立体几何章末文科复习案2
文科数学立体几何二轮复习
图3图2MFEPDCBAPDCBA 1.如图，在三棱柱111ABC ABC -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F分别为11AC 、BC 的中点.（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ；（3）求三棱锥E ABC -的体积.2. 如图2,四边形ABCD 为矩形,PD ⊥平面ABCD ,1AB =,2BC PC ==,作如图3折叠,折痕//EF DC .其中点E .F分别在线段PD .PC 上,沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ,并且MFCF ⊥.(1)证明：CF⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M CDE -的体积.3.如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ； （3）求点C 到平面D P A 的距离．4. 如图，在四棱锥ABCDP -中，⊥PC 平面A B C D ，,AB DC DC AC ⊥∥（I ）求证：DCPAC ⊥平面；（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.C 1B 1A 1FE CBA5.如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点。
（I ）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；（II ）若直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45，求三棱锥F A E C -的体积。
6. 如图，四棱锥A B C D P -中,AP⊥平面P C D ,AD∥BC，AD BC AB 21==,F E ,分别为线段PCAD ,的中点. （1）求证：AP ∥平面BEF ;（2）求证：BE ⊥平面PAC .7. 如图，三棱台DEFABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点.（I ）求证：//BD 平面FGH ； （II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .8.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，AB=2，BC=EF=1，，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.(Ⅰ)求证：//FG 平面BED ； (Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.9.如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.(I)证明：CD⊥平面1AOC ；DCB AP(II)当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为a 的值.10. 将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为56π， 11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.11. 在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形。
高中数学文科立体几何大题复习
高中数学文科立体几何大题复习文科立体几何大题复习一．解答题（共12小题）1．如图1，在正方形ABCD中，点，E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示．（1）求证：GR⊥平面PEF；（2）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．3．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．4．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．5．如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB⊥BC，AB=BC=2，∠BCD=60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．（Ⅰ）若=λ，且DN⊥AC，求λ的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B﹣DMN的体积．6．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．7．如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．（1）证明：BE⊥平面D1AE；（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．8．如图，已知多面体ABCDEF中，△ABD、△ADE均为正三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥CD∥EF，AD：EF：CD=2：3：4．（Ⅰ）求证：BD⊥平面BFC；（Ⅱ）若AD=2，求该多面体的体积．9．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．（Ⅰ）求证：PB=PD；（Ⅱ）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥的D﹣ACE体积．10．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．11．如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AF=ED=1．（Ⅰ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；（Ⅱ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥AB，AB=BC=CP=BP=2，CD=1．（1）求点B到平面DCP的距离；（2）点M为线段AB上一点（含端点），设直线MP与平面DCP 所成角为α，求sinα的取值范围．文科立体几何大题复习参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．如图1，在正方形ABCD 中，点，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ，R 分别在线段DH ，HB 上，且．将△AED ，△CFD ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图2所示．（1）求证：GR ⊥平面PEF ；（2）若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P ﹣DEF 的内切球的半径．【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 均为直角，∴在三棱锥P ﹣DEF 中，PE ，PF ，PD 三条线段两两垂直，∴PD ⊥平面PEF ，∵=，即，∴在△PDH 中，RG ∥PD ，∴GR ⊥平面PEF ．解：（Ⅱ）正方形ABCD 边长为4，由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2，∴S △PEF =2，S △PFD =S △DPE =4，=6，设三棱锥P ﹣DEF 的内切球半径为r ，则三棱锥的体积：=，解得r=，∴三棱锥P﹣DEF的内切球的半径为．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EA C∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，∵O是BD中点，∴E是PB中点．取AD中点H，连结BH，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BH⊥平面PAD，．∴==．3．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．