2018版数学北师大版选修2-2学案：第四章 定积分 1-2

1.2 定积分
学习目标 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．
知识点一 定积分的概念
思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、估计误差”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限． 梳理 (1)定积分的定义
一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )． (1)将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：
a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝
b ，第i 个小区间为[x i －1，x i ]，设其长度为Δx i ，在这个小区间上取一点ξi ，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋f (ξ2)Δx 2＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋f (ζ2)Δx 2＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时S 与s 同时趋于某一点固定的常数A ，容易验证，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取上点δi ，S ′＝f (δ1)Δx 1＋f (δ2)Δx 2＋…＋f (δi )Δx i ＋…＋f (δn )Δx n 的值也趋于该常数A ，我们称A 是函数y
＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作ʃb a f (x )d x ，即ʃb a f (x )d x ⇒A .
(2)ʃb a f (x )d x 中符号的意义
知识点二 定积分的几何意义、物理意义
思考1 根据定积分的定义求得ʃ21(x ＋1)d x 的值是多少？ 答案 ʃ21(x ＋1)d x ＝52
. 思考2 ʃ21(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f (x )＝x ＋1围成的梯形面积有何关系？ 答案 相等．
梳理 (1)定积分的几何意义
当f (x )≥0时，ʃb a f (x )d x 表示的是y ＝f (x )与x ＝a ，x ＝b 和x 轴所围曲边梯形的面积． (2)定积分的物理意义
当f (x )表示速度关于时间x 的函数时，ʃb a f (x )d x 表示的是运动物体从x ＝a 到x ＝b 时所走过的
路程．
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb
c f (x )
d x (其中a <c <b )吗？
答案 直线x ＝c 把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S 是两个小曲边梯形的面积S 1，S 2之和，即S ＝S 1＋S 2. 梳理 (1)ʃb a 1d x ＝b －a .
(2)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)． (3)ʃb a [f (x )±g (x )]d x ＝ʃb a f (x )d x ±ʃb a g (x )d x . (4)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．
类型一 利用定积分的几何意义求定积分
例1 说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值．
(1)ʃ102d x ；(2)ʃ21x d x ；(3)ʃ1－11－x 2d x .
解 (1)ʃ102d x 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以ʃ102d x ＝2.
(2)ʃ21x d x 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以ʃ21x d x ＝32
. (3)ʃ1－11－x 2d x 表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为π
2，所以ʃ1－1
1－x 2d x ＝π
2.
引申探究
1．将本例(3)改为利用定积分的几何意义求ʃ101－x 2
d x .
解 ʃ101－x 2d x 表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的14的面积，其值为π4
，
∴ʃ101－x 2
d x ＝π4
. 2．将本例(3)改为利用定积分的几何意义求ʃ101－(x －1)2d x .
解 ʃ10
1－(x －1)2d x 表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的14圆的面积，其值为π4
，
∴ʃ101－(x －1)2
d x ＝π4
. 3．将本例(3)改为利用定积分的几何意义求ʃ1－1(x ＋
1－x 2)d x . 解 由定积分的性质得，ʃ1－1(x ＋1－x 2)d x ＝ʃ1－1x d x ＋ʃ1－1
1－x 2d x . ∵y ＝x 是奇函数，∴ʃ1－1x d x ＝0. 由本例(3)知ʃ1－1
1－x 2d x ＝π2. ∴ʃ1－1(x ＋1－x 2)d x ＝π
2
. 反思与感悟 利用定积分所表示的几何意义求ʃb a f (x )d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
跟踪训练1 利用定积分的几何意义，求： (1)ʃ3－39－x 2d x ； (2)ʃ30(2x ＋1)d x .
解 (1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，如图(1)所示，
其面积S ＝12·π·32＝92
π.
由定积分的几何意义知，ʃ3－3
9－x 2d x ＝9
2π. (2)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线．
ʃ30(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3，y ＝0所围成的直角梯形OABC 的面积，如图(2)，
其面积S ＝1
2
×(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知，ʃ30(2x ＋1)d x ＝12.
类型二 利用定积分的性质求定积分
例2 已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3
d x ＝154，ʃ21
x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563
，求下列各式的值． (1)ʃ20(3x 3
)d x ； (2)ʃ41(6x 2)d x ； (3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 解 (1)ʃ20(3x 3)d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3(ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x )
＝3×(14＋15
4
)＝12.
(2)ʃ41(6x 2)d x ＝6ʃ41x 2
d x ＝6(ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x )
＝6×(73＋56
3
)＝126.
(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ21(3x 2)d x －ʃ21(2x 3
)d x
＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154＝－12
. 反思与感悟 若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在[－a ，a ]上连续，则 (1)若函数f (x )为奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0.
(2)若函数f (x )为偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x .
