新人教版2022-2021年中考数学二轮复习专题练习下几何问题_四边形的旋转

4.四边形的旋转
1.正方形ABCD 的顶点A 在直线
MN 上，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作OE MN ⊥于点E ，过点B 作BF MN ⊥于点F ．
（1）如图1，当O 、B 两点均在直线MN 上方时，求：2AF BF OE ＋＝；
（2）当正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF 、BF 、OE 之间又有怎样的数量关系？
解析：（1）
证明：如图1，过点B 作BG OE ⊥于G
则四边形BGEF 是矩形，∴BF GE =，EF GB =
∵四边形ABCD 是正方形，∴OA OB ⊥，OA OB =
∴90AOE BOG ∠+∠=︒
∵BG OE ⊥，∴90OBG BOG ∠+∠=︒
∴AOE OBG ∠=∠
又∵90AEO OGB ∠=∠=︒，∴
AOE OBG ≌
∴AE OG =，OE BG =，∴OE EF =
∴2AF
BF AE EF GE OG OE GE OE +=++=++= ∴2AF
BF OE +=
（2）
图2结论：2AF
BF OE -= 图3结论：2BF AF OE -=
对于图2证明：
过点B 作BG OE ⊥交OE 延长线于G
则四边形EGBF 是矩形，∴BF GE =，EF GB =
∵四边形ABCD 是正方形，∴OA OB ⊥，OA OB =
∴90AOE BOG ∠+∠=︒
∵BG OE ⊥，∴90OBG BOG ∠+∠=︒
∴AOE OBG ∠=∠
又∵90AEO OGB ∠=∠=︒，∴
AOE OBG ≌ ∴AE OG =，OE
BG =，∴OE EF = ∴2AF
BF AE EF GE OG OE GE OE -=+-=+-= ∴2AF BF OE -=
若选图3，其证明方法同上
2.如图1，若四边形ABCD 和GFED 都是正方形，显然图中有AG CE =，AG CE ⊥．
（1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG CE =是否成立？如果成立请说明理由，如果不成立，请说明理由.
（2）当正方形GFED 绕D 旋转到如图3的位置时，延长CE 交AG 于H ，交AD 于M ．
①求证：AG CH ⊥；
②当4AD =，2DG =
时，求CH 的长．
解析：
（1）AG CE =成立．
证明：∵四边形ABCD 、四边形DEFG 是正方形，
∴GD DE =，AD DC =，
90GDE ADC ∠=∠=︒．
∴90GDA ADE EDC ∠=︒-∠=∠．
∴AGD CED ≌．
∴AG CE =．
（2）①类似（1）可得AGD CED ≌，
∴GAD DCE ∠=∠．
又∵HMA DMC ∠=∠，
∴90AHM ADC ∠=∠=︒，
即AG CH ⊥．
②连接GE ，交AD 于P ，连接CG ，
∵四边形GFED 是正方形，
∴2sin451GP PD ==⨯︒=，
∴3AP =，10AG =．
∵EG AD ⊥，CD AD ⊥，∴EG CD ， ∴以CD 为底边的CDG 的高为1PD =，
（延长CD 画高） AGD ACD ACG CGD ACDG S S S S S +==+四边形 ∴41441041CH ⨯⨯+=⨯+ ∴8105
CH =．
3.如图1，正方形ABCD 与正方形AEFG 的边AB 、AE AB AE （＜）
在一条直线上，正方形AEFG 以点A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE 、DG ．
（1）当正方形AEFG 旋转至图2所示的位置时，求证：BE DG =；
（2）当点C 在直线BE 上时，连接FC ，求FCD ∠的度数；
（3）如图3，如果45α=︒，2AB =，42AE =，求点G 到BE 的距离．
解析：（1）∵正方形ABCD 与正方形AEFG
∴AB AD =，AE AG =，90BAD EAG ∠=∠=︒
∴BAE DAG ∠=∠，∴ABE ADG ≌
∴BE DG =
（2）
当点C 在线段BE 上时，作FH BE ⊥于H
∵AE EF =，90AEB EFH
FEH ∠=∠=︒-∠ ∴Rt
ABE Rt EHF ≌，∴AB EH =，BE FH = ∴CH
