2018年高考数学一轮复习课件：第八章 解析几何 第51讲

A．4
B．3
C．2
D．1
第十二页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线
方程为x－2y＝0，则它的离心率为( A )
A． 5
B．
5 2
C． 3
D．2
解析：设双曲线方程为ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)，其中一条渐近线方程为y＝abx， ∴ab＝12＝ c2a－a2，即c2－a2a2＝e2－1＝4，∴e＝ 5.
C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( D)
A． 2
B． 3
C．32
D．
6 2
第十九页，编辑于星期六：二十二点 二十y2 b2
＝1(a>0，b>0)右顶点为A，过其左焦点F作x轴的垂线交双曲
线于M，N两点，且M→A·N→A>0，则该双曲线的离心率的取值范围为( B )
【例1】
(1)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于
3 2
，则C
的方程是( B )
A．x42－ y25＝1 B．x42－y52＝1 C．x22－y52＝1
D．x22－ y25＝1
(2)设F1，F2是双曲线x2－
y2 24
＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3
PF
1
＝
4PF2，则△PF1F2的面积等于( C )
第十六页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
(3)|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的 最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝ 37，
∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a＝ 37－2 5.
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十一 分。
解析：(1)由ac＝ 2， a2＝c2－1，
得ac22＝＝21.， 故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yx＝2－kyx2－＝11，， 得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，故kΔ＞＝12，k2－41－k2×－2＞0，
A．4 2
B．8 3
C．24
D．48
(3)已知F1，F2为双曲线
x2 5
－
y42＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在
双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( C )
A． 37＋4 B． 37－4 C． 37－2 5 D． 37＋2 5
第十五页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
解析：(1)由曲线C的右焦点为F(3,0)，知c＝3，
第八页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
解析：(1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部；
(2)错误．因为MF1－MF2＝8＝F1F2，表示的轨迹为两条射线； (3)错误．当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示
焦点在y轴上的双曲线．
(4)正确．因为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±bax，即ax22－by22＝0，所
以当λ＞0时，
x2 λm2
－
y2 λn2
＝1(m＞0，n＞0)的渐近线方程为
x2 λm2
－
y2 λn2
＝0，即
x2 m2
－
y2 n2
＝
0，即mx ±ny＝0，同理当λ＜0时，仍成立，故结论正确．
第九页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
2．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若
第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十一 分。
1．已知l是双曲线C：
第十三页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
•一 双曲线的定义及其标准方程
• 双曲线的定义和标准方程中的注意点 • (1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，
通常考虑利用双曲线的定义． • (2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意
定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指 整条双曲线还是双曲线的一支． • (3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二 第十四页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
第七页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线． ( ×) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲 线．( ×) (3)方程xm2－yn2＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × ) (4)双曲线方程mx22－ny22＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是mx22－ny22＝0，即mx ±ny ＝0.( √ )
第五页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
标准方程 渐近线
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) y＝±bax
ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0) y＝±abx
离心率
性 a，b，c 质 的关系
c e＝____a__，e∈(1，＋∞)
c2＝___a__2_＋__b_2____
实 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝___2_a__；线段 虚 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝__2_b___； 轴 a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.
栏目导 航
板块一 板块二 板块三 板块四
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的__距___离___的__差___的___绝__对__等值于常数(小于
F F
1 2
)的点的
轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做___双__曲___线___的__焦___点__，两焦点间的距离叫做 ___双___曲__线___的___焦__距____．
由离心率e＝32，知ac＝32，则a＝2，故b2＝c2－a2＝9－4＝5， 所以双曲线C的方程为x42－y52＝1.
(2)双曲线的实轴长为2，焦距为
F F
1 2
＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知2＝
PF1－PF2＝43PF2－PF2＝13PF2，∴PF2＝6，PF1＝8，
∴PF12＋PF22＝F1F22，∴PF1⊥PF2. ∴S△PF1F2＝12PF1·PF2＝12×6×8＝24.
第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
•二 双曲线的几何性质及其应用
• 双曲线中一些几何量的求解方法
• (1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条 件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)， 解方程(或不等式)即可求得．
• (2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，
求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得
∴在双曲线C2中，2c＝2
3
，2a＝
AF
2
－
AF
1
＝2
2 ，故e＝ ac ＝
3＝ 2
26，故选
D.
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 二十一 分。
(3)由题意，可得M－c，ba2，N－c，－ba2，A(a,0)， 所以M→A＝a＋c，－ba2，N→A＝a＋c，ba2. ∵M→A·N→A＞0，∴(a＋c)2－ba42＞0，∴a＋c－ba2＞0， ∴2a2＋ac－c2＞0，又∵e＞1，∴e2－e－2＜0，解得1＜e＜2，故选B.
