上海交大杜秀华老师《现代控制理论》第四章线性系统的能控性和能观性6

多输入多输出系统的标准形
旺纳姆(Wonhar)标准形和龙伯格(Luenberger )标准形。

1.多输入多输出系统的能控标准形
考虑线性定常系统
艺：x 二Ax Bu
y = Cx
x为n维状态向量，u为p输入向量，y为q维输出向量
如果系统能控，则系统的能控性矩阵的秩为n，即Q c中
有n个线性无关列。

Qc 二［b a b p Aa Ab2Ab p Af A nJ b2A nJ b p］
对多输入系统，p 1, Q c中有np列，所以，在Q c中可以找出很多种n个线性无关列的情况。

这里介绍两种寻找n个线性无关列的方法，以构成状态变换阵，将状态空间描述形式变换为
旺纳姆能控标准形和龙伯格能控标准形。

定理［旺纳姆能控标准形］对完全能控的线性定常系统，存在线性非奇异
变换
1
x = P^ Q x
使状态空间表达式转化为旺纳姆能控标准形
■ _______________________
2cW : x= A c x B c u
y =C c x
C 厂CQ （无特殊形式）
计算系统的能控性矩阵
A c = Q~ AQ =
A ii di) -：
1
A
ij
（穿：计）
ij 1
y
ij2
,1
_
o :
B .
r
A ■ (12)
A 22
°」
Al m I
A 2m
,i =12 ,m
:■' 1( m 1)
站1)
P
np
证明 例
:见书
求如下系统的旺纳姆能控标准形
「
1 2 -11
_
1
0]
0 1 0
B =
0 11 1
0 3
0 0」
A
二
e
n
©2
1 0 1
2 0 4
Q e 二 B AB
A 2
B 二 0 1 0 1 0 1
_0
0 1 0 4 2
rank3 ,
系统 宀
兀
全 能 控 。

按｛ 1b ,
1
A 2 b 和｝ A b
｛ b 2, Ab 2, A 2b ＞｝搜索
bi, Ab i , b 2是线性独立的。

得
可知
1
1
n
1
1 1
-3 1 I
1
I
o
1
g
引 (4)
=
q 厂b =0
. L e
21 二
b
^ = 1
一 0 一 1 一 1
_0
由 Ab 2 -
21
b + ■■ 121
©11
* " 122
©12， 即
2
0 -3 1
122
21 121 2
A b 二-
：
11 Ab|
T
b = 0 ,
：0j
-:12 b
■11 Ab = 0 ,
jJ
o]
---'11
■11 0 jj -：
'12 ■11 0 ■0j
解得
11
=-4,
12
解得'21 121
0,
122
由此可得
I I 0
2]
1
■0 1j
I「3 1 0
式中，变换矩阵为Q=1°0 1
-1 ° °一
系统的旺纳姆能控标准形为
0 11 0 0
X = -4 4 2 三+ 1 0 u
0 0 1一-0 1 一
龙伯格能控标准形相对于旺纳姆能控标准形在系统极
点配置中应用更广，这是由于在构成状态变换阵时，相对均衡地考虑了各个输入的作用。

考虑线性定常系统
艺：x = Ax Bu
y Cx
x为n维状态向量，u为P输入向量，y为q维输出向量。

如果系统完全能控，设矩阵B的列线性无关，这在实际上通常总能成立，或可进行处理获得，b为B 的第i列，那么，
系统的能控性矩阵Q可表示为
7 7 7—1 n -1 n -1
Qc 二[b b b p Ab Ab Ab p A b A b? A _b p]
对上式从左到右依次找出n个线性无关列，即若某个列不
能表示成其左边各线性独立列的线性组合就为线性无关列，否则为线性相关列。

考虑到Q c的组成特点，如果A i b m,m二1「2 ,p和其左边线性独立列线性相关，则A i b m 也和其左边线性独立列线性相关，又由于假设B为满秩，则
可将此搜索结果重新排列，并组成非奇异矩阵P :
P '二 b A b 「 A “飞 a Ab 2 A / b 2 b p Ab p
A p 1
b p
式中，S 」2」」p = n , Ul 「2「^p ｝为系统能控 性指数集。

