高考数学二轮专题检测【13】以函数为背景的创新题型(含答案)

13 以函数为背景的创新题型
1．设D ＝{(x ，y )|(x －y )(x ＋y )≤0}，记“平面区域D 夹在直线y ＝－1与y ＝t (t ∈[－1,1])之间的部分的面积”为S ，则函数S ＝f (t )的图象的大致形状为________．
答案 ③ 解析
如图，平面区域D 为阴影部分，当t ＝－1时，S ＝0，排除④；当t ＝－12时，S >1
4S max ，排除①
②.
2．设函数f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意的x ∈[a ，b ]，都有|f (x )－g (x )|≤k (k >0)，则称f (x )与g (x )在[a ，b ]上是“k 度和谐函数”，[a ，b ]称为“k 度密切区间”．设
函数f (x )＝ln x 与g (x )＝mx －1x 在[1
e ，e]上是“e 度和谐函数”，则m 的取值范围是________．
答案 [－1，e ＋1]
解析 设h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －mx －1
x
＝－m ＋1
x
＋ln x ，
h ′(x )＝－1
x 2＋1x ＝x －1
x 2，
故当x ∈[1
e ，1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减；
当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0，函数h (x )单调递增． 所以函数h (x )的最小值为h (1)＝－m ＋1，
而h (1e )＝－m ＋e －1，h (e)＝－m ＋1
e
＋1，
显然e －1>1
e ＋1，
所以h (1
e
)>h (e)，
故函数h (x )的最大值为h (1
e
)＝－m ＋e －1.
故函数h (x )在[1
e ，e]上的值域为[－m ＋1，－m ＋e －1]．
由题意，得|h (x )|≤e ，即－e ≤h (x )≤e ，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
－m ＋1≥－e ，－m ＋e －1≤e ，解得－1≤m ≤1＋e.
3．(2014·苏州模拟)对于函数f (x )，若任意的a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边
长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．已知函数f (x )＝e x ＋t
e x ＋1是“可构造三角形函数”，则实数
t 的取值范围是________．
答案 [1
2
，2]
解析 因为对任意的实数x 1，x 2，x 3∈R ， 都存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，
故f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1，x 2，x 3∈R 恒成立．
由f (x )＝e x ＋t e x ＋1＝1＋t －1
e x ＋1
，
设e x ＋1＝m (m >1)，则原函数可化为f (m )＝1＋t －1
m (m >1)，
当t >1时，函数f (m )在(1，＋∞)上单调递减，
所以f (m )∈(1，t )，此时2<f (x 1)＋f (x 2)<2t,1<f (x 3)<t ，要使f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1，x 2，x 3∈R 恒成立，
需t ≤2，所以1<t ≤2；
当t ＝1时，f (x )＝1，显然满足题意； 当t <1时，函数f (m )在(1，＋∞)上单调递增， 所以y ∈(t,1)，此时2t <f (x 1)＋f (x 2)<2，t <f (x 3)<1， 要使f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1，x 2，x 3∈R 恒成立，
需满足2t ≥1，所以1
2
≤t <1.
综上t ∈[1
2
，2]．
4．若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称．则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同
一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
log 2x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数的“友好点对”有________
对． 答案 2
解析 函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x (x >0)，
－x 2－4x (x ≤0)
的图象及函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A ，B 两点关于原点的对称点一定在函数f (x )＝－x 2－4x (x ≤0)的图象上，故函数f (x )的“友好点对”有2对．
5．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝lg x －2
x 的
零点，则[x 0]＝________. 答案 2
解析 ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
∴函数f ′(x )＝1x ＋2
x 2>0，
即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2
e >0，
知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.
6．(2014·辽宁改编)已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；
②对所有x ，y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<1
2
|x －y |.
若对所有x ，y ∈[0,1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为________．
答案 14
解析 取y ＝0，则|f (x )－f (0)|<12|x －0|，即|f (x )|<1
2x ，
取y ＝1，则|f (x )－f (1)|<1
2
|x －1|，
即|f (x )|<1
2
(1－x )．
∴|f (x )|＋|f (x )|<12x ＋12－12x ＝1
2，
∴|f (x )|<1
4
.
不妨取f (x )≥0，则0≤f (x )<14，0≤f (y )<1
4
，
∴|f (x )－f (y )|<14－0＝1
4
，
要使|f (x )－f (y )|<k 恒成立，只需k ≥1
4
.
∴k 的最小值为1
4
.