【解答】证明：（1）如图，连结BD，由题意知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，又∵AQ=QD，∴Q为AD的中点，∴AD⊥BQ，∵△PAD是正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥PQ，又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB?平面PQB，∴AD⊥PB．解：（2）连结AC，交BQ于N，连结MN，∵AQ∥BC，∴，∵PN∥平面MQB，PA?平面PAC，平面MQB∩平面PAC=MN，∴根据线面平行的性质定理得MN∥PA，∴，综上，得，∴MC=2PM，∵MC=λPM，∴实数λ的值为2．4．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．【解答】解：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥面SBD，所以AC⊥SD．（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，则SD⊥OP，设正方形ABCD的边长为a，则SD=，OD=，则OD2=PD?SD，可得PD==，故可在SP上取一点N，使PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，得BE∥面PAC，由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．5．如图所示，△ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且AB⊥BC，AB=BC=2，∠BCD=60°，点M为BE的中点，点N在线段AC上．（Ⅰ）若=λ，且DN⊥AC，求λ的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥B﹣DMN的体积．【解答】解：（Ⅰ）取BC的中点O，连接ON，OD，∵四边形BCDE为菱形，∠BCD=60°，∴DO⊥BC，∵△ABC所在的平面与菱形BCDE所在平面垂直，∴DO⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，∴DO⊥AC，又DN⊥AC，且DN∩DO=D，∴AC⊥平面DON，∵ON?平面DON，∴ON⊥AC，由O为BC的中点，AB=BC，可得，∴，即λ=3；（Ⅱ）由平面ABC⊥平面BCDE，AB⊥BC，可得AB⊥平面BCDE，由，可得点N到平面BCDE的距离为，由菱形BCDE中，∠BCD=60°，点M为BE的中点，可得DM⊥BE，且，∴△BDM的面积，∴三棱锥N﹣BDM的体积．=V B﹣DMN，又V N﹣BDM∴三棱锥B﹣DMN的体积为．6．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，且侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°．（Ⅰ）求证：AB1⊥BC；（Ⅱ）若AB⊥AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为2，求AB的长．【解答】解：（I）取BC中点M，连结AM，B1M，∵AB=AC，M是BC的中点，∴AM⊥BC，∵侧面BB1C1C是菱形，∠B1BC=60°，∴B1M⊥BC，又AM?平面AB1M，B1M?平面AB1M，AM∩B1M=M，∴BC⊥平面AB1M，∵AB1?平面AB1M，∴BC⊥AB1．（II）设AB=x，则AC=x，BC=x，∵M是BC的中点，∴AM=，BB1=，B1M=，又∵AB1=BB1，∴AB1=，∴AB12=B1M2+AM2，∴B1M⊥AM．由（I）知B1M⊥BC，AM?平面ABC，BC?平面ABC，AM∩BC=M，∴B1M⊥平面ABC，∴V==，∴x=2，即AB=2．7．如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．（1）证明：BE⊥平面D1AE；（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：连接BE，∵ABCD为矩形且AD=DE=EC=2，∴AE=BE=2，AB=4，∴AE2+BE2=AB2，∴BE⊥AE，又D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE=AE，∴BE⊥平面D1AE．（2）=．取D1E中点N，连接AN，FN，∵FN∥EC，EC∥AB，∴FN∥AB，且FN==AB，∴M，F，N，A共面，若MF∥平面AD1E，则MF∥AN．∴AMFN为平行四边形，∴AM=FN=．∴=．8．如图，已知多面体ABCDEF中，△ABD、△ADE均为正三角形，平面ADE⊥平面ABCD，AB∥CD∥EF，AD：EF：CD=2：3：4．（Ⅰ）求证：BD⊥平面BFC；（Ⅱ）若AD=2，求该多面体的体积．【解答】解：（Ⅰ）因为AB∥CD，所以∠ADC=120°，△ABD为正三角形，所以∠BDC=60°．设AD=a，因为AD：CD=2：4=1：2，所以CD=2a，在△BDC中，由余弦定理，得，所以BD2+BC2=CD2，所以BD⊥BC．取AD的中点O，连接EO，因为△ADE为正三角形，所以EO⊥AD，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD．取BC的中点G，连接FG，OG，则，且EF∥OG，所以四边形OEFG为平行四边形，所以FG∥EO，所以FG⊥平面ABCD，所以FG⊥BD．因为FG∩BC=G，所以BD⊥平面BFC．（Ⅱ）过G作直线MN∥AD，延长AB与MN交于点M，MN与CD交于点N，连接FM，FN．因为G为BC的中点，所以MG=OA且MG∥OA，所以四边形AOGM为平行四边形，所以AM=OG．同理DN=OG，所以AM=OG=DN=EF=3．又AB∥CD，所以AM∥DN，所以AM∥DN∥EF，所以多面体MNF﹣ADE为三棱柱．过M作MH⊥AD于H点，因为平面ADE⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ADE，所以线段MH的长即三棱柱MNF﹣ADE的高，在△AMH中，，所以三棱柱MNF﹣ADE的体积为．因为三棱锥F﹣BMG与F﹣CNG的体积相等，所以所求多面体的体积为．9．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．（Ⅰ）求证：PB=PD；（Ⅱ）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥的D﹣ACE体积．【解答】解：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD且O为BD的中点．又PA⊥BD，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，又PO?平面PAC，∴BD⊥PO．又BO=DO，∴Rt△PBO∽Rt△PDO，∴PB=PD．（Ⅱ）取PD的中点Q，连接AQ，EQ，则EQ CD，又AF，∴AFEQ为平行四边形，EF∥AQ，∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD，∵PD?平面PCD，∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中点，∴AP=AD=．∵AQ⊥平面PCD，CD?平面PCD，∴AQ⊥CD，又AD⊥CD，又AQ∩AD=A，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥PA，又BD⊥PA，CD∩BD=D，∴PA⊥平面ABCD．故三棱锥D﹣ACE的体积为．10．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BG，则△EBG为直角三角形，∴EG=AC=AG=x，则BE==x，∵三棱锥E﹣ACD的体积V===，解得x=2，即AB=2，∵∠ABC=120°，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosABC=4+4﹣2×=12，即AC=，在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，则AE2+EC2=AC2=12，即2AE2=12，∴AE2=6，则AE=，∴从而得AE=EC=ED=，∴△EAC的面积S==3，在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，则AE=，AF==，则EF=，∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==，故该三棱锥的侧面积为3+2．11．如图，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AF=ED=1．（Ⅰ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；（Ⅱ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连结OE，由AC⊥OD，AC⊥DE，OD∩DE=D，得AC⊥OE，∴二面角E﹣AC﹣D的平面角为∠EOD，∵AF=ED=1，∴tan∠EOD=，∴二面角E﹣AC﹣D的正切值为．（Ⅱ）时，AM∥平面BEF，理由如下：作MN∥E D，则，∵AF∥DE，DE=3AF，∴，∴AMNF是平行四边形，∴AM∥FN，∵AM?平面BEF，FN?平面BEF，∴AM∥平面BEF．。