跟踪训练2 (1)已知定积分ʃa 0f (x )d x ＝8，且f (x )是偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝________. (2)ʃ1－1(x 3＋3)＝________.
答案 (1)16 (2)6
解析 (1)ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d x ＝2×8＝16. (2)ʃ1－1(x 3＋3)d x ＝ʃ1－1x 3d x ＋ʃ1－13d x ，
∵y ＝x 3是奇函数，∴ʃ1－1x 3d x ＝0，又ʃ1－13d x ＝6， ∴ʃ1－1(x 3＋3)d x ＝6.
1．求曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分上限和积分下限分别为( ) A ．e 2，0B ．2，0C ．2，1D ．1，0
答案 B
解析 解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝e x
，
y ＝1，
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝e x
，x ＝2， 可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝1⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2，
y ＝e 2. 所以积分上限为2，积分下限为0.
2．关于定积分a ＝ʃ2－1(－2)d x 的叙述正确的是( ) A ．被积函数为y ＝2，a ＝6 B ．被积函数为y ＝－2，a ＝6 C ．被积函数为y ＝－2，a ＝－6 D ．被积函数为y ＝2，a ＝－6 答案 C
解析 由定积分的概念可知， ʃ2－1(－2)d x 中的被积函数为y ＝－2，
由定积分的几何意义知，ʃ2－1(－2)d x 等于由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0，y ＝－2所围成的图形的面积的相反数，∴ʃ2－1(－2)d x ＝－2×3＝－6. 3．下列等式不成立的是( )
A ．ʃb a [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ʃb a f (x )d x ＋n ʃb
a g (x )d x B ．ʃ
b a [f (x )＋1]d x ＝ʃb a f (x )d x ＋b －a C ．ʃb a f (x )g (x )d x ＝ʃb a f (x )d x ·ʃb a g (x )d x D ．ʃ2π－2πsin x d x ＝ʃ0－2πsin x d x ＋ʃ2π0sin x d x
答案 C
解析 由定积分的性质可得A 、B 、D 正确，故选C. 4．ʃ502(x －2)d x ＝________. 答案 5
解析 ʃ50(x －2)d x ＝S 2－S 1＝12×32－12×22＝52
，故ʃ502(x －2)d x ＝5.
5．计算：
3
π
2
π
2
(25sin)d.
－x x ⎰
解由定积分的几何意义，得3
π2π22d x
⎰＝(3π2－π2)×2＝2π.
由定积分的几何意义，得
3
π
2
π
2
sin d0.
＝
x x ⎰
所以
333
πππ
222
πππ
222
(25sin)d2d5sin d2π.
－－
x x x x x
==⎰⎰⎰
1．ʃb a f(x)d x与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，其所得值也不同．
2．利用几何意义求定积分的关键在于分清楚被积函数f(x)所表示的图形以及积分上、下限．
课时作业
一、选择题
1．根据定积分的定义，ʃ31(－3)d x等于()
A．－6B．6C．－3D．3
答案 A
解析ʃ313d x表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，
ʃ31(－3)d x＝－ʃ313d x＝－6.
2．已知f(x)＝x3－x＋sin x，则ʃ2－2f(x)d x的值()
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．不确定
答案 A
解析∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，∴ʃ2－2f(x)d x＝0.
3．下列定积分的值等于1的是()
A．ʃ10x d x B．ʃ10(x＋1)d x
C ．ʃ1012d x
D ．ʃ101d x
答案 D
解析 A 项，ʃ10x d x ＝12，C 项，ʃ1012d x ＝12， B 项，ʃ10(x ＋1)d x ＝32
，D 项，ʃ101d x ＝1，故选D. 4．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为( )
A ．ʃ1－1(x 3＋sin x )d x
B ．2ʃ10(x 3
＋sin x )d x C.||ʃ1－1(x 3
＋sin x )d x
D ．ʃ10(x 3＋sin x )d x
答案 B
解析 ∵y ＝x 3＋sin x 是奇函数，∴其图像关于原点对称，∴直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲
线y ＝x 3＋sin x 围成的图形面积可表示为2ʃ10(x 3
＋sin x )d x .
5．由直线y ＝x ，y ＝－x ＋1及x 轴围成的平面图形的面积为( ) A ．1
[(1)]d －－y y y ⎰
B ．1
20
[(1)]d －＋－x x x ⎰
C ．
11
210
2
d (1)d ＋－＋x x x x ⎰
⎰
D ．
1
[(1)]d －－＋x x x ⎰
答案 C
解析 联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，
y ＝－x ＋1，
解得⎩⎨⎧
x ＝12
，y ＝1
2，
故A (12，12
)．
由图知阴影部分的面积可表示为
11
210
2
d (1)d ＋－＋x x x x ⎰
⎰.
