江苏省东台中学2020学年高一数学下学期暑假作业4

江苏省东台中学高一年级暑期作业四（综合1）
一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分 .请把答案填写在答题纸相应地点上
.
．．．．．．．．．．．．．．．1．过点P 1,1且与直线 2x y 0 垂直的直线方程是.（结果用直线方程的一般式表示）
2x3
．
2．不等式 1 的解集为
x 1
3．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是_______________
4．在△ ABC中， sinA∶ sinB∶ sinC＝ 3∶ 2∶ 4，则 cosC 的值为 ________
5．点P 1,1, 2对于 xoy 平面的对称点的坐标是.
6．直线kx y k0 与圆 (x 1)2y 21相切，则实数k等于_________
7．已知直线3x 4 y 3 0 与直线 6x my 140 平行，则它们之间的距离是_________ 8．在△ ABC中， BC=1，B
3
，当△ ABC 的面积等于 3 时，tanC__．
9．已知S n是公差为d的等差数列{ a n}( n N * )的前 n项和 , 且
S6S7 S5，则以下四个
命题：① d 0 ；② S110 ；③ S120 ；④S130 中为真命题的序号为．
10．若对于全部正实数x不等式4 2x2
．> a恒建立，则实数a的取值范围是
x
11．若等差数列 {a }的前 15 项的和为定值，则以下几项中为定值的是________．n
①a6＋ a8；② a5＋ a11；③ a6＋ a8＋ a10；④ a1＋ a5＋a 16；⑤ a5＋ a9＋ a10．
n n
、a n+1
是方程 x
2＋3nx＋b n
10
＝－ 10，则 b
50
12．已知数列 {a }中相邻两项a＝ 0的两根， a＝__________．
13．α、β是两个不一样的平面，m、 n 是平面α及β以外的两条不一样
直线,
给出四个论断：① m n②α β ③ mβ ④ n α
以此中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你以为正确的一个命题：___________________.
14．已知数列a n(n N * ) 知足a n 1a n t, a n t ,
a1 t 1，此中 t 2 ，若t 2 a n
，且 t
, a n t,
a n k a n (k N * ) ，则实数 k 的最小值为．
二、解答题：本大题共 6 小题；共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，平行四边形中，， BCD60 ，且BD CD ，
ABCDCD1
正方形 ADEF 和平面 ABCD 成直二面角，G, H是DF , BE的中点．
（Ⅰ）求证： GH // 平面 CDE ；
（Ⅱ）求证：
（Ⅲ）求三棱锥
BD
D
平面 CDE ；
CEF 的体积．
16．（本小题满分 14 分）在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b, c ． A 为锐角， a
30 ，
ABC 的面积 S 105 ，外接圆半径
R=17．
（ Ⅰ ）求 sin A,cos A 的值；
（ Ⅱ ）求 ABC 的周长．
17．已知数列 {a }是由正数构成的等差数列，
S 是其前 n 项的和，而且
a ＝5， a ·S ＝ 28．
n
n
3
4 2
（Ⅰ）求数列 {a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列 {b n n n n n
．
}的通项 b ＝ | a － 23| (n ∈N*)，求数列 {b }的前 n 项的和 T
18． 已知二次函数 f ( x)
ax 2 bx 1.
（Ⅰ） 若 f ( x)
0 的解集是 ( 1 , 1
) ，务实数 a , b 的值；
4 3
（Ⅱ） 若 a 为正整数， b
a 2 ，且函数 f (x) 在 [0,1] 上的最小值为 1，求 a 的值 .
19．已知⊙ C ： x
2
( y 5) 2 5 ，点 A(1,－ 3)
1
（Ⅰ）求过点 A 与⊙ C 1 相切的直线 l 的方程；
（Ⅱ）设⊙ C 2 为⊙ C 1 对于直线 l 对称的圆，则在
x 轴上能否存在点 P ，使得 P 到两圆的切
线长之比为
2 ？荐存在，求出点 P 的坐标；若不存在，试说明原因．
20． (此题满分 16 分 )已知二次函数 f (x)x2ax a( x R) 同时知足：①不等式 f (x) ≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0x1x2，使得不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 建立，设数列｛ a n｝的前 n项和 S n f (n) ．
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的表达式；
（Ⅱ）设各项均不为0 的数列｛b n｝中，全部知足b i b i 1 0 的整数i的个数称为这个数
列｛ b n｝的变号数，令
a
（ n N） , 求数列｛b n｝的变号数；n
b 1
a n
n1
（Ⅲ）设数列｛ c n｝知足： c n，尝试究数列｛ c n｝能否存在最小项？若存在，
i 1 a i a i1
求出该项，若不存在，说明原因．
江苏省东台中学高一年级暑期作业四（综合1. x 2 y 3 0 2.{ x | 1 x 4} 3.
2 3 或37.28. 239. ①②
33
②③⑤12. 5600
13. 若②③④则①或若①③④ 则②14. 4
1）参照答案
4. －
1
5. (1,1,2)
6.
4
10. a 4 211.
15.（Ⅰ）证明：连接EA ，则 G 是 AE 的中点
∴EAB 中， GH // AB
又 AB//CD ∴GH // CD
∴GH // 平面 CDE
（Ⅱ）证明：平面ADEF平面ABCD，交线为AD
ED AD ∴ED平面ABCD
∴ED BD
又BDCD
∴BD 平面 CDE
（Ⅲ）解：设Rt BCD 中 BC 边上的高为 h
113依题意： 2 h 1 3∴ h
222
3
即：点 C 到平面 DEF 的距离为
2
∴V
D CEF
V
C DEF1
1
2 233
3223
16．解：（Ⅰ）在△ ABC中， A 为锐角， a=30，外接圆半径R=17，
因此
a
=2R=34，sin A
sinA=15
， cosA=
8 1717
（Ⅱ）ABC的面积 S=105， 105= 1
bcsinA， bc=238 2
a2=b2+c2–2bccosA=(b+c)2–2bc(1+cosA)
(b+c)2=a2+2bc(1+cosA)=900+2 238(1+ 8
)=1600
17
b+c=40， ABC的周长为70.
17．解：（Ⅰ） a4·S2＝ (a3－2d＋ a3－d) ·(a3－ d)＝ (10－ 3d) ·(5＋ d)＝ 28
∴3d2＋ 5d－22＝ 0∴ d＝ 2 或 d＝－11
3
∵a n＞ 0∴ d＞0．∴ a n＝ a3＋ (n－ 3)d＝5＋2n－ 6＝ 2n－ 1．
24－ 2n (n≤ 12)
（Ⅱ） b n＝ | a n－23| ＝ | 2n－ 24| ＝2n－24 (n≥13)
n(22＋ 24－2n)
①当n≤ 12 时， b n＝ 24－ 2n ∴ T n＝＝23n－n2；
②当 n≥ 13 时，∴ T n＝ 22＋ 20＋·＋ 2＋ 0＋2 ＋4＋·＋ (2n－ 24)＝[－ 22－ 20－·－ 2＋ 0＋ 2＋·＋ (2n－ 24)]＋ 2(22＋20＋·＋ 2)＝n2－ 23n＋2·12·11＝ n2－23n＋ 264
23n－ n2(n≤ 12)
∴T n＝
n2－ 23n＋ 264 (n≥13)
18．解：（1）不等式ax 2bx10 的解集是(1 ,1) ，4 3
故方程 ax2bx10 的两根是 x 1
, x1
1423
因此1
x1x2 1 , b x1x27 a2a12
因此 a12,b7
（ 2）Q b a 2, f ( x)ax2(a 2) x 1 a( x a 2)2(a 2) 2 1 ，
2a4a
对称轴 x a211
，2a2a
当 a 2 时， x a211(1
,1] ， f (x)
min
f (
a 2
)1(a 2) 21
2a2a22a4a a2
当 a 1时， x a2113
f ( x) min f (1)
1建
立。