2012届高三数学文科二轮专题复习教案――立体几何
专题八 立体几何知识点1.空间几何体的三视图:正俯长对正,正左高平齐,左俯宽相等.2.空间几何体的侧面积、表面积、体积（1）直棱柱的侧面积S ch =侧．V Sh =柱体(2)正棱锥的周长为c ，斜高为h '，12S ch '=侧．13V Sh =锥体（3）正棱台的上、下底面的周长是c c '，，斜高是h '，1()2S c c h ''=+侧．1()3V S S S S h '=++台体 (4)圆柱母线的长为l ，底面半径为r ，2πS rl =侧，2πS r =底.圆柱的表面积222π2π2π()S S S rl r r r l =+=+=+侧底．2πV r h =圆柱(5)圆锥底面半径为r ，母线长为l，πS rl=侧，2πππ()S S S rl r r r l =+=+=+侧底．21π3V r h =圆锥(6)圆台的上、下底面半径分别为r r '，，母线长为l ，π()S r r l '=+侧．圆台的表面积2222π()πππ()S S S S r r l r r r r r l rl ''''=++=+++=+++侧上底下底．221π()3V r Rr R h =++圆台（7）球的表面积24πS R =.334R V π=3.平面的基本性质（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。
4. 直线与直线的位置关系（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. （2）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.（3）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行那么这两个角相等或互补。
5. 直线与平面的位置关系.（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内. （2）直线与平面平行判定定理：ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ （3）直线和平面平行性质定理：m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα（4）直线与平面垂直判定定理：αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. （5）直线与平面垂直的性质定理：m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα6. 平面与平面的位置关系：（1）空间两个平面的位置关系：相交、平行.ml αlmβαABC αlm αlγmβαllαβ（2）平面平行判定定理：βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交m l m l推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. （3）两个平面平行的性质定理：m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂（4）两个平面垂直性质判定：βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l（5）两个平面垂直性质定理：αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 7.空间距离,空间角(1)点到平面的距离的求解方法①直接求解法：从该点向平面引垂线，求垂线的长度 ②等体积代换法(2)空间角:①异面直线所成的角②直线和平面所成的角：直线和在平面的摄影所成的角 二面角例题１.（2008安徽文\理）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖例2 .下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ( )A ．9πB ．10π C ．11π D ．12π例3.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900. （1）求证：PC⊥BC； （2）求点A 到平面PBC 的距离.例4．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，045ADC ∠=，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ， 2PO =，M 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面ACM（Ⅱ）证明：AD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．DCABPMOmβαllβαlβαmP A B D C练习1.（2010浙江）（6）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ （B ）若l α⊥，l m //，则m α⊥ （C ）若l α//，m α⊂，则l m // （D ）若l α//，m α//，则l m //2.（2010陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 [B]（A ）2 （B ）1（C ）23（D ）133．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）A.26B. 23C. 33D. 234.（湖北卷）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ） A.38π B. 328πC. π28D. 332π 5.（2010全国卷）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（A ） 34 (B) 54(C)74(D) 346．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．429+πB ．1836+πC ．1229+πD ．1829+π7.几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是8.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .9.(2011.上海）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 .10.如图，在四棱台111A B C D A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD，11AD=A B ，BAD=∠60°（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.11.如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP,AD的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD正视图俯视图侧视图图1233FE ADPxyz NMABD C OP利用空间向量解立体几何一、用向量法解空间位置关系 1.平行关系线线平行⇔两线的方向向量平行线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行⇔两面的法向量平行 2.