6．与定积分3π20
sin d x x ⎰
相等的是( )
A ．3π20
|sin d |x x ⎰
B ．
3π20
sin d x x ⎰
C ．⎠⎛0
πsin x d x －
3π2π
sin d x x ⎰
D ．
π20
sin d x x ⎰
＋3π2π2
sin d x x ⎰
答案 C
解析 当x ∈[0，π]时，sin x ≥0； 当x ∈(π，3π
2]时，sin x <0.
∴由定积分的性质可得，
3π20
sin d x x ⎰
＝⎠⎛0
π|sin x |d x ＋3π
2π
sin d x x ⎰
＝⎠⎛0πsin x d x ＋
3π2π
(sin )d x x -⎰
＝⎠⎛0
πsin x d x －3π2π
sin d .x x ⎰
7．设
a ＝ʃ10x
13
d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3
d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．c >a >b
B ．a >b >c
C ．a ＝b >c
D ．a >c >b
答案 B 解析
根据定积分的几何意义，易知ʃ10x 3d x <ʃ10x 2d x <ʃ10x
1
3
d x ，即a >b >c ，故选B.
8．若ʃa －a |56x |d x ≤2016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36 D ．2016
答案 A
解析 由ʃa －a |56x |d x ＝56ʃa －a |x |d x ≤2016，
得ʃa －a |x |d x ≤36，
∵ʃa －a |x |d x ＝a 2，∴a 2
≤36，即0<a ≤6.
故正数a 的最大值为6. 二、填空题
9．若ʃ1012f (x )d x ＝1，ʃ0－13f (x )d x ＝2，则ʃ1－1f (x )d x ＝________. 答案 83
解析 ∵ʃ1012f (x )d x ＝12ʃ1
0f (x )d x ＝1， ∴ʃ10f (x )d x ＝2.
又ʃ0－13f (x )d x ＝3ʃ0－1f (x )d x ＝2，
∴ʃ0－1f (x )d x ＝23
. ∴ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃ10f (x )d x
＝23＋2＝83
. 10．如图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．
答案 ʃ2－4x 2
2
d x 解析 由定积分的定义可得．
11．ʃb a 2f (x )d x ＝5，则13ʃb a [2－f (x )]d x ＝________. 答案 23b －23a －56
解析 ∵ʃb a 2f (x )d x ＝2ʃb
a f (x )d x ＝5，
∴ʃb a f (x )d x ＝52
. 于是13ʃb a [2－f (x )]d x ＝13[ʃb a 2d x －ʃb a f (x )d x ] ＝13(2b －2a －52
)
＝23b －23a －56
. 12．ʃ30[9－(x －3)2
－x ]d x ＝________.
答案
9π－18
4
解析 ʃ30[9－(x －3)2
－x ]d x ＝ʃ309－(x －3)2d x －ʃ30x d x .
ʃ309－(x －3)2d x 表示以(3,0)为圆心，3为半径的圆的面积的14，即ʃ30
9－(x －3)2d x ＝94π. ʃ30x d x ＝12×32＝92
. ∴ʃ30[9－(x －3)2
－x ]d x ＝94π－92＝9π－184. 三、解答题
13．如图所示，抛物线y ＝1
2x 2将圆x 2＋y 2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落
在圆中阴影部分的概率为14＋1
6π
，
求ʃ20(8－x 2－12
x 2
)d x . 解 解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋y 2
＝8，y ＝12x 2，
得x ＝±2.
∴阴影部分的面积为ʃ2－2(8－x 2
－12x 2)d x . ∵圆的面积为8π，
∴由几何概型可得阴影部分的面积是8π·(14＋16π)＝2π＋43
.
由定积分的几何意义，得ʃ20(8－x 2－12x 2)d x ＝12ʃ2－2(8－x 2－12x 2)d x ＝π＋23
. 四、探究与拓展
14．(1)ʃ1－1
4－x 2d x ＝________； (2)5π
2π
2(1sin )d ＋x x ⎰＝________.
答案 (1)2π3＋3 (2)2π 解析 (1)由y ＝4－x 2可知，x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图，
ʃ1－14－x 2d x 等于圆心角为π3
的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3， S 矩形＝AB ·BC ＝23，
ʃ1－14－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)函数y ＝1＋sin x 的图像如图所示，
5π2π2(1sin )d ＋x x ⎰
表示阴影部分的面积， 由图像的对称性可知， 5π
2π
2(1sin )d ＋x x ⎰＝S 矩形ABCD ＝2π.
15．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ∈[0，2)，4－x ，x ∈[2，3)，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0，5]上的定积分．
解 由定积分的几何意义知，如图，
ʃ20x d x ＝12
×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32
， ʃ53(52－x 2)d x ＝12
×2×1＝1， ∴ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ʃ53(52－x 2
)d x ＝2＋32＋1＝92
.。