对定义P'矩阵求逆，并表示成分块矩阵形式：
e Ti
I :
T
P = (P=
…
pi
I ;
定理［龙伯格能控标准形］对完全能控的线性定常系统，存在 线性非奇异变换
式中，块的行数为
b,i = 12 … T
T
个块矩阵的末行，即为即,知,
换矩阵P cL :
-e ： 1
I e m A
:
1 ・
e 二 A
P
CL =
:
e p [i
p p
T
1
e
P 4p
A
1 :
1
T
巴J
〔e
p A p
A
,p 。

再在矩阵P 中，取出各
T
•' (p 件，并按如下方式构造变
e
p ・p
使状态空间表达式转化为龙伯格能控标准形
& ：? = A x Be u
厂C C X
A=Q C L AQ CL =1^21
AJ
A zp
Ap2A pp
A
ii
(J 4)
A j
（4
气）
j, i, j「2 ,P
B e =Q CL' B 二0
I
i 1 *
C c 二CQ C
L （无特殊形式）
*表示可能的零元或非零元。

证明：从略。

例 求如下系统的龙伯格能控标准形
式中，b i , b 2, Ab i , A 2b 2线性无关，所以，系统完全能控，且 V 1，
= 3。

由此构成矩阵 P _1
，并求其逆阵 P 。

为3。

取出P 中的第一行e ll 和第四行e 23，组成变换矩阵P cL ， 并求其逆
阵Q C
L
3 -1 0 0 1 0 计算系统的能控性矩阵
Q c
- II b i
b 2
Ab i 0 0 1 0 0 1
■0 0]
1
B
1 0
-1
0 1 0
_
0_
Q
c
Ad A 2
b, A 2 p A 3 Q
A 3
b a
1 1 4 4
13 1
-3 -3 -10 -10 -30 4 4 13 13
51
-1 -1 _3
_3
—9
P — b b 2 Ab A 2
b>] =
0 0 1 0 1
-3 4 -1
4 -10 13 _3
-1 -3 _1 1 0 0 0 0 1 0
0 -2【 3 一4
1
将P 分为两个块阵， 第一个块的行数为
1，第二个块的行数
0 0 1 0 1 -3 4
-1
由此可求出系统的龙伯格能控标准形为
2.多输入多输出系统的能观标准形
禾U 用能观性和能控性的对偶关系，可以方便地得出完全 能观系统的旺纳姆能观标准形和龙伯格能观标准形。

定理［旺纳姆能观标准形］对完全能观的线性定常系统，存 在线性非奇异变换
x 二 P 。

1
x Q 。

x
使状态空间表达式转化为旺纳姆能控标准形
厶W ： x A 。

x B o u
厂C 。

x
式中
-eT 1
■1 1 0 -21 T e
23
1 0 0 1 e
23
A
1 0 0 0
氐A 一 1 I 0
0 1 0 一
P cL
0 0 1 2 1 0
-3 0
0 1
-1 0
民=
Q C L AQ CL
0 10 0
8 0 丁0…厂0
■ B
0 ! 0 0 1
I B
J ! 1 -3 4 一
B e = Q CL J B =
】0
C o 二 CP o 二
"D1
f p1
定理［龙伯格能观标准形］对完全能观的线性定常系统，存 在线性非奇异变换
x P 。

1
x = Q o x
使状态空间表达式转化为龙伯格能控标准形
兀L ： x = A o x B o u
凡二 P o J
AP o
A 21 A 22
A 2
A i
■0
Y （仃〕
i =1 2…l
ij1
ij2
-：i1
,i
A ij
,^ j 1,
,l 」1,2,
,1
「°
B o P 「B （无特殊形式）
(l -1)n
p
pn
-1
P oL B （无特殊形式）
0 1
C o 二 CP oL -
能观标准形在系统观测器设计中有重要应用。

