅰ〕求证:数列{
}n
S n
为等差数列; 〔Ⅱ〕假设1(21)=
+n n b n a ,判断{}n b 的前n 项和n T 与1
6
的大小关系,并说明理由.
解:〔Ⅰ〕证明:由21(1)+-+=+n n nS n S n n 可得 所以数列{}n S
n
为首项为5,公差为1的等差数列.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得:
5(1)4n
S n n n
=+-=+, 所以(4)n S n n =+,
所以2n ≥时,1(4)(1)(3)23n n n a S S n n n n n -=-=+--+=+, 又1n =时上式也成立, 所以23n a n =+, 所以11111
()(21)(21)(23)22123
n n b n a n n n n =
==-+++++,
所以数列{}n b 的前项和为 所以16
n T <
. 22．〔本小题总分值12分〕 设函数f 〔x 〕=x 2﹣2x+alnx
〔1〕当a=2时，求函数f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程；
〔2〕假设函数f 〔x 〕存在两个极值点x 1、x 2〔x 1＜x 2〕，①务实数a 的范围；②证明：
＞﹣﹣ln2．
解：〔1〕函数f 〔x 〕=x 2﹣2x+2lnx 的导数为f′〔x 〕=2x ﹣2+， f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线斜率为2，切点为〔1，﹣1〕，
即有f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程为y+1=2〔x ﹣1〕，即为2x ﹣y ﹣3=0； 〔2〕①函数f 〔x 〕的定义域为〔0，+∞〕，f ′〔x 〕=，
∵函数f 〔x 〕=x 2
﹣2x+alnx+1有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2． ∴f′〔x 〕=0有两个不同的根x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2，∴
，解得，0＜a ＜；
②证明：由〔1〕知，x 1+x 2=1，x 1x 2=a ，那么a=2x 2〔1﹣x 2〕，
因此，f 〔x 1〕=〔x 1﹣1〕2+alnx 1﹣1=x 22+2x 2〔1﹣x 2〕ln 〔1﹣x 2〕﹣1〔＜x 2＜1〕，
=x 2+2〔1﹣x 2〕ln 〔1﹣x 2〕﹣〔＜x 2＜1〕，
令h〔t〕=t+2〔1﹣t〕ln〔1﹣t 〕﹣，〔＜t＜1〕，
那么h′〔t〕=1+2[﹣ln〔1﹣t〕﹣1]+ =﹣2ln〔1﹣t〕，∵＜t＜1，∴1﹣t2＞0，ln〔1﹣t〕＜0，∴h′〔t〕＞0，
即h〔t 〕在〔，1〕上单调递增，那么h〔t〕＞h 〔〕=﹣﹣ln2，即有＞﹣﹣ln2．
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