CE EH CE AB CE BC BE =+=+=+= ∴CH FH =，∴45FCE ∠=︒
∴45FCD ∠=︒
当点C 在EB 的延长线上时，作FH
BE ⊥于H ∵AE EF =，90AEB EFH
FEH ∠=∠=︒-∠ ∴Rt
ABE Rt EHF ≌，∴AB EH =，BE FH = ∴CH
CE EH CE AB CE BC BE =-=-=-= ∴CH FH =，∴45FCE ∠=︒
∴135FCD ∠=︒
（3）
连接GB 、GE ，
∵45DAG α∠==︒
∴点C 在线段AE 上，∴45BAE AEG ∠=∠=︒
∴AB GE ，∴14242162
BGE AGE S S ==⨯⨯= 作BO AC ⊥于O ，则222OA OB AB === 在Rt BOE 中，42232OE AE OA =-=-=
∴2225BE OB OE =+= 延长GD 交BE 于H
由ABE ADG ≌，得AGD AEB ∠=∠
∴90GHE GAE ∠=∠=︒
∴12BGE BE GH S =⋅ ，∴2216165525
BGE S GH BE ⨯===
4.如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为α．
（1）当点 D '恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值；
（2）如图2，G 为BC 中点，且090α︒︒＜＜，求证：GD E D '='；
（3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中， DCD '与 CBD '能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．
解析：
（1）∵DC EF ，∴DCD CD E α∠'=∠'= ∴1sin 2
CE CE CD CD α===' ∴30α=︒
（2）∵G 为BC 中点，∴1GC
CE CE ='== ∴90D CG DCG DCD α∠'=∠+∠'=︒+
90DCE D CE DCD α∠'=∠''+∠'=︒+
∴D CG DCE ∠'=∠'
又∵CD CD '=，∴
GCD E CD ''≌
∴GD E D '='
（3）能．
135α=︒或315α=︒.
解：∵四边形ABCD 为正方形，
∴CB=CD ，
∵CD =CD ''
∴BCD '与DCD '为等腰相等的两等腰三角形.
当BCD '与DCD '为钝角三角形时，则旋转角360901352
α︒-︒==︒. 当BCD '与DCD '为锐角三角形时，1452
BCD DCD BCD ''∠=∠=∠=︒，则旋转角 903603152α︒=︒-
=︒，即旋转角α的值为315︒或135︒时， DCD '与 CBD '全等.
5.如图1，△ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=,F 是AC 边上的一个动点（点F 与A 、C 不重合），以CF 为一边在等腰直角三角形外作正方形,CDEF 连接BF 、AD .
（1）①猜想图1中线段BF 、AD 的数量关系及所在直线的位置关系,直接写出结论；
②将图1中的正方形,CDEF 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形. 图2中BF 交AC 于点H ，交AD 于点O ，请你判断①中得到的结论是否仍然成立.
（2）将原题中的等腰直角三角形ABC 改为直角三角形ABC ，90ACB
∠=,正方形CDEF 改为矩形CDEF ，如图4，且4AC
=，3BC =，CD =43，1CF =，BF 交AC 于点H ，交AD 于点O ，连接BD 、AF ，求22BD AF +的值.
解析：
（1）①,BF
AD BF AD =⊥
证明：∵ ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒， ∴AC BC =
∵四边形CDEF 为正方形. ∴90ACD ACB ∠=∠=︒，CF CD = ∴(SAS)AC F D BC ≌ ∴BF AD =
延长BF 交AD 于点G
∵DAC
CBF ∠=∠，AFG BFC ∠=∠ ∴90AGF
BCF ∠=∠=︒ ∴BF AD ⊥
② ,BF
AD BF AD =⊥仍然成立.