应该指出，单变量系统的传递函数与能控标准形和能观 标准形的参数有明显的关系。

已知传递函数可直接写出系统 的能控标准形和能观标准形，不必求出变换矩阵，反之，由 标准形也可以直接写出传递函数。

但在多变量系统中，不存 在这样的对应关系，必须求出变换矩阵，才能求出标准形。

4.7 线性系统的结构分解
介绍如何通过非奇异变换，将系统的状态空间描述按能 控性和能观性
式中
= P oL
1
A P
oL
A 12
i"r
A 22
A q2
A ii
■0 1 0
,i =12 ,q
B o
进行结构分解。

通过状态空间描述的结构分解可以建立状态空间描述
和系统传递函数之间的关系，为最小实现问题的提出提供理论依据。

状态空间描述的结构分解在系统综合状态反馈和系统镇定问题中也有重要作用。

一、按能控性的系统结构分解
按能控性分解是通过线性非奇异变换，将系统的完全能控状态和不能控状态，以明显的方式区分开来表示。

考虑线性定常系统
艺：x = Ax Bu
厂Cx
式中，x为
n维状态向量，u为P输入向量，y为q维输出向量。

定理［系统按能控性结构分解］对不完全能控的系统，其能
控性判别矩阵为Q c的秩为n 1
rank Q c= rank B AB … A n^B］ = q £n
构造非奇异变换矩阵
P
式中，q 厂，
q®为U 中任意选取的 n
i 个线性独立的列， 生.1厂，
q n 为任意的，只要使
P 为非奇异的n- n i
个线性独立 的列，那么线
性非奇异变换 X= Px 或x 二P 'x 可使系统实 现按能控性的结构分解
HP Ai 叩 X cJ B e lu 区」.0 A c 」反一 .0 一
P '
一凹1…qn 1
1…qn
可以得出
p T
q = 0, _
j
由于Aq （i 二n 「1,…，n ）为…，q ni 的线性组合，由此，并利 用式
p T
q 0 ,
^ j 可得
P i T
Aq/ 0, i = 口 1,
,n, j = 1, ,口
于是可得
q ni q n i 1
x c
为n i 维系统能控状态，
x
c 为
n - n i 维不能控状态
证明：若记P =Q 丄
■p T l
3
由于PPI 及
P J
y
=0 , i = n i 1, ,n
即有
p T
B
B c
无特殊形式，可以表示为
由此得出系统按能控性分解的结构式。

进而证明X c 为能控状态。

由于 rankU = rank U = rank B AB … A n
，B I
:B c A c B 「 A 「B c i
=I
0 0 0
=
rank B A c B 「 A 广B c 卜 m
由于A c 为□ n i 维矩阵，利用凯勒一哈密尔顿定理可 知，A C B c （iF,…，n-1）可表示为B c ，A B °，…，入亞 的线性组 合。

基于此，可得
P T Aqi … P T
Aq ni
T
:P Aq n“
…
1 5
:
P T
Aq n
9
P i Aq i … P T i
Aq ni
« ・
| P T i Aq® 半… P ； Aq n P 爲Aq …
a
P 爲 Aq ni :P 爲Aq .’子…
3 ■
a P i 十 Aq n
a
P T
Aq …
i A c 」
P T
Aq ni
■
:P T
Aq®屮…
P T
Aq n
1
A 二PAP-=
同样，
B 的所有列是q 「…，
的线性组合，则有
C = CP 仁 Cq
Cqm Cq ni !
Cq n 二
C c C c
rank B c A c B c A n B c
即（A c, B c）完全能控，也即x c为ni维系统能控状态。

同理可证其余为不能控状态。

证毕从上述定理可以看出，不完全能控的系统通过线性非奇异变换后，系统的状态空间被显式地分成能控部分和不能控部分，其中，能控部分为厲维子系统
X c 二A c X c A2x c B c u
%二C c x c
不能控部分为n—n维子系统
X
c = A c X c
= C c X c
y
2
两者之间只存在由不能控部分到能控部分的耦合作用。

