辽宁省朝阳市第三高级中学高三数学理期末试题含解析

辽宁省朝阳市第三高级中学高三数学理期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
根据函数图像上特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】对于A,B两个选项，，不符合图像，排除A,B选项.对于C选项，
，不符合图像，排除C选项，故选D.
【点睛】本小题主要考查根据函数图像选择相应的解析式，考查利用特殊值法解选择题，属于基础题.
2. 已知数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=90．若（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，则m的值为（）
A．6 B．8 C．9 D．10
参考答案：
D
【考点】二项式定理的应用．
【分析】利用等差数列的性质，求出a3=45，利用（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，可得=45，即可求出m．
【解答】解：数列{a n}为等差数列，且满足a1+a5=2a3=90，∴a3=45，
∵（1﹣x）m展开式中x2项的系数等于数列{a n}的第三项，∴=45，∴m=10，
故选D．
3. 若，，则复数的模是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
D
4. 已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－＜x＜｝，则( )
A、A∩B=
B、A∪B=R
C、B?A
D、A?B
参考答案：
B
5. 若变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解在轴截距最小值的问题，通过平移可知，当直线过时，截距最小，代入可求得最小值.
【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
其中，，
将变为：，则的最小值即为在轴截距最小值
由
平移可知，当
过
点时，最小
本题正确选项：
6. 已知矩形ABCD ，AB=1，BC=。

将△沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在
翻折过程中。

A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.
B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.
C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.
D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直
参考答案：
C
最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C 是正确的．
7. 设函数在区间
上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
参考答案：
C 8. 若向量
满足
，
与的夹角为
，则
（ ）
A.
B.
C. D.
参考答案：
B
9. 已知定义域为R 的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋>0，若a ＝f()，b ＝－2f(－2)，c ＝lnf(ln2)，则下列关于a ，b ，c 的大小关系正确的是
A. a>b>c
B. b>a>c
C. c>b>a
D. a>c>b
参考答案：
B
10. 从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有 ( ) A.30种 B.36种 C.42种 D.60种
参考答案：
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知平面内三个不共线向量，，两两夹角相等，且||=||=1，||=3，则|++
| ．
参考答案：
2
由题意可知，
的夹角为
，由
可得
与反向，
且
，从而
.
12.
把一个函数图像按向量
平移后，得到的图象的表达式为，则原
函数的解析式为 ．
参考答案：
略
13. 函数
的极小值点为 ．
参考答案：
(或填)
14. 执行下面的伪代码后，输出的结果是 ．
参考答案：
28； 15. 已知，是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，有下列五个命题： ①若，且，则；②若，且
，则
；
③若，且
，则；④若，且
，则
；
⑤若
，
，
，则
．则所有正确命题的序号是
.
参考答案：
①②⑤ 略
16. 对于定义在区间D 上的函数f(x)，若满足对，且x 1<x 2时都有 ，则称
函数f(x)为区间D 上的“非增函数”.若f(x)为区间[0，1]上的“非增函数”且f(0) = l ，
f(x)+f(l —x) = l ，又当时，f(x)≤-2x+1恒成立.有下列命题： ①
;
②当
时，f(x 1)f(x-)
③
时，都有
④ 函数f(x)的图像关于点
对称
其中你认为正确的所有命题的序号为____________
参考答案：
略
17. 奇函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，f(1)=2,则f(3)= 。

参考答案：
﹣2 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知曲线的参数方程为
为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）分别写出曲线与曲线
的普通方程；
（2）若曲线
与曲线交于A ，B 两点，求线段AB 的长.
参考答案：
解：（1）曲线的参数方程为为参数），消去参数可得，曲线，
曲线的极坐标方程为
，可得直角坐标方程，
曲线
.
（2）联立，得，设，则，
于是，故线段的长为.
19. 在数列中，，（n≥2，n∈N*），数列满足：（n∈N*）．（1）求证：数列是等差数列；
（2）试求数列中的最小项和最大项，并说明你的理由．
参考答案：
（1）∵，∴，而，（3分）∴
（n∈N+）．
故数列是首项为，公差为1的等差数列．（6分）
（2）依题意有，而，所以（8分）函数在x＜3.5时，
y＜0，在上也为减函数．故当n＝3时，取最小值，；（10分）函数，在x＞3.5时，y＞0，在上为减函数．故当n＝4时，取最大值3．（12分）20. 传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下：
（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数；
（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？
（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A的人数X的分布列与数学期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为，即可得出该校高二年级学生获得成绩为B的人数．
（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）．
（3）成绩为A、B的同学分别有9人，12人，所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人，成绩为
B的有4人．由题意可得：P（X=k）=，k=0，1，2，3．
【解答】解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，
所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为．…
则该校高二年级学生获得成绩为B的人数约有1000×=150．…
（2）由于这80名学生成绩的平均分为：
（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59．…
且59＜60，因此该校高二年级此阶段教学未达标…
（3）成绩为A 、B 的同学分别有9人，12人，
所以按分层抽样抽取7人中成绩为A 的有3人，成绩为B 的有4人…
则由题意可得：P （X=k）=，k=0，1，2，3．
∴P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=.10分）
所以EX=0+1×+2×+3×=.10分）
21. 如图，在多面体ABCDE中，AC和BD交于一点，除EC以外的其余各棱长均为2.
(Ⅰ)作平面CDE与平面ABE的交线l，并写出作法及理由；(Ⅱ)求证：平面BDE⊥平面ACE；
(Ⅲ)若多面体的体积为2，求直线DE与平面BCE所成角的正弦值.
参考答案：
解：(Ⅰ)过点作（或）的平行线，即为所求直线.
和交于一点，四点共面.又四边形边长均相等.
四边形为菱形，从而.
又平面，且平面，平面.
平面，且平面平面，.
(Ⅱ)证明：取的中点，连结，.，，，. 又，平面，平面，故.
又四边形为菱形，.
又，平面.
又平面，平面平面.
(Ⅲ)解：由，即.
设三棱锥的高为，则，解得.
又，平面.
建立如图的空间直角坐标系，则，，，.
，.
由得，平面的一个法向量为.
又，于是.
故直线与平面所成角的正弦值为.
22. （选修4-5：不等式选讲）（本小题满分10分）
设函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ），恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案：
（Ⅰ），即，即，------2分，-----3分
解得或，-------4分
所以不等式的解集为或.------5分
（Ⅱ）------6分
故的最大值为，------7分
因为对于，使恒成立.所以，-----9分即，解得或，
∴.------10分。