垂直关系线线垂直（共面与异面）⇔两线的方向向量垂直 线面垂直⇔线与面的法向量平行 面面垂直⇔两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离1.点点距离:点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+-2.点线距离:求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离：方法：在直线上取一点(),Q x y ，则向量PQ在法向量(),n A B =上的射影P Q n n⋅ =0022Ax By C A B+++即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 :求点()00,P x y 到平面α的距离：方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ，计算平面α的法向量n ，计算PQ在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角1.线线夹角（共面与异面）线线夹角⇔两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角:求线面夹角的步骤：① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角）:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.1.（2009北京卷）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.2．安徽卷（18）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线MN OCD平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。
2018届文科二轮复习立体几何讲义
立体几何专题复习二1．已知三棱锥S ABC -所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面,,SCB SA AC = ,SB BC =三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为 .2．四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两互相垂直，且其长分别为2,3,4若四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，则这个球的表面积为3．已知正四棱锥S ABCD -的体积为2，，则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积为____．4．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 的表面积等于（ ）A .4πB .3πC .2πD .π5．在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球。
若,6AB BC AB ⊥=,18,3BC AA ==,则V 的最大值是（ ）A .4πB .92πC .6πD .323π 6．已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2,AH HB AB =⊥平面,H α为垂足,α截球O 所得截面的面积为,π则球O 的表面积为______．7．如图，三棱柱111ABC A B C -中，11,,60o CA CB AB AA BAA ==∠=．(Ⅰ)证明：1AB A C ⊥；(Ⅱ)若12,AB CB AC ===求三棱柱111ABC A B C -的体积．8．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设置1AP =，AD =P ABD -的体积V =，求A 到平面PBD 的距离．9．如图，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =.顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G ．（1） 证明：G 是AB 的中点；（2） 在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．10．如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形1B C 的中点为O 点，且OA ⊥平面11BB C C ． （Ⅰ）证明：1B C AB ⊥；(Ⅱ)若11,60,1o AC AB CBB BC ⊥∠==，求三棱柱111ABC A B C -的高．11．如图，四棱锥P ABCD -中PA ⊥底面,,3ABCD AD BC AB AD AC ===,4,PA BC M ==为线段AD 上一点，2,AM MD N =为PC 的中点．（Ⅰ）证明：//MN 平面PAB ；（Ⅱ）求四面体N BCM -的体积．12．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，60o BAD ∠=，已知2,PB PD PA ===．（Ⅰ）证明：PC BD ⊥；(Ⅱ)若点E 为PA 的中点，求三棱锥P BCE -的体积．13．如图，四边形ABCD 为菱形．G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；(Ⅱ)若120,o ABC AE EC ∠=⊥，三棱锥E ACD -求该三棱锥的侧面积. 14．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面11,90,,2ACB AC BC AA D ∠===是棱1AA 的中点． （1） 证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；（2）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.15．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点．（Ⅰ）证明：//BC 1平面1A CD ；(Ⅱ)设12,AA AC CB AB ====求三棱锥1C A DE -的体积． 16．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，,AB AD ,CD //AB ⊥3AA ,2AD ,2AB 1===，E 为CD 上一点，1,3DE EC ==.(Ⅰ)证明：BE ⊥平面11BB C C ；(Ⅱ)求点1B 到平面11EA C 的距离．17．如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA=PD=AB=DC,90APD ∠=，且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积． B A CDB 1C 1A 1。
高三数学立体几何专题复习教案
（解题思想方法归纳）
问题一： 证明线线平行
1．证明两直线 、 平行，若直线 和直线 共面时，则可以用平面几何中常用的一些方法（如证明 和 是一个平行四边形的一组对边）证明它们无公共点。
在立体几何中一般还有以下几种思路：
①根据公理4
②根据“线面平行Байду номын сангаас的性质定理
③根据“线面垂直”的性质定理，若直线 和 都与平面 垂直，则 // 。
②利用中位法。如给出异面直线AB和CD，连接AC、AD、BC，然后再分别取这三条线段的中点E、F、G，连接EF、EG、FG得到△EFG，则∠FEG就是所求角或所求角的补角。这种方法优点是作异面直线所成角比较容易，但缺点是△EFG中有一边GF的长度不容易求。
3．向量方法：
转化成求两个向量的夹角（即等于所求的异面直线所成的角或其补角的大小）
2．向量方法：
①转化为证明向量共线。
②根据共面向量定理。
③证明向量与平面的法向量相互垂直。
问题三： 证明面面平行
1．传统几何方法：
①根据两个平面平行的定义
②根据两个平面平行的判定定理
③垂直于同一条直线的两个平面平行
④平行于同一平面的两个平面平行
2．思维过程：
线线平行 线面平行 面面平行
线线平行 线面垂直 面面平行
问题八： 求平面的斜线与平面所成角
1．传统几何方法：
①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。
②利用三面角定理（即最小角定理） 求 。
2．向量方法：设 为平面 的法向量，直线 与平面 所成的角为 ，则