证明：∵ABC 是等腰直角三角形,90ACB ∠= ∴AC BC =
∵四边形CDEF 是正方形
∴,90CD CF FCD =∠=
∴ACB ACF
∠+∠FCD ACF =∠+∠ 即BCF
∠ACD =∠ ∴BCF ACD ≌()SAS
∴,BF
AD CBF CAD =∠=∠ 又∵BHC AHO ∠=∠,90CBH BHC ∠+∠=
∴90CAD AHO ∠+∠=,∴90AOH
∠=
∴BF AD ⊥
（2）证明：
连接DF
∵四边形CDEF 是矩形
∴90FCD ∠=
又∵90ACB ∠=
∴ACB FCD ∠=∠
∴ACB ACF
∠+∠FCD ACF =∠+∠ 即BCF ∠ACD =∠
∵4AC =,3BC =,CD =43
,1CF = ∴34
BC CF AC CD == ∴BCF ACD ∽
∴CBF CAD ∠=∠
又∵BHC
AHO ∠=∠,90CBH BHC ∠+∠= ∴90CAD AHO ∠+∠=∴90AOH
∠=
∴BF AD ⊥
∴90BOD AOB
∠=∠= ∴222BD OB OD =+,222AF OA OF =+
222AB OA OB =+,222DF OF OD =+
∴222222BD AF OB OD OA OF +=+++22AB DF =+
∵在Rt △ABC 中,90ACB
∠=,4AC =,3BC = ∴222223425AB AC BC =+=+=
∵在Rt FCD 中,90FCD ∠=︒,CD =43
,1CF = ∴222
22425()139DF CD CF =+=+= ∴22BD AF +2225259AB DF =+=+=2509
6.如图①，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，60ABC
BEF ∠=∠=︒，点A 、B 、E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG 、PC ．
（1）求证：PG PC ⊥，3PG PC =；
（2）将图①中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，其他条件不变（如图②），（1）中的结论是否还成立；如果成立，请说明理由，如果不成立请说明理由。

（3）若图①中0180ABC BEF αα∠=∠=︒（＜＜）
，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，其他条件不变（如图③），判断PG 与PC 的位置关系和数量关系．
解析：（1）
证明：如图①，延长GP 交DC 于点H
∵DC GF ，∴PDH PFG ∠=∠
又DPH
FPG ∠=∠，DP FP =，∴DPH FPG ≌ ∴PH PG =，DH FG =
∵菱形ABCD ，菱形BEFG ，∴CD BC =，GB FG =
∴CH CG =，∴PC HG ⊥，即PG PC ⊥
∵CH
CG =，PH PG =，∴1602GCP HCP DCB ∠=∠=∠=︒ ∴3PG PC =
（2）
证明：如图②，延长CP 交AB 于点H ，连结CG 、HG
∵DC AF ，∴CDP HFP ∠=∠
又DP FP =，CPD HPF ∠=∠，∴
CPD HPF ≌ ∴CD HF =，CP HP =
又BC CD =，∴HF BC =
在CBG 和HFG 中
∵BC
HF =，60CBG HFG ∠=∠=︒，BG FG = ∴CBG HFG ≌，∴CG HG =，CGB HGF ∠=∠
∴PG PC ⊥
∵CGB CGH
HGB ∠=∠+∠，HGF FGB HGB ∠=∠+∠ ∴60CGH
FGB ∠=∠=︒，又CG HG = ∴CGH 是等边三角形，∴60PCG ∠=︒ ∴3PG PC =
（3）PG PC ⊥，
tan 2PC PG α=
如图③，延长CP 至M ，使PM
PC =，连结MF 交BE 于点N ，连结CG 、MG 则CPD MPF ≌
∴MF CD BC ==，CDP MFP ∠=∠
∴MF
CD AB ∴180ABN
BNF BNF MFG ∠=∠∠+∠=︒， 又180ABN CBG ∠+∠=︒
∴CBG MFG ∠=∠，又BG FG =
∴CBG MFG ≌
∴CG MG =，CGB MGF ∠=∠
∴PG PC ⊥
CGM BGF BEF α∠=∠=∠=，∴2
CGP α∠= ∴tan 2
PC PG α=
7.如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．
（1）试猜想BHD ∠的度数，并说明理由；
（2）将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转0180BAE ︒∠︒（＜＜）
，设ABE 的面积为1S ，ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系；并给予证明；
（3）若3AB =，2AE
=，设DBE 的面积为S ，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转一周，求S 的取值
范围．
解析：
（1）猜想：90BHD ∠=︒，理由如下：
∵90GAE
BAD ∠=∠=︒，∴GAB EAD ∠=∠ 又AG AE =，AB AD =，∴ABG ADE ≌
∴12∠=∠
又34∠=∠，∴132490∠+∠=∠+∠=︒
∴90BHD ∠=︒
（2）
