高考物理压轴题专题临界状态的假设解决物理试题的经典推断题综合题含答案解析

高考物理压轴题专题临界状态的假设解决物理试题的经典推断题综合题含答案
解析
一、临界状态的假设解决物理试题
1．中国已进入动车时代，在某轨道拐弯处，动车向右拐弯，左侧的路面比右侧的路面高一些，如图所示，动车的运动可看作是做半径为R的圆周运动，设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L，已知重力加速度为g，要使动车轮缘与内、外侧轨道无挤压，则动车拐弯时的速度应为（）
A．gRh
L
B．
gRh
d
C．
2
gR
D．
gRd
h
【答案】B
【解析】
【详解】
把路基看做斜面，设其倾角为θ，如图所示
当动车轮缘与内、外侧轨道无挤压时，动车在斜面上受到自身重力mg和斜面支持力N，二者的合力提供向心力，即指向水平方向，根据几何关系可得合力F=mg tanθ，合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
mg tanθ＝
2 v m
R
计算得v tan
gR
tanθ＝h d
带入解得v gRh
d
gRh
d
压，故B正确，ACD错误。

故选B。

2．火车以某一速度v 通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是（ ）
A ．轨道半径2
v R g
=
B ．若火车速度大于v 时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向外
C ．若火车速度小于v 时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
D ．当火车质量改变时，安全速率也将改变 【答案】B 【解析】 【详解】
AD ．火车以某一速度v 通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和支持力的合力提供向心力由图可以得出（θ为轨道平面与水平面的夹角）
tan F mg θ=合
合力等于向心力，故
2
tan v mg m R
θ=
解得
tan v gR θ=与火车质量无关，AD 错误；
B ．当转弯的实际速度大于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，故其外侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，外轨受到侧压力作用方向平行轨道平面向外，B 正确；
C ．当转弯的实际速度小于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有向心趋势，故其内侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，内轨受到侧压力作用方向平行轨道平面向内，C 错误。

故选B 。

3．一辆货车运载着圆柱形光滑的空油桶。

在车厢底,一层油桶平整排列，相互紧贴并被牢牢固定。

上一层只有一只桶C ，自由地摆放在A 、B 之间，和汽车一起保持静止，如图所示，当C 与车共同向左加速时
A ．A 对C 的支持力变大
B ．B 对
C 的支持力不变 C ．当向左的加速度达到3
2
g 时，C 将脱离A D ．当向左的加速度达到3
3
g 时，C 将脱离A 【答案】D 【解析】 【详解】
对C 进行受力分析，如图所示，
设B 对C 的支持力与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系可得：1
22
R sin R θ=＝，所以θ=30°；同理可得，A 对C 的支持力与竖直方向的夹角也为30°； AB ．原来C 处于静止状态，根据平衡条件可得：
N B sin30°=N A sin30°；
令C 的加速度为a ，根据正交分解以及牛顿第二定律有：
N ′B sin30°-N ′A sin30°=ma
可见A 对C 的支持力减小、B 对C 的支持力增大，故AB 错误； CD ．当A 对C 的支持力为零时，根据牛顿第二定律可得：
mg tan30°=ma
解得：
33
a g =
则C 错误，D 正确； 故选D 。

4．如图所示，直线Oa 和Ob 的夹角为30︒，在两直线所夹的空间内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁场向右的区域无限大，磁感应强度为B 。

在P 点有速度相等的正、负离子沿垂
直于Oa 方向射入磁场。

两离子的运动轨迹均与Ob 相切，若不计两离子间的相互作用力，则正、负两种离子的比荷之比为（ ）
A ．1:3
B ．3:1
C ．1:3
D ．3:1 【答案】D 【解析】 【详解】
如图所示，由左手定则知磁场中的正离子向左偏转、负离子向右偏转。

洛伦兹力提供向心力，正离子有
2
v q vB m r
=正正
负离子有
2
v q vB m R
=负负
由几何关系知
sin 30sin 30r R
r R ︒︒
++= 解以上三式得
3
:1
q q m m =负正负正 故选D 。