问题九： 求二面角
1．作出二面角的平面角并通过解三角形计算。作平面角常用方法如下：
(完整)《立体几何》专题(文科)
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高三文科数学第二轮复习资料—-《立体几何》专题一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图：二、练习题：1．l 1∥l 2,a ，b 与l 1，l 2都垂直,则a ，b 的关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交、异面都有可能2．三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V,P 、Q 分别为AA 1、CC 1上的点,且满足AP=C 1Q,则四棱锥B —APQC 的体积是A ．B ．C ．D ．3．设、、为平面, 、、为直线，则的一个充分条件是A ．B ．C ．D ． 4．如图1，在棱长为的正方体中， P 、Q 是对角 线,若的体积为 A ． B ． C ． D ．不确定5．圆台的轴截面面积是Q ，母线与下底面成60°角,则圆台的内切球的表面积是AB QC QD Q6．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点，O 为AC 与BD的交点（如图），求证： （1）EG∥平面BB 1D 1D; （2）平面BDF∥平面B 1D 1H; （3）A 1O⊥平面BDF ； （4）平面BDF⊥平面AA 1C ．7．如图，斜三棱柱ABC —A’B'C’中,底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为 b,侧棱AA'与底面相邻两边AB 、AC 都成450角,求V 21V 31V 41V 32αβγm nlm β⊥,,l m l αβαβ⊥=⊥,,m αγαγβγ=⊥⊥,,m αγβγα⊥⊥⊥,,n n m αβα⊥⊥⊥a AB C D A B C D -1111A C 1aPQ =2P B D Q -a3336a3318a332412Q 232π23π此三棱柱的侧面积和体积．8．在三棱锥P —ABC 中，PC=16cm ，AB=18cm ，PA=PB=AC=BC=17cm ，求三棱锥的体积V P-ABC ．9．如图6为某一几何体的展开图，其中是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC ，AQ=AP ，点S 、D 、A 、Q 及P 、D 、C 、R 共线。
高三第二轮专题复习资料：立体几何题型与方法(文科)
专题二：立体几何题型与方法（文科）一、 考点回顾1．平面（1）平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
（2）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
（3）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（4）证共面问题一般用落入法或重合法。
（5）经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线.（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。
（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（5）两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （l 1或l 2在这个做出的平面内不能叫l 1与l 2平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.（2）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）（3）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）（4）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA . ● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（5）a.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）] b.射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
高三文科数学第二轮复习资料 立体几何
高三文科数学第二轮复习资料——《立体几何》专题一．选择题1.(2010湖北文数)用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A . ①② B . ②③ C . ①④ D .③④ 2．（2010山东文数）在空间，下列命题正确的是（ ）.A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行 3．（2010安徽文数）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（ ）.A ．280B ．292C ．360D ．3724.(2010·陕西文数)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A .2B .1C .23 D .135.（2010年辽宁卷）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，A B B C ⊥，1SA A B ==，2216、（2010年北京卷）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：BCD3、（2010年山东卷）在空间，下列命题正确的是（A ）平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面（C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两个平面平行 4、（2010年陕西卷）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （C ）23（D ）13（A ）2 （B ）15、（2010年上海卷）已知四棱椎P A B C D -的底面是边长为6 的正方形，侧棱P A ⊥底面A B C D ，且8P A =，则该四棱椎的体积是 。
6、（2010年天津卷）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。
高三文科数学第二轮《立体几何》专题
答案：D
2．如下图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是Rt△ABC，∠A 是直角，且BC1⊥AC，作C1H⊥底面ABC，垂足为H.
(1)试判断H点的位置，并说明理由； (2)若AB＝AC＝2，且三棱柱的高为 2 6，求三棱柱ABC－ A1B1C1的体积．
解析：(1)∵∠A为直角，又∵CA⊥AB，CA⊥BC1， ∴CA⊥平面C1AB， ∴平面C1AB⊥平面CAB. 在平面C1AB内作C1H⊥AB， ∴C1H⊥平面CAB，∴H点在直线BA上． 2 6， (2)∵h＝ ∴VABC－A1B1C1＝SRt△ABC· h
答案：D
高分突破
线线、线面的位置关系
正三棱柱A1B1C1—ABC中，点D是BC的中点，BC＝ 2BB1. 设B1D∩BC1＝F.
(1)求证：A1C∥平面AB1D； (2)求证：BC1⊥平面AB1D.
答案： 1.两点 2.过不在一条直线上 3．一个 过该点 4.互相平行
整合训练
1．给出下列命题，正确命题的个数是( ) ①梯形的四个顶点在同一平面内；②有三个公共点的两个 平面必重合；③三条平行直线必共面；④每两条都相交且交点 不相同的四条直线一定共面． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B
基础梳理 三、表面积公式 1．多面体的表面积 多面体的表面积为各个面的________． 2．旋转体的表面积 (1)圆柱的表面积S＝________； (2)圆锥的表面积S＝________； (3)圆台的表面积S＝π (r′2＋r2＋r′L＋rL)； (4)球的表面积S＝________. 四、体积公式 1．柱体的体积V＝________； 2．锥体的体积V＝________； 3．台体的体积V＝________； 4．球的体积V＝________.