当正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转0180BAE ︒∠︒（＜＜）
时，1S 和2S 总保持相等 证明如下：由于0180BAE ︒∠︒＜＜，因此分三种情况：
①当090BAE ︒∠︒＜＜时（如图1）
过点B 作BM
⊥直线AE 于点M ， 过点D 作DN
⊥直线AG 于点N ∵90MAN BAD ∠=∠=︒，∴MAB NAD ∠=∠
又90AMB AND ∠=∠=︒，AB AD =
∴AMB AND ≌，∴BM DN =
又AE AG =，∴121··2AE BM AG DN = ∴1
2S S =
②
当90BAE ∠=︒时（如图2）
∵AE AG =
，90DAG BAE ∠=∠=︒，AB AD = ∴ABE ADG ≌
∴1
2S S =
③
当90180BAE ︒∠︒＜＜时（如图3）
和①一样，同理可证12S S =
综上所述，在（2）的条件下，总有1
2S S = （3）
正方形ABCD 在绕点A 旋转的过程中，它的对称中心O 的轨迹是以点A 为圆心，AO 为半径的圆（如图4） 因为DBE 的边32BD =，故当E 点到BD 的距离取得最大、最小值时，S 取得最大、最小值
当1O 在直线AE 上时，S 取得最大值
12S =最大⨯32(⨯322+2)=152 当2O 在直线AE 上时，S 取得最小值
S =最小12⨯32(⨯322-2)=32 故S 的取值范围是：
32S ≤≤152
8.如图①，已知ABC 是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A ，C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ．
（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论．
（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0︒，小于或等于360︒），如图②，通
过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，当AE 为最大值时，求AF 的值．
解析：
（1）BG AE =．
证明：∵90BDG EDA ∠=∠=︒，
GD DE =，AD BD =，
∴(SAS)ED G A BD ≌
∴BG AE =
. （2）成立．
如图②，连接AD ．
∵ABC 是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点．
∴90ADB ∠=︒，且BD AD =
． ∵90BDG ADB ADG ADG ADE ∠=∠-∠=︒-∠=∠，DG DE =． ∴BDG ADE ≌，∴BG AE =．
（3）
由（2）知，BG AE =，故当BG 最大时，AE 也最大．
因为正方形DEFG 在绕点D 旋转的过程中，G 点的轨迹是以点D 为圆心，DG 为半径的圆，故当正方形DEFG 旋转到G 点位于BC 的延长线上（即正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转270︒）时，BG 最大，如图③.
若2BC
DE ==，则1AD =，2EF =． 在Rt AEF 中，2222222()122(3)1AF AE EF AD DE EF =+=++=++=． ∴13AF =．
即在正方形DEFG 旋转过程中，当AE 为最大值时，13AF
=．
9.如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系．
（1）猜想图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；
（2）将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．
解析：
（1）BG DE =，BG DE ⊥；
∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，
∴BC DC =，CG CE =，90BCD ECG ∠=∠=︒，
∴BCG DCE ∠=∠，
在BCG 和DCE 中，
,, BC
DC BCG DCE CG CE =∠=∠=， ∴BCG DCE SAS ≌（）
， ∴BG DE =；
延长BG 交DE 于点H ，
∵BCG DCE ≌，
∴CBG CDE ∠=∠，
又90CBG BGC ∠+∠=︒，
∴90CDE DGH
∠+∠=︒， ∴90DHG ∠=︒，
∴BH
DE ⊥，即BG DE ⊥；
（2）BG DE =，BG DE ⊥仍然成立，
在图（2）中证明如下
∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是正方形
∴BC CD =，CG CE =，90BCD ECG ∠=∠=︒
∴BCG DCE ∠=∠，
∴BCG DCE SAS ≌（）
∴BG DE =，CBG CDE ∠=∠，
又∵BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒
∴90CDE DHO ∠+∠=︒
∴90DOH ∠=︒
∴BG DE ⊥．
10.已知菱形AEFB 是由ABCD 绕点A 顺时针旋转得到的，这两个菱形的边长都是a ．
（1） 如图1，连接DE ，CF ，求证：四边形CDEF 为矩形；