5．火车以速率v 1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为s 处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率v 2做匀速运动，于是司机立即使车做匀减速运动，该加速
度大小为a ，则要使两车不相撞，加速度a 应满足的关系为 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】
试题分析：两车速度相等时所经历的时间：12
v v t a
-=
，此时后面火车的位移为：22
12
12v v x a
-=
前面火车的位移为：2
12222v v v x v t a -==，由12x x s =+解得：2
12()2v v a s
-=，所以加速
度大小满足的条件是：2
12()2v v a s
-≥，故选项D 正确．
考点：匀变速直线运动的位移与时间的关系、匀变速直线运动的速度与时间的关系 【名师点睛】速度大者减速追速度小者，速度相等前，两者距离逐渐减小，若不能追上，速度相等后，两者距离越来越大，可知只能在速度相等前或相等时追上．临界情况为速度相等时恰好相碰．
6．一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线间的夹角为θ＝30°，如图所示．一条长为L 的细绳，一端拴着一个质量为m 的物体．物体沿锥面在水平面内绕轴线以速度V 做匀速圆周运动，则（ ）
A ．随着物体线速度的不断增大，绳子的拉力不断增大
B ．随着物体线速度的不断增大，物体受到的支持力先增大后减小
C ．当V 1
6
gL D ．当V 3
2
gL 【答案】AD 【解析】 【分析】
根据题意分析可知，本题考查水平面内圆周运动有关知识，根据水平面内圆周运动的规律方法，运用向心力方程、力的分解等，进行求解． 【详解】
A.设圆锥对物体支持力为F N ，绳对物体拉力为T ，当物体没离开圆锥时：
2
sin cos sin N v T F m
l θθθ
-=，cos sin N T F mg θθ+=两方程联立：()2
cos sin tan cos v T mg m
l θθθθ
+=+，线速度越大，拉力越大．选项A 正确 B.根据选项A 分析B 错误
C.当要脱离时，F N =0，所以2
sin sin v T m l θθ
=，cos T mg θ=得到36
gl v =
所以C 错误
D.根据C 分析，36
gl v >时脱离圆锥，只受重力和拉力作用，所以选项D 正确
故选AD
7．铁路在弯道处的内、外轨道高低是不同的，已知内、外轨道连线与水平面倾角为θ，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯的时速度小于临界转弯速度tan Rg θ 时，则（ ）
A ．内轨受挤压
B ．外轨受挤压
C ．这时铁轨对火车的支持力等于cos mg
θ
D ．这时铁轨对火车的支持力小于cos mg
θ
【答案】AD 【解析】 【详解】
AB ．当车轮对内外轨道均无作用力时，受力分析：
根据牛顿第二定律：
2
tan v mg m R
θ=
解得：tan v Rg θ=
，当速度小于tan Rg θ，车轮有向心的趋势，所以对内轨产生压
力，A 正确，B 错误；
CD ．当车轮对内外轨道均无作用力时，轨道对火车的支持力：
cos mg
N θ
=
当内轨道对火车施加作用力沿着轨道平面，可以把这个力分解为水平和竖直向上的两个分力，由于竖直向上的分力作用，使支持力变小，C 错误，D 正确。

故选AD 。

8．如图所示，长为L 的轻绳，一端栓住一个质量为m 的小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球能够在竖直平面内做圆周运动，下列叙述中错误．．
的是
A ．小球运动到最高点的速度v 的极小值为0
B ．当小球运动到最低点时，小球的向心力由绳的拉力和重力的合力提供
C ．当小球运动到最高点的速度v gL =0
D ．当小球运动到最高点的速度v gL =mg
【答案】BC 【解析】 【分析】 【详解】
ACD .当小球在最高点绳的拉力为零时，圆周运动的速度最小，则2v mg m L
=，可得
v gL =A 错误，C 正确、D 错误．
B .当小球运动到最低点时，由牛顿第二定律可知2
v T mg m L
-=，即小球的向心力由绳的
拉力和重力的合力提供，则B 正确．故选BC.
9．如图所示，半径为R 的
3
4
圆形区域内有垂直于圆平面向里的匀强磁场。