高三文科数学立体几何专题复习(教师用) (2)
2014 届高三文科数学立体几何专题练习一、空间基本元素：直线与平面之间地点关系的小结．以以下图：条件线线平行线面平行面面平行垂直关系结论假如 a∥ b， b∥ c，那么假如 a∥ α， a假如α ∥ β ，α ∩β ，β假如 a⊥ α，b⊥线线平行a∥ c ∩ α =b，那么 a∥ b γ =a，β ∩ γ =b，那么 a∥ bα，那么 a∥ b线面平行假如 a∥ b，a α，b——假如α ∥ β， a——α，那么 a∥ αα，那么α∥ β假如 a α，b α，c 假如 a α，b α ,a ∩假如α ∥ β，β ∥假如 a⊥ α，a⊥面面平行β，d β，a∥ c，b∥d， b=P,a ∥ β,b ∥ β，那么γ，那么α∥ γβ ，那么α∥ βa∩ b=P，那么α∥ βα ∥ β条件线线垂直线面垂直面面垂直平行关系结论假如 a⊥ α， b假如三个平面两两α ，那假如 a∥ b，a⊥ c，线线垂直三垂线定理及逆定理么 a⊥ b 垂直，那么它们交线两两垂直那么 b⊥ c假如 a⊥ b，a⊥ c，b α ，假如α ⊥ β ，α ∩c α，b∩ c=P，那么 a 假如 a⊥ α， b∥线面垂直——β =b，a α ,a ⊥ b，⊥α那么 a⊥βa，那么 b⊥ α面面垂直定义（二面角等于900）假如 a⊥ α， a β ，那————么β ⊥ α一、选择题n,1和直线m 、以下命题中真命题是（）．关于平面A．若m , m n,则n∥B．若m∥,n∥,则m∥nC．若m , n∥ ,则m∥n D．若m、n与所成的角都等于90 度，则m∥n2．给定空间中的直线L 及平面，条件“直线L 与平面内无数条直线都垂直”是“直线L 与平面垂直”的（）条件A ．充要 B ．充足非必需 C ．必需非充足 D ．既非充足又非必需3．设c, b是两条直线，, 是两个平面，则 c b 的一个充足条件是（）A ．c , b // , B．c ,b , // C ．c ,b , // D ．c , b// ,4．已知m, n是两条不一样直线，, , 是三个不一样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若， m , 则m B．若, , 则‖主左视 a 视图图C．若m‖, m‖,则‖ D ．,l , l c, c l D C俯 a5．已知各极点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）视图A BaA ． 16B ． 20C ． 24D ．326． 三棱锥 A-BCD 中， AC ⊥ BD ， E 、F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点，则四边形EFGH 是（）A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．正方形7．（如图，上页）四棱锥P ABCD 的极点 P 在底面 ABCD 中的投影恰巧是 A ，其三视图如图．则四棱锥3P ABCD 的表面积为 ()A ． 3a 2B ． 2a2C ． 3a 22a 2D ． 2a 22a 248．图 2 为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（）正视图侧视图A ． 6B ． 24C ． 12 3D ． 329．已知正方体的 ABCDA 1B 1C 1D 1 棱长为 1，则三棱锥 C BC 1 D 的体积是（）俯视图A ．1B ．1C．1D．1图 2326a，则三棱锥 P10．如图 1，在棱长为 a 的正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中， P 、Q 是对角线 A 1C 上的点， 若 PQBDQ 的2体积为 （）A 1D 1 A ． 3a 3B ． 3 a3C ．3 a3D ．不确立B 1C 1Q361824APD二、填空题B图 1 C11．已知正四棱锥 S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点，则 AE ， SD 所成的角的余弦值为．12．已知正四棱柱的对角线的长为6 ，且对角线与底面所成角的余弦值为3，则该3正四棱柱的体积等于．13．如图，在正三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中， AB 1．若二面角 CAB C 1 的大小为 60 ，则点 C 到平面 ABC 1 的距离为 _____________．P三、解答题14．如图，已知 PA ⊙ O 所在的平面， AB 是⊙ O 的直径， AB2， C 是⊙ O 上一点，F且 ACBC ， PC 与⊙ O 所在的平面成 45 角， E 是 PC 中点． F 为 PB 中点．(1) 求证：EF // 面 ABC ； (2) 求证： EF 面PAC ；E（ 3）求三棱锥 B-PAC 的体积．AOB15．如图，四周体 ABCD 中， O 、E 分别是 BD 、 BC 的中点，ACCA CBCD BD 2, AB AD2.（ 1）求证： AO平面 BCD ；（ 2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值；D（ 3）求点 E 到平面 ACD 的距离． O16．如图，已知棱柱 ABCD —A 1B 1C 1D 1 的底面是菱形，且 AA 1⊥面 ABCD ，∠ DAB=60 °， AD=AA 1=a ， F 为棱 AA 1的中点， M 为线段 BD 1 的中点．BEC（1）求证： MF ∥面 ABCD ；（2）求证： MF ⊥面 BDD 1B 1．(3)求三棱锥 A-BDD 1的体积17．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中， AC ＝ BC ＝ 1，∠ ACB ＝ 90°，AA1＝ 2 ，D是A1B1中点．（ 1）求证 C1D ⊥平面 A1B ；（ 2）当点 F 在 BB1上什么地点时，会使得AB1⊥平面 C1DF ？并证明你的结论．