7．设集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 为“垂直双点集”．给出下列四个集合：
①M ＝{(x ，y )|y ＝1
x }；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}；③M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }；④M ＝{(x ，y )|y ＝
e x －2}．其中是“垂直双点集”的序号是________． 答案 ②④
解析 对于①，y ＝1
x 是以x 轴，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，
任意(x 1，y 1)∈M ，不存在(x 2，y 2)∈M ，满足“垂直双点集”的定义；对任意(x 1，y 1)∈M ，在另一支上也不存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，所以不满足“垂直双点集”的定义，不是“垂直双点集”．
对于②，M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}，如图1所示，在曲线y ＝sin x ＋1上，对任意的点B (x 1，y 1)∈M ，总存在点C (x 2，y 2)∈M ，使得OB ⊥OC ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，故M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}是“垂直双点集”．
对于③，M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }，如图2所示，在曲线y ＝log 2x 上，取点(1,0)，则曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直双点集”．
对于④，M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}，如图3所示，在曲线y ＝e x －2上，对任意(x 1，y 1)∈M ，总存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，例如取(0，－1)，(ln 2,0)，满足“垂直双点集”的定义．
8．如图展示了由区间(0,4)到实数集R 的一个映射过程：区间(0,4)中的实数m 对应数轴上的点M (如图1)，将线段AB 围成一个正方形，使两端点A ，B 恰好重合(如图2)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y 轴上(如图3)，点A 的坐标为(0,4)，若图3中直线AM 与x 轴交于点N (n,0)，则m 的象就是n ，记作f (m )＝n .现给出以下命题：
①f(2)＝0；
②f(x)的图象关于点(2,0)对称；
③f(x)在区间(3,4)上为常数函数；
④f(x)为偶函数．
其中真命题为________(写出所有真命题的序号)．
答案①②③
解析如图所示．
①由定义可知2的象为0.即f(2)＝0；②由图象可知关于点(2,0)对称的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；③结合图形可知m∈(3,4)时其象为定值，即函数在此区间上为常数函数；④因为函数的定义域为[0,4]，不关于原点对称，故函数不是偶函数．综上可知命题①②③是正确的．
9．对于函数f(x)，若存在区间M＝[a，b](其中a<b)，使得{y|y＝f(x)，x∈M}＝M，则称区间M 为函数f(x)的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f(x)＝(x－1)2；②f(x)＝|2x－1|；③f(x)＝cos π
2x；④f(x)＝e
x.
其中存在“稳定区间”的函数有________．(填出所有满足条件的函数序号)
答案①②③
解析据已知定义所谓的“稳定区间”即函数在区间[a，b]内的定义域与值域相等．
问题可转化为已知函数y＝f(x)的图象与直线y＝x是否相交，若相交则两交点所在区间即为函数的“稳定区间”，数形结合依次判断①②③均符合条件，而对于④易知由于f′(x)＝e x，故f(x)＝e x在原点处的切线方程即为y＝x，故不符合条件．综上可知①②③均为存在“稳定区间”的函数．
10．(2014·山东)已知函数y＝f(x)(x∈R)．对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))
对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．
答案 (210，＋∞)
解析 由已知得h (x )＋4－x 2
2＝3x ＋b ，所以h (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋
2b －4－x 2>4－x 2，3x ＋b >4－x 2恒成立．
在同一坐标系内，画出直线y ＝3x ＋b 及半圆y ＝4－x 2(如图所示)，可得b
10
>2，即b >210，故答案为(210，＋∞)．
11．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2 x ，f 2(x )＝log 2 (x ＋2)，f 3(x )＝(log 2 x )2，f 4(x )＝log 2(2x )．则“同形”函数是________． 答案 f 2(x )与f 4(x )
解析 f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将其向下平移1个单位得到f (x )＝log 2x ，再向左平移2个单位，即得到f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象．故根据新定义得，f 2(x )＝log 2 (x ＋2)与f 4(x )＝log 2 (2x )为“同形”函数．
12．已知集合A ＝{1,2,3，…，2n }(n ∈N *)．对于A 的一个子集S ，若S 满足性质P ：“存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素s 1，s 2，都有|s 1－s 2|≠m ”，则称S 为理想集．对于下列命题：
①当n ＝10时，集合B ＝{x ∈A |x >9}是理想集；
②当n ＝10时，集合C ＝{x ∈A |x ＝3k －1，k ∈N *}是一个理想集；
③当n ＝1 000时，集合S 是理想集，那么集合T ＝{2 001－x |x ∈S }也是理想集． 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)． 答案 ②③
解析 根据元素与集合的关系，根据理想集的定义逐一验证，集合的元素是否具有性质P ，并
恰当构造反例，进行否定．
(1)当n＝10时，A＝{1,2,3，…，19,20}，B＝{x∈A|x>9}＝{10,11,12，…，19,20}因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b1＝10与b2＝10＋m，使得|b1－b2|＝m成立．因而B不具有性质P，不是理想集，故①为假命题．
(2)对于C＝{x∈A|x＝3k－1，k∈N*}，因为可取m＝1<10，对于该集合中任意一对元素c1＝3k1
－1，c2＝3k2－1，k1，k2∈N*，都有|c1－c2|＝3|k1－k2|≠1.故C具有性质P，②为真命题；(3)当n＝1 000时，则A＝{1,2,3，…，1 999,2 000}，因为T＝{2 001－x|x∈S}，任取t＝2 001－x0∈T，其中x0∈S，S⊆A，所以x0∈{1,2,3，…，2 000}，从而1≤2 001－x0≤2 000，即t ∈A，所以T⊆A.由S具有性质P，就是存在不大于1 000的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1－s2|≠m.对于上述正整数m，从集合T＝{2 001－x|x∈S}中任取一对元素t1＝2 001－x1，t2＝2 001－x2，其中x1，x2∈S，则有|t1－t2|＝|x1－x2|≠m，所以集合T＝{2 001－x|x∈S}具有性质P，③为真命题．故填②③.。