（2）如图2，连接BD ，BE ，BD AD a ==，M ，N 分别是边BD ，BE 上的两个动点，且满足DM NE a +=．判断AMN 的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当2a =时，设AMN 的面积为S ，求S 的最小值．
解析：
（1）证明：
如图1，∵菱形AEFB 是由菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转得到的，
∴AB BC CD AD AE EF BF ======，DAB EAB ∠=∠，CD AB ，AB EF ， ∴CD EF =，CD EF ，12∠=∠． ∴四边形CDEF 是平行四边．
∵AD AE =，DAB EAB ∠=∠，
∴AB ED ⊥，
∴190∠=︒，
∴290∠=︒．
∴平行四边形CDEF 是矩形；
（2）AMN 是等边三角形．理由：
证明：如图2∵菱形AEFB 是由菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转得到的，
∴AB BC
CD AD AE EF BF ======，DAB EAB ∠=∠，CD AB ，AB EF ． ∵BD AD =
， ∴AD AB BD BE AE =
===， ∴ABD 为等边三角形，
∴60BAE BAD ABE AEB ∠=∠=∠=∠=︒，
∵DM
NE a +=．DM BM a +=， ∴DM NE DM BM +=+，
∴NE
BM =． 在ABM 和AEN 中，
BM EN ABD AEB AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ABM AEN SAS ≌（）
， ∴AM AN =，BAM EAN ∠=∠．
∵60BAN EAN ∠+∠=︒，
∴60BAN
BAM MAN ∠+∠=∠=︒． ∵AM
AN =， ∴AMN 是等边三角形；
（3）解：如图2，作AG MN ⊥于G ．
∵AMN 是等边三角形，
∴60ANM
∠=︒，MN AN = ∴sin60AG AN =⋅︒． ∴11sin 6022
AMN S MN AG MN AN =⋅=⋅⋅︒， ∴21sin 602
AMN
S AN =︒⋅．
∴当AN 最小时，S 最小．
∵AN BE ⊥时，AN 最小．
∴90ANE ∠=︒．
∵2AB AE BE a ====，
∴1NE =．
在Rt ANE 中，由勾股定理，得
3AN =． ∴21333(3)224
AMN S =⨯⨯=最小． 答：S 的最小值为334
．
11.如图1，四边形ABCD 、EFGH 为两个全等的矩形，且矩形ABCD 的对角线交于点E ，点A 在EG 上，30ACB ∠=︒．将矩形EFGH
绕点E 顺时针旋转α角060α︒︒（＜＜），如图2，GE 、FE 与AD 分别相交于N 、M ．
（1）则：AN
DM +与MN 的大小关系； （2）若222MN DM AN +=，求旋转角α的大小．
解析：
（1）
证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AE DE =，
∵30ACB ∠=︒，
∴180302120AED ∠=︒︒⨯=︒﹣，
将AEN 绕点E 顺时针旋转120︒得到DPE ，连接MP ，
则EP NE =
，DP AN =，DEP AEN ∠=∠， ∵120AED ∠=︒，
∴60MEN
MEP ∠=∠=︒， 在MEN 和MEP 中，
EP NE MEN MEP EM EM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴MEN MEP SAS ≌（）
， ∴MN MP =，
由三角形的三边关系得，DP DM MP +＞，
∴AN
DM MN +＞；
（2）解：∵2
22MN DM AN +=， ∴DPM 是直角三角形，90DMP ∠=︒， ∵MEN MEP ≌，
∴45EMN
EMP ∠=∠=︒， 在MNE 中，180456075MNE ∠=︒︒︒=︒﹣﹣， 在ANE 中，753045AEN MNE
CAD ∠=∠∠=︒︒=︒﹣﹣， ∴旋转角为45︒．
12.如图，已知正方形ABCD ．
（1）请用直尺和圆规，作出正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45︒后得到的正方形AB C D '''（其中B '，C '，
D '分别是点B ，C ，D 的像）
（要求保留作图痕迹，不必写出作法）； （2）设CD 与B C ''相交于O 点，求证：OD OB ='；
（3）若正方形的边长为(21)+，求两个正方形的重叠部分（四边形AB OD '）的面积．
解析：
（1）如图所示：
（2）连接B D '．
∵正方形AB C D '''由正方形ABCD 旋转得到，
∴AD AB ='，90ADO AB O ∠=∠'=︒，
∴ADB AB D ∠'=∠'，
∴ODB OB D ∠'=∠'，
∴OD OB ='．
（3）
连接AC ．
∵正方形ABCD ，
∴45CAB ∠=︒．
由题意知45BAB ∠'=︒，
∴CAB BAB ∠=∠'，即B '在AC 上， ∴OB C '是等腰直角三角形．
设OD OB x ='=，则2OC x =． ∵21CD =
+， ∴221x x +=+，
解得：1x =． 故2211(21)11222ACD B CO AB OD S S S ''==+-⨯=+四边形﹣．。