从速度倍数到数乘向量精

试确定实数k的值,
使k e1 e2与e1 k e2是两个平行向量.
分析与解 ke1 e2 // e1 ke2
存在唯一的实数 , 使得k e1 e2 (e1 k e2 )成立.
k e1 e2 (e1 k e2 ) (k )e1 (k 1)e2
C O C O B B
B
变3：
如图，ΔABC中，C为直线AB上一点。且 AC CB 1，则OC
书P65 例4 A C O B
OA
OB
OA OB 1 OC OA OB 1 1 1
思考2：如果λ>0 ，点C在什么位置？ λ<0呢？ λ=0呢？
设e1， e2是不共线的两个向量， AB 3e1 2e2 ， BC 2e1 4e2 ， CD 2e1 4e2 .
(1) 向量AC与CD是否共线？为什么？ (2)三点A 、、 C D是否共线？为什么？ (3) 向量AC与BD共线吗？
（
BC 2e1 4e 2 ， CD ke1 4e 2 ，且A、、 C D三点 共线，则实数k =
2、设二个非零向量e1，不共线，如果 e2 AB 2e1 3e2，
BC 6e1 23e2， CD 4e1 8e2，求证A、B、D三点共线。
3、在OAB中，两条中线AD、BE交于点G， 若OA a， OB b，用a， b表示OG。
例6
设e1 , e2为两个不平行向量.
当a与b反方向时，有b=-μa， 所以始终有一个实数λ，使b=λa。
定理: 向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ，使得 b=λa.
新课：
二、向量共线定理
b， 对于两个向量 a(a 0)， 如果有一个实 数λ，使得 b a(a 0)， 那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与a(a 0) 是 共线向量，那么有且只有一个实数λ，使 得 b a。
例3
2 设 AB a 5b ， BC 2a 8b， CD 3 a b 。 2 求证：A、B、D三点共线。




例4 如图，ΔABC中，C为AB中点。试问：
能否用OA ， OB来表示向量OC ? 1 1 A OC OA OB C 2 2
变1：若点C为AB边上靠 近B点的三等分点呢？ A 1 2 OC OA OB 3 3 变2：若点C为AB边上靠 A 近B点的四等分点呢？ 1 3 OC OA OB 4 4 O
运算律： 结合律
第一分配律
第二分配律
a a a a a


a b a b



练习：
a 已知非零向量 a ，求向量 的模 |a| a 结论： ① 是单位向量 |a| a ②与 a 同向的单位向量是 |a| a ③与a 反向的单位向量是 |a| a ④与 a 平行的单位向量是 |a|
说明： ①要证向量 a， b共线，只须证明存在实数λ ，使 得 b a 即可。
②推广：a // b 存在实数1，2，使得1 a 2 b
利用向量共线定理可以解决点共线或线共点的问题。
定理：向量 b 与非零向量 a 共线的条件是 有且仅有一个实数，使 b a.
思考1 此定理对b 0 成立否？ ——成立!
从速度的倍数到数乘向量
复习：
一、向量的数乘
定 义
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和
方向规定如下：
（1） a a
a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， （2）当 0 时，
a 的方向与 a 的方向相反；特别地，当 0 或 a 0 时， a 0
λ>0 时，点C在AB之间 λ<0 时，点C在AB或BA的延长线上 λ=0时，C点与A点重合
已知OA和OB是不共线向量， AC t AB t R , 试用OA和OB表示OC。
思考： 设O、A、B、C为平面上任意四点，且存在实数 s，t， 使 OC sOA tOB 若A、B、C三点共线，则 反之，若s+t=1，则 。 ；
k 0 因为e1 , e2不平行 1.
小结回顾:
一、概念与定理 ① λa 的定义及运算律 ② 向量共线定理 ( a≠0 ) b=λa 向量a与b共线
二、知识应用： 1.证明 向量共线； 2.证明 三点共线: AB=λBC 3.证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB、CD不重合
∵
AB=OB-OA =a+2b-(a+b)=b
又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b
∴
b a
AC=2AB
又 AB与AC有公共点A，
A、B、C三点共线.
总结:
用向量知识证明三点共线的方法:
A、B、C三点共线 AC // AB
存在唯一的实数 , 使得 AC AB
问题1：
∴
E
C
A B D
AC与AE 共线
变：若B、C分别是AD、AE的三等分点，证明：BC‖DE。
例题2:
已知任意两非零向量a、b， 试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
解：作图如右 a b C b B A b O
∴
依图猜想:A、B、C三点共线
思考:
1、如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa ？ 对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得 b=λa , 那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。
若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长 度的μ倍，即有|b|=μ|a|,且 当a与b同方向时，有b=μa;
例5
设O为平面上任一点，则A、B、C三点共线 结论： OC 1 t OA tOB
t R
或 A、B、C三点共线 OC sOA tOB ，其中s+t =1
练习：
1、设e1，是两个共线的向量，已知 e2 AB 2e1 ke 2， CB e1 3e 2 , CD 2e1 e 2。若A、B、D三点共线， 求实数k的值。
4）设e1， e 2是不共线的两个向量， AB 3e1 2e 2 ，
思考1：
一般地，设e1，是不共线的两个向量， e2 ， R， 若 e1 e2 0, 则 0 ， 0 。
反之，若e1 ， e2是不共线的两个向量， 且 0， 0，则 e1 e2 0
因为当b 0时, 考虑到a 0，只有一个实数 =0,
使得b a成立.
思考2此定理中的 a 0 能否去掉？——不能！
因为当a 0时, 必有b 0，此时可以取任意实数，
使得b a成立.
例题1:
如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断AC与AE是否共线? 解： ∵ AB+BC=AC 又 AE=AD+DE =3 AB+3 BC =3( AB+ BC ) =3 AC
A,B,C三点共线；
直线AB∥直线CD