第六页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
3．常用结论 (1)双曲线的焦点到渐近线ax22－by22＝0(a＞0，b＞0)渐近线的距 离为b.如右图△OFH是分别以边a，b，c为边长的直角三角形． (2)如下图：
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
则有：P1，P2两点坐标都为c，ba2，即FP1＝FP2＝ba2.
集合P＝{MMF1 －MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0. (1)当___a_＜__c___时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当___a_＝___c__时，P点的轨迹是两条射线； (3)当____a_＞__c__时，P点不存在．
第四页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
• 2．双曲线的标准方程和几何性质
PQ
＝7，F2是双曲
线的右焦点，则△PF2Q的周长是( C )
A．28
B．14－8 2
C．14＋8 2
D．8 2
解析：由双曲线定义知，
PF2－PF1＝4 2，QF2－QF1＝4 2， ∴PF2＋QF2－(PF1＋QF1)＝8 2. 又PF1＋QF1＝PQ＝7， ∴PF2＋QF2＝7＋8 2. ∴△PF2Q的周长为14＋8 2.
标准方程
ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)
ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围 x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
性
对称性
对称轴：__坐___标__轴__，对称中心：_原___点__
质 顶点 A1__(_－__a_,_0_)_，A2___(_a_,0__)__ A1_(_0_，___－___a，) A2__(_0_，___a_)__
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十一 分。
•三 直线与双曲线的位置关系
• 解有关直线与双曲线的位置关系的方法
• (1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程 或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方 程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一 元二次方程，利用根与系数的关系，整体代 入．
• (2)与中点有关的问题常用点差法．
A．(2，＋∞) B．(1,2)
C．32，＋∞
D．1，32
解析：(1)∵e＝ac＝ 25，∴e2＝ac22＝a2＋a2b2＝54，
∴a2＝4b2，ba＝12，∴渐近线方程为y＝±bax＝±12x.
第二十页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
(2)椭圆C1中，AF1＋AF2＝4，F1F2＝2 3. 又∵四边形AF1BF2为矩形，∴∠F1AF2＝90°， ∴AF12＋AF22＝F1F22， ∴AF1＝2－ 2，AF2＝2＋ 2，
• (3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来
判断直线与双曲线的位置关系．
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 二十一 分。
【例3】 若双曲线E：ax22－y2＝1(a＞0)的离心率等于 2，直线y＝kx－1与双曲线 E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围； (2)若AB＝6 3，点C是双曲线上一点，且O→C＝m(O→A＋O→B)，求k，m的值．
第八章
解析几何
第51讲 双曲线
第一页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
考纲要求 考情分析
1.了解双曲 2016，全国
线的定义、 卷Ⅰ，5T
几何图形和 2016，天津
标准方程， 卷，6T
知道它的简 2016，江苏
单几何性 卷，3T
质．
2016，全国
命题趋势
1.求解与双曲线 定义有关的问题； 利用双曲线的定 义求轨迹方程； 求双曲线的标准 方程；判定双曲 线焦点的位置． 第二页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
第十页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
3．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( C )
A．2
B．2 2
C．4
D．4 2
解析：双曲线2x2－y2＝8的标准方程为x42－y82＝1，所以实轴长2a＝4，故选C．
第十一页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
4．设双曲线ax22－y92＝1(a＞0)的渐近线方程3x±2y＝0，则a的值为( C )
出双曲线的渐近线方程．
第十八页，编辑于星期六：二十二点 二十一分。
【例2】 (1)已知双曲线C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 25，则C的渐近线 方程为( C )
A．y＝±14x
B．y＝±13x
C．y＝±12x
D．y＝±x
(2)如图，F1，F2是椭圆C1：
x2 4
＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，
即k－＞12，＜k＜ 2， 所以1＜k＜ 2，即k的取值范围是(1， 2)．
第二十五页，编辑于星期六：二十二点 二十一 分。
(2)由①得x1＋x2＝k22－k 1，x1x2＝k2－2 1，∴AB＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝2 1＋kk22－21－2 k2＝6 3，
整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝57或k2＝54， 又1＜k＜ 2，∴k＝ 25，∴x1＋x2＝4 5，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8， 设C(x3，y3)，由O→C＝m(O→A＋O→B)，得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4 5m,8m)， ∵点C是双曲线上一点，∴80m2－64m2＝1，得m＝±14，故k＝ 25，m＝±14.