高数数学课件-D1_5极限运算法则共26页文档

20,当 0x x 02时 , 有 2
取 m 1 ,i 2 , n 则当 0xx0时, 有
22
因此
lim ()0.
x x0
这说明当 xx0时, 为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如，
limR(x)x x0
xx0
lim Q ( x)
P(x0) Q( x0 )
R(x0)
x x0
说明: 若 Q (x0)0,不能直接用商的运算法则 .
例4. lx im 3x2x24x93lx i3m ((xx 3 3))(x(x 1 3))lx im3xx13
x = 3 时分母为 0 !
2 1 63
推论 1 . liC m f( x ) C ][ li f( x m ) ( C 为常数 ) 推论 2 . lifm (x )n ] [lif( m x )]n ( n 为正整数 )
例2. 设 n 次多项式 P n ( x ) a 0 a 1 x a n x n , 试证
x l ix0m P n(x)P n(x0).
证: 因 li f ( x ) m A , lg i ( x ) m B ,有
f ( x ) A ,g ( x ) B ,其中, 为无穷小
设 f (x)A AA 1 (B A )
g(x) B B B B(B) 无穷小
有界
因此 为无穷小, f (x)A
由极限与无穷小关g系(x定B) 理1 B, 得
高数数学课件-D1_5极限运算法则
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
n l in m n 2 1 π n 2 1 2 π n 2 1 n π 1
( P57 题 4 (2) )
解答见课件第二节 例5
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定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设 x U (x0,1), u M
又设
lim 0,
xx0
即
0,20,当
第五节
第一章
极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
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一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
证: 考虑两个无穷小的和 . 设 lim 0, lim0,
xx0
xx0
0,10,当0xx0 1时 , 有 2
例1. 求 limsinx. x x
解: sixn 1
lim1 0 x x 利用定理 2 可知 limsinx0.
x
y sinx x
O
x
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二、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 li f ( x ) m A , lg i ( x ) m B , 则有 lif( m x ) g ( x [ ) ] lifm (x ) lig ( m x )AB
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A B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由
定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
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例3. 设有分式函数 R(x)P(x), 其中P(x),Q (x)都是 Q(x)
多项式 , 若Q (x0)0,试证: x l ix0m R (x)R (x0).
证:
lim P ( x)
1 lgi(mxf)
(x)
g(x)
B2 BA(详xll ii见mmU 书gf(P((xxx40)4)))
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定理6 . 若 n l ix n m A ,n l iy n m B ,则有
(1 )n l i (m xnyn)A B
(2)n l i m xnynAB
( 3 )当 y n 0 且 B 0 时 ,nl imxynn
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定理 4 . 若 li f ( x ) m A , lg i ( x ) m B ,则有
lifm (x )g (x ) [ ]lifm (x )lig m (x )AB
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
的关系定理 , 知定理结论成立 .
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推论: 若 li f ( x ) m A , lg i ( x ) m B , 且 f(x)g(x), 则 AB.( P46 定理 5 )
提示: 令 ( x ) f( x ) g ( x )
利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
证: 因 li f ( x ) m A , lg i ( x ) m B ,则有 f ( x ) A ,g ( x ) B (其中, 为无穷小)
于是 f ( x ) g ( x ) ( A ) ( B )
( A B ) ()
由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小
证:
xl ixm 0Pn(x)a 0
a1 limx
xx0
an xl im x0 xn
Pn(x0)
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定理 5 . 若li f ( x ) m A , lg i ( x ) m B ,且 B≠0 , 则有
limf (x) limf (x) A g(x) limg(x) B
x U(x0,2)
时, 有 M
取 m 1 ,i 2 , n 则当 xU(x0,)时 , 就有
u u MM
故 lim u0,即 u是 xx0时的无穷小 . x x0 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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