磁感应强度大小为B ，O 为圆心，∠AOC =90︒，D 为AC 的中点，DO 为一块很薄的粒子吸收板。

一束质量为m 、电荷量为e 的电子以相同速度2eBR
v m
=
在AD 间平行于DO 方向垂直射入磁场，不考虑电子的重力及相互作用，电子打在吸收板上即被板吸收。

则电子在磁场中运动的时间可能为（ ）
A ．
π2m
Be
B ．
2π3m
Be
C ．
3π2m
Be
D ．
8π5m
Be
【答案】AC 【解析】 【详解】
所有电子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r 相同，由
2
v Bev m r
=
得
r =
2
R 电子在磁场中做圆周运动的周期
2π2πr m
T v Be
=
= 画出电子在磁场中运动的轨迹如图所示
可知从AO 边射出磁场的电子在磁场中运动二圆周，其运动时间为
11π42m t T Be
==
从CO 边射出磁场的电子在磁场中运动等于或大于
1
2
圆周，其运动时间为 2
1π2m t T Be
= 其中沿DO 方向从O 点射人磁场的电子在磁场中运动
3
4
圆周，其运动时间最长，最长时间 334=
t 3π2m T Be
= 综上所述，故选AC 。

10．如图所示，用一根长为l ＝1m 的细线，一端系一质量为m ＝1kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F T ．(g 取10m/s 2，结果可用根式表示)求：
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？ 【答案】（112.5?/s （2）25/rad s ． 【解析】
试题分析：（1）小球刚好离开锥面时，小球只受到重力和拉力，小球做匀速圆周运动，由
牛顿第二定律得：2
0tan sin mg m l θωθ=
解得：012.5rad/s cos g
l ωθ
=
= （2）同理，当细线与竖直方向成600角时由牛顿第二定律及向心力公式得：
'2tan sin mg m l θωθ=
解得：20rad/s cos g
l ωα
='=
考点：牛顿第二定律；匀速圆周运动
【名师点睛】此题是牛顿第二定律在圆周运动中的应用问题；解题时要分析临界态的受力情况，根据牛顿第二定律，利用正交分解法列出方程求解．
11．如图所示，为两组正对的平行金属板，一组竖直放置，一组水平放置，一电子由静止
开始从竖直板的中点A 出发，经电压U 0加速后通过另一竖直板的中点B ，然后从正中间射入两块水平金属板间，已知两水平金属板的长度为L ，板间距离为d ，两水平板间加有一恒定电压，最后电子恰好能从下板右侧边沿射出．已知电子的质量为m ，电荷量为-e .求： （1）电子过B 点时的速度大小； （2）两水平金属板间的电压大小U ； （3）电子从下板右侧边沿射出时的动能．
【答案】(1) 0
2eU v m
=
(2) 202
2d U U L
(3) 2
202
()K
L d eU E L
【解析】 【分析】 【详解】
（1）令电子过B 点时的速度大小为v ，有：
2012eU mv =
，02eU v m
=（2）电子在水平板间做类平抛运动，有：
L vt =，
2
122d at =，eU a md
= 联立解得：
202
2d U U
L
（3）总过程对电子利用动能定理有：
002
K U
eU e E +=-，220
K
2
()L d eU E L
12．一质量为m 的小球（可视为质点），系于长为R 的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O 点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。