2a2a
，
2
综上可得：a1a2
或
19. 解：（ 1）C1(0,5),r1 5 ，
由于点 A 恰在⊙C1上，因此点 A 即是切点，
K C1A 35
2，因此 k1
1
，12
因此，直线 l的方程为 y31
(x1),即 x 2 y50；2
（ 2）由于点 A 恰为 C1C2中点，因此，C2(2,1)，因此，⊙ C 2 : ( x2) 2( y1)2 5 ，
设 P( a,0)，PC
12
52①，或
PC
2
2
5 2 ②，PC225PC125
由①得，a220，解得
a 或，因此，
P(
，或，，
(a2) 2421020)(10 0)
由②得，a2
4a
2
2 ，求此方程无解. a20
综上，存在两点P（-2， 0）或 P（10， 0）合适题意．20．解（１）∵不等式 f ( x) ≤0的解集有且只有一个元素
∴a24a 0解得 a0或 a 4
当 a0时函数 f ( x)x2在 (0,) 递加，不知足条件②
当 a4时函数 f ( x)x24x 4 在（０，２）上递减，知足条件②
综上得 a4，即 f ( x)x24x4
（２）由（１）知S n n24n 4 (n2) 2
当 n1时，a1S11
当 n ≥２时a n S n S n 1＝ (n2)2(n3)2＝2n5
∴ a
1,(n1)
n2n 5.(n2)
3,( n1)
由题设可得b
4
n1.( n2)
2n5
∵ b130, b21450 ， b330 ，∴i1， i2都知足 b i b i 1 0
∵当 n ≥３时， b n1b n
448
0 2n52n3(2 n5)(2 n3)
即当 n ≥３时，数列｛b n｝递加，
∵ b41
0，由1
4
0n 5 ，可知 i4知足 b i
b
i 10 32n5
∴数列｛ b n｝的变号数为３。

（３）∵ c n
n1
1111
＝L,由（２）可得：i 1 a i a i 1a1 a2a2a3a3a4a n a n 1
c n 1 (1)1
[(11)(
1
1 )L(11)] 23352n52n3
1143n 3
(2n3)1
31
＝2(1)＝22
22n32n32n322(2n3)
∵当 n 2 时数列｛c n｝递加，∴当n2时， c22最小,又∵ c1 1 c2，∴数列｛c n｝存在最小项 c22。