18、如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，△ ACD为等边三角形，AD DE 2AB，F为 CD 的中点.(1)求证： AF // 平面 BCE ；(2)求证：平面 BCE 平面 CDE ；CF 19、直三棱柱ABC A1B1C1中， AC BC AA1 2，ACB 90 . E 为BB1的中点，DE 3 .（1）求证：CD⊥平面A1ABB1；（2）求三棱锥A1CDE的体积 .20、如图，在底面是矩形的四棱锥P ABCD 中，PA面ABCD，E、F为别为PD、AB的中点，且PA AB 1，BC 2 ，P （1）求四棱锥E ABCD的体积；（2）求证：直线AE∥平面PFC.BEAD D点在 AB上且E参照答案AFD B一、 DCCDC BDBDAC10 ：A1C= √ 3a,PQ=a/2,PQ= √ 3/6A1C,BC ⊥平面 ABB1A1 ， A1B ∈平面 ABB1A1 ，BC ⊥ A1B ，A1B= √ 2a,S△A1BC= √ 2a^2/2,S△PQB=S △ A1BC*( √3/6)= √6a^2/12,V 三棱 A1-BDC=S △ BDC*AA1/3=(a^2/2)*a/3=a^3/6,D 至平面 A1BC 距离 h,V 三棱 D-A1BC=S △ A1BC*h/3=( √ 2a^2/2)h/3= √ 2ha^2/6,V 三棱 A1-BDC=V三棱D-A1BC,a^3/6= √ 2ha^2/6,h= √ 2a/2,∴VP-BDQ=S △ BPQ*h/3=(√ 6a^2/12)*( √ 2a/2)/3=√ 3a^3/36312． 8 13． 3/4、二、 11．314． (1) 明：在三角形 PBC中，E是PC中点． FPB 中点因此 EF//BC ， BC 面 ABC, EF 面 ABC, P因此 EF // 面ABC ⋯⋯4分FPA 面 ABCBC PA ⋯⋯（1） E(2)面 ABCBC又 AB 是⊙O的直径，因此 BC AC ⋯⋯（2）⋯⋯7分 A O B由（ 1）（ 2）得BC 面 PAC ⋯⋯⋯8分C因 EF//BC BC 面 PAC ，因此 EF 面PAC ⋯⋯9分（ 3）因PA ⊙ O 所在的平面，AC是 PC在面ABC 内的射影，PCA 即PC 与面ABC 所成角，PCA 450 ， PA=AC ⋯⋯⋯ 11 分在 Rt ABC 中， E 是 PC 中点，BAC , AC BC2 ⋯⋯12分4VB PAC VP ABC1S ABC PA 2 ⋯14 分3 315．方法一：（ 1）明：OC AMDOBO DO, AB AD, AO BD. BO DO, BCCD, COBD.在AOC 中，由已知可得 AO 1,CO3. 而 AC2,AO 2 CO 2AC 2 ,AOC 90o , 即 AO OC.BD OC O,AO 平面 BCD（ 2）解：取 AC 的中点 M ，连结 OM 、 ME 、 OE ，由 E 为 BC 的中点知 ME ∥AB,OE ∥DC 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角在OME 中， EM1AB2,OE1DC 1,22 2OM 是直角AOC 斜边 AC 上的中线， OM1AC 1,cosOEM 2,242 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为4（ 3）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.V E ACDVA CDE,1h.S ACD1.AO.S CDE .33在ACD 中， CA CD2, AD2,SACD1 222 ( 2 ) 27.22 231 33AO.S CDE 1212 22而 AO 1,S CDE4,hSACD7.2272点 E 到平面 ACD 的距离为21 .716 证明：（ 1）连结 AC 、 BD 交于点 O ，再连结 MO 1OM // A 1A ，又AF 1A 1 A, OM // AF2四边形 MOAF 是平行四边形 , MF // OA 又 OA 面 ABCD MF // 面 分ABCD5（ 2）底面是菱形 , AC BD又 B 1B 面ABCD , AC 面ABCDACB 1 B,AC面 BDD 1B 1又MF // ACMF面 BDD 1B 110（3）3 a 3 ⋯⋯ 14 分 1217．剖析：（ 1）因为C 1D所在平面A 1B 1C 1垂直平面A 1B，只需 明C 1D垂直交A 1B 1，由直 与平面垂直判定定理可得 C 1D ⊥平面 A 1B ．（ 2）由（ 1）得 C 1D ⊥ AB 1 ，只需D 作 AB 1 的垂 ，它与 BB 1 的交点即 所求的 F 点地点．（ 1） 明：如 ，∵ ABC — A 1B 1C 1 是直三棱柱， ∴ A 1C 1 ＝B 1C 1 ＝ 1，且∠ A 1C 1B 1 ＝ 90°．又 D 是 A 1B 1 的中点，∴ C 1D ⊥ A 1B 1 ． ∵ AA 1 ⊥平面 A 1B 1C 1 ， C 1D平面 A 1B 1C 1 ，∴ AA 1 ⊥ C 1D ，∴ C 1D ⊥平面 AA 1B 1B ．（ 2）解：作 DE ⊥AB 1 交 AB 1 于 E ，延 DE 交 BB 1 于 F ， C 1F ， AB 1⊥平面 C 1DF ，点 F 即 所求．事 上，∵C 1D ⊥平面 AA 1 BB ，AB 1平面 AA 1B 1B ， ∴ C 1D ⊥ AB 1 ．又 AB 1 ⊥DF ， DFC 1D ＝D ，∴AB 1 ⊥平面 C 1DF ．点 ：本 （ 1）的 明中， 得C 1D ⊥A 1B 1 后，由 ABC —A 1B 1C 1 是直三棱柱知平面C 1 A 1 B 1 ⊥平面 AA 1B 1B ，立得 C 1D ⊥平面 AA 1B 1B ．（2）是开放性探究 ，注意采纳逆向思 的方法剖析 ．18、 (1) 法一：取 CE 的中点 G ， FG 、BG .B∵ F CD 的中点，∴ GF // DE 且 GF1DE .EABACD DEACD2∵ 平面 平面 ，GA，MH∴ AB//DE ，∴ GF // AB .又 AB1DE ，∴GF AB .CD2∴四 形 GFAB 平行四 形， AF //BG .F∵ AF平面 BCE ， BG平面 BCE ，∴ AF // 平面 BCE .