今把小球从O 点的正上方离O 点距离为
8
9R 的点以水平速度034
v gR =O 点的正下方时，绳对小球的拉力为多大？
【答案】
439
mg 【解析】 【详解】
设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为θ，如图甲所示，根据平抛运动规律有
0sin R v t θ=，281
cos 92
R R gt θ-=
解得
π2θ=
，43R t g
=即绳绷紧时，绳刚好水平，如图乙所示，由于绳不可伸长，故绳绷紧时，沿绳方向的分速度0v 消失，小球仅有速度v ⊥
4
3
v gt gR ⊥==
以后小球在竖直平面内做圆周运动，设到达O 点正下方的速度为v '，由机械能守恒定律有
221122
mv mv mgR ⊥'=+ 设此时绳对小球的拉力为T F ，则有
2
T v F mg m R
'-= 解得
T 439
F mg =
13．如图所示，一装满水的水槽放在太阳光下，将平面镜M斜放入水中，调整其倾斜角度，使一束太阳光从O点经水面折射和平面镜反射，然后经水面折射回到空气中，最后射到槽左侧上方的屏幕N上，即可观察到彩色光带。

如果逐渐增大平面镜的倾角θ，各色光将陆续消失，已知所有光线均在同一竖直平面。

（ⅰ）从屏幕上最先消失的是哪种色光（不需要解释）；
（ⅱ）如果射向水槽的光线与水面成45°角，当平面镜M与水平面夹角45
θ=时，屏幕上的彩色光带恰好全部消失，求最后消失的那种色光对水的折射率。

【答案】（ⅰ）紫光；（ⅱ）
6
2。

【解析】
【分析】
【详解】
（ⅰ）逐渐增大平面镜的倾角，反射光线逆时针转动，反射光线射到水面的入射角增大，由于紫光的临界角最小，所以紫光的入射角最先达到临界角，最先发生全反射，故从屏幕上最先消失的是紫光①.
（ⅱ）画出如图所示的光路图
入射角145θ︒
=
OA 是入射到平面镜上的光线，AD 是法线；设2AOF θ∠=，3OAD θ∠=
由几何关系得
2345θθ+=
232C θθ=+
由折射定律得
1
2
sin sin n
θθ= 1sin C n
=
联立解得
62
n =
即对水的折射率是
62。

14．景观灯是现代景观不可缺少的部分，其中有一类景观灯是为照亮建筑物而设计的投射灯，其简化模型如图所示。

投射灯固定于地面A 点，右侧放置一块高L =10cm ，厚d =17.3cm ，折射率n =1.2的玻璃砖做保护层，玻璃砖上表面被遮挡，右端距建筑物的水平距离s =5m ，不计玻璃砖左侧面的折射影响。

求： (i)玻璃砖的临界角C ； (ii)投射灯能照亮多高的建筑物。

【答案】(ⅰ) 5
arcsin 6
C =；(ⅱ）3.85m 【解析】 【分析】 【详解】
（ⅰ）玻璃砖的临界角
1sin C n
=
解得
5
arcsin 6
C =
（ⅱ）光路如图所示
照亮建筑物的最高处的光线对应玻璃砖中的折射角为α，则
22
sin L d α=
+根据
sin sin n β
α
= 2
2
sin h s
β=
+联立解得
h ≈3.75m
则灯光可以照射的高度
H =h +L ≈3.85m
15．客车以30m/s 的速度行驶，突然发现前方72m 处有一自行车正以6m/s 的速度同向匀速行驶，于是客车紧急刹车，若以3m/s 2的加速度匀减速前进，问： (1)客车是否会撞上自行车？若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？ (2)若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？ 【答案】(1)会撞上,4s (2)4m/s 2 【解析】 【详解】
(1)两车速度相等经历的时间为
21
18s v v t a
-=
= 此时客车的位移为
2
1221144m 2v x a
v -==
自行车的位移为：
2248m x v t ==
因为x 2>x 1+72m 可以知道客车会撞上自行车； 设经过时间t 撞上则
21
307262
t at t -=+
解得
4t s =， 12t s = （舍去）
(2)两车速度相等经历的时间
21
2'
v v t a -=
根据位移关系有：
2
122221'722
v t a t v t +=+
得：
2'4m /s a =
故若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少为2'4m /s a =。