系统按能控性结构分解后的模拟结构图如图所示
系统按能控性分解的模拟结构图
在MATLAB中函数ctrbf能对系统按能控性进行结构分
解，但由于它的变换矩阵P "的选取和本定理中的排列次序不
同，它的变换结果的形式为
A c _01
A「〔B e-
由于变换矩阵选取的相对任意性，因此，系统按能控性
分解的结果随变换阵的不同而不同。

例给定线性定常系统
1 1 0 0 1
x= 0 1 0 x + 1 0 u ,y = 1 1 1 ] x
0 1 1一卫1一
由于rank B= 2，只需判断
0 111
rank [B AB ] = rank 1 0 1 0 = 2 < 3
]0 1 1 1 一
可知系统状态不完全能控，且按能控性结构分解后能控状态
X c为二维。

按定理选取非奇异变换矩阵P
0 1 1
P = 1 0 0
'0 1 0
P」的第一、第二列为能控性矩阵的第一、二列，它们线
性独立，P 1的第三列，也是最后一列，为任意选取的使P_1 非奇异的列向量。

显然上述rank（P 一1） = 3 = n，非奇异。

对系统进行线性非奇异变换X = Px，通过计算，得到
0 1 0 1110 11 100
I
11
11
I I i
k= PAP ’ =
!0 0 11I 0 1 0
川 0 1 1 i 1
0卜 |1 1: 0|
〔1 0 -1J1 1 1 1」
〔0 1 0一 」0 0 ; 1
一0 1
1 0 T0
1 1 11 ? 01
目=PB = 0 0 1 1 111 0
卜 0 1
1」〔0
1J ［厂0
一
■0 1 11
C = CP 亠【1 1 1】
|10 0! =【12 1】
[0 1 0J
系统按能控性分解后的状态空间描述为
系统的低维能控子系统为
0 — u y '1 2 x c
1
二、按能观性的系统结构分解
利用对偶关系，可以得出系统按能观性结构分解的定
理。

定理［系统按能观性结构分解］对不完全能观的系统，其 能观性判别矩阵
R 的秩
X
c
_
1 0 「°
01 1 u
0 门0
瓦」
_
1 1 0
0 ! 0 I
1 0 1
CA n \
构造非奇异变换矩阵
P
p
g P-
式中，Pi,…，P n t
为
R 中任意选取的 口个线性独立的行，
Pnu ，…，P n
为任意的，只要使 P 为非奇异的n-口个线性独 立的
行，那么线性非奇异变换 x = Px 或x= P _1 X 可使系统 实现按能观性的结构分解
:A o
o 1「Xo l :B ol
_ = —
—
I 十 —
X o A 21
A o X o
B o
N
cl[X 。

〕
式中，X 0为□维系统能观状态， X o 为门- 口维不能观状态
从上述定理可以看出，不完全能观的系统通过线性非奇 异变换后，系统的状态空间被显式地分成能观部分和不能观 部分，其中，能观部分为 n i 维子系统
X 。

二 A o X o B o u y i = C o X o
不能控部分为n - n i 维子系统
rank R = rank
-C 1 CA
=n t ::: n
—————
X o 二A x0A21 x o B o y2 = 0
两者之间只存在由能观部分到不能观部分的耦合作用
系统按能观性结构分解后的模拟结构图如图所示
系统按能观性分解的模拟结构图
在MATLAB^函数obsvf能对系统按能观性进行结构分解，它是函数ctrbf的对偶形式。

由于变换矩阵选取的相对任意性，因此，系统按能控性
分解的结果随变换阵的不同而不同。

两种结构分解的结果在形式上是互为对偶的。

系统能观性结构分解也可用对偶方法，运算步骤类似于化标准形的对偶方法，只是将其中的化标准形运算改为能观性结构分解的运算。

例给定线性定常系统
0 0-1 1
x=|1 0 一3 x +11 u ,y=D 1 一2】x
_0 1 -3 _0
计算系统的能观性判别矩阵的秩
C 0 1 -2
rank cA | = rank 1 —2 3 =2c3
_cA2」「2 3 -4j
可知系统状态不完全能观，且按能观性结构分解后能观状态
X。