法二：取DE 的中点 M ， AM 、FM .∵ F CD 的中点，∴ FM // CE .∵ AB平面 ACD ， DE平面 ACD ，∴DE// AB .又 AB1 DEME，2∴四 形 ABEM 平行四 形， AM // BE .∵ FM 、AM平面BCE ， CE 、 BE平面BCE ，∴FM //平面BCE ， AM // 平面BCE .又 FM AM M ，∴平面 AFM // 平面 BCE .∵ AF平面 AFM ，∴ AF // 平面 BCE .(2) 证：∵ACD 为等边三角形， F 为 CD 的中点，∴ AFCD .∵ DE平面，AF平面，∴AF .ACDACDDE又 CD DE D ，故 AF平面 CDE .∵ BG// AF ，∴ BG平面 CDE .∵BG 平面 BCE ，∴平面 BCE 平面 CDE .22119、解： (1) 在 Rt △ DBE 中， BE=1， DE=3 ，∴ BD=DE －BE = 2 = 2 AB ，∴ 则 D 为 中点 , 而 AC=BC ， ∴ ⊥ABCD AB又∵三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 为直三棱柱 , ∴ CD ⊥ AA 1又 AA 1∩ AB =A 且 AA 1、 AB 平面 A 1ABB 1故 CD ⊥平面 A 1ABB 1（ 2）∵ A 1ABB 1 为矩形，∴△ A 1AD ，△ DBE ，△ EB 1A 1 都是直角三角形，∴SA 1DESA 1 ABB 1SA 1ADSDBESEB 1A 11113=2×2 2 －2 × 2 ×2－2 × 2 ×1－2×22×1=2 2∴V =V = 3×S ×CD= 3 × 2 2× 2=1A1 －CDE C －A1DE 1 A1DE1 3∴三棱锥1－的体积为１．A CDE20、解：（ 1）取 AD 的中点 O ，连结 EO,则 EO是PAD 的中位线，得 EO ∥ PA,故 EO 面 ABCD,EO 是四棱锥 EABCD 的高， V E ABCD1S ABCD EO 1 1 2 1 133 23（ 2 ）取 PC 的中 点 G, 连 EG,FG, 由 中 位 线得 EG ∥ CD,EG=1CD=AF,四边形 AFGE 是平行四边形，2AE 面 PFCFG面 PFCAE ∥面PFCAE // FG。
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立体几何复习案（二）
平面的基本性质与平行的判定与性质
知识点一平面的基本性质
1．公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
2．公理2：过______________的三点，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个不重合的平面有______公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．4．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条______直线有且只有一个平面；推论3：经过两条______直线有且只有一个平面．
例1.下列命题：①空间不同三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；
⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是________．
例2.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
练习：以下四个命题中，正确命题的个数是( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
知识点二 直线与平面平行
一.直线与平面平行的判定与性质
注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行
（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面α平行，记作L ||α。
（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行. 符号表示：
3.性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.简记为：线面平行，则线线平行. 符号表示： 二.平面与平面平行的判定与性质
1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
符号表示为：平面α、平面β，若a ∩β＝∅，则a ∥β
2、判定定理：
3、性质定理：
111111
求证：(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
练习:如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．求证：GF∥平面ADE.
例4.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD ，BC∥平面GEFH. (1)证明：GH∥EF；
(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．
练习:1.如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点． (1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH∥平面BED 1F.
2. 如图所示，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点． (1)当A 1D 1
D 1C 1等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1?
(2)若平面BC 1D∥平面AB 1D 1，求AD
DC
的值．。