为二维。

按定理选取非奇异变换矩阵P
0 1 -2
P = 1 -2 3
0 0 1 一
P的第一、第二行为能观性矩阵的第一、二行，它们线性独立，P的第
三行，也是最后一行，为任意选取的使P非奇异的行向量。

显然rank P = 3=n，P非奇异
2 1 1
C =CP 丄=b 1 —2】1 0 2 =【1 0 I 0】
.0 0 1 一
系统按能观性分解后的状态空间描述为
对系统进行线性非奇异变换X二Px，通过计算，得到A =PAP 匕
■
1
11211
2
1
0 1=0^
—1 —2 ； 0
1 0 ；_11
11
-23
1
1尸_1
01
丄
1 -2
-2 3
1 1 1
0 1 0
1—111—0
_ 0
目=PB = 1
'0
系统的低维能观子系统为
三、 按能控性和能观性的系统结构分解
如果线性定常系统不完全能控也不完全能观，若对该系 统同时按能控性和能观性进行结构分解，则可以把系统结构 显式地分解成能控且能观、能控不能观、不能控但能观、不 能控不能观这四个部分。

当然，系统是否能分解成这四个部 分主要取决于系统本身的特性，并非所有系统都有这四部分 组成。

系统按能控性和能观性结构分解的卡尔曼分解定理。

完全能观的系统，通过引入特定的非奇异变换，可使系统实 现标准形式，即有
■Xco l
X co
其中，X co 为能控且能观状态，X co 为能控不能观状态，X co 为 不能控而能观状态，X co 为不能控不能观状态。

并且 (A co , B i , C i )是系统能控且能观子系统。

定理给出的标准形式，在形式上是惟一的，而在具体结
定理［系统按能控性和能观性结构分解
］对不完全能控和不
A co
X co
X co
A 13
A
23
0 l 「X co [
B i I
A
24
A co . .X co 」0」
果上并不惟一，其结果可由选取的变换阵计算得出。

系统卡尔曼分解的模拟结构图
反映系统输入输出特性的传递函数G⑸只能反映系统
中能控且能观子系统的动力学行为，即有
G(s)二C(s l A) 1B = &(s l A co) 1B厂G/s)
传递函数只是对系统的一种不完全描述，如果系统中添加或去掉不能控或(和)不能观的子系统，不影响系统的传递函数。

系统可由传递函数完全表征的充要条件是系统为完全能控且能观的，即系统是不可简约的。

在MATLAB^函数minreal能求出系统的完全能控且能
观子系统。

例给定线性定常系统
■x /l
X 2
X 3
X 4
X 5
压」
试将该系统按能控性和能观性进行结构分解。

由于系统具有约当标准形形式，利用能控性约当标准形
判据和能观性约当标准形判据可知系统不完全能控、不完全 能观。

容易判
定：系统能控且能观状态变量为 X 1,X 2，系统能控 但不能观状态变量为X 3,X 5，系统不能控但能观状态变量为 X 4， 系统不能控不能观状态变量为 X 6。

重新排列状态变量的顺序，即
则有
由此可得系统按能控性和能观性结构分解的标准形为
"X 。

1 X 2
0 1 0 0 0 0
X 2
X
co
X 3
0 0 1 0 0 0
X 3
X=o
X 5 0 0 0 0 1 0
X 4 N -
X 4
0 0 0 1 0 0
X 5
i
X
6_| ' 0 0 0 0 0 1j'
冷一
0 X
1 0 0 0 0 二
Px
x
二 -X J -
X
；
X 3
X 4
X 5
*6
一
1
1 0 -5 0
-3
-
0 0 0
1 0
-3 0 0 0 0 0 0［「Xi l 「1 0 0
■■■ r■:
BI
-0 0 -1 1
i 0 -1
j l_x
6 _j
X
2
X 3
X 4
X 5 01 0 X C o
X 2
； X co
X 4
x
co
0 0 0 0
5 4 0 1
卫 3
0 0 0
I
V
0 勺 0 0:0:0
0 0 口 0 H y 0
I
I
h
0 0 ' 0 -^0=1 ■—
KB M aa *■ma
A J i ■厶■■
」「. ■■
0 0 ; 0 0 ; £ ; 0 ■- 片.■・■-« ■■■ ■・ ■■ ■■ ■・■・屮T 0 0 0 0 0 -1
X co
'CO
X -CO
统按能控性和能观性结构分解的标准形。

其它情况是不能直 接看出和分解
的。

4.8离散时间系统的能控性和能观性
一、离散系统的能控性
1. 能控性定义
考虑离散时间线性定常系统的状态方程
x (k 1)= Ax (k) Bu (k)
式中，x 为
n 维状态向量；u 为p
维输入向量。

定义［离散系统能控性定义 ］对系统，如果对任意初始 状态x ( 0尸X 0和任意终端状态 x f ，存在一个有限长度输
入序列
U ，使系统状态由X 0
转移到X f
，则称此系统或 (A , B )对是状态完
全能控
的，或简称此 系统或(A , B )对
是能控的。

否则，则称此系统或
(A , B )对是状态不完全
_
-5 1 ! 0
_X co 1
X co X CO
耳」
"Xco!
5 7
X co +
4 3
X co
1 6
_X E _
0 0
显然，如果系统为约当标准形时， 可以很方便地求得系
31
0 0
从上面的能控性定义可以看出，和连续线性系统不
同，对连续线性系统而言，如果系统是能控的，则存在
输入可以在很短的非零时间区间里使系统实现从任意状态到另一个任意状态的转移；而对离散时间系统来说，如果系统是能控的，则输入序列必须具有一定的长
度，在下面的能控性判据证明中，我们可知输入序列长
度应不小于能控性指数"。

1.能控性判据
定理4-18 [能控性格拉姆矩阵判据]离散时间线性定常系
统，系统完全能控的充分必要条件为使如下定义的格拉姆矩阵
n-1
W dc( n 1)八A BB T( A T)k
k=0
为非奇异。

定理[能控性秩判据]离散时间线性定常系统，系统完全能控的充分必要条件为
ran k[ B AB A n 1B ]=n
式中，n为矩阵A的维数。

Q d= [ B AB A n，B ]
称为系统的能控性判别矩阵。

证明：利用系统状态运动关系式，可知k=n时，系统的状态
x(n)为
nA
x(n) = A n x(0)、A n'」Bu(i)
i zO
可写为
u(n -1)
x(n)—A n x(0) = [B AB … A nJL B~\u(n「2)
1 u(0).
这表明，对任意的x(0)和x(n)，当且仅当Q d满秩成立时，输入序列存在。

证毕从上述定理的证明过程，结合能控性指数的定义可知，实现状态的任意控制，输入序列的长度为至少为上述定理同时给出了实现状态转移的输入序列的求取方法。

例4离散时间线性定常系统状态方程为
1 0 0 0
x(k 1) = 0 2 -2 x(k) 0 u(k)
_-L 1 0 _1
计算系统的能控性矩阵
0 0 0
Q d = IB AB A2 B】=0 -2 Y
J 0 -2 _
容易判定，rankQ°= 2 < n。

根据能控性秩判据可知，该系统不完全能控。

离散系统的能观性
1. 能观性定义
考虑离散时间线性定常系统零输入时的状态空间描述
x (k 1) = Ax (k)
y(k)= Cx (k)
n维状态向量；y为q维输出向量。

式中，x为
定义4-9 ［能观性定义］对系统，若能根据在有限
个采样时间点上输出y(k)的观测值，唯一地确定系统的
任意非零初始状态x0，则称此系统或(A, C)对是状态完
全能观的，或简称此系统或(A , C)对是能观的。

否则，
则称此系统或(AC )对是状态不完全能观的，或简称此
系统或(A ,C对是不能观的。

1.能观性判据
定理［能观性格拉姆矩阵判据］离散时间线性定常系统，系统完全能观的充分必要条件为使如下定义的格拉姆矩阵
n-1
W do(n 1)八(A T)k C T CA k
为非奇异。

定理［能观性秩判据］离散时间线性定常系统，系统完全能观的充分必要条件为
C
I CA |
rank 「n
'CA :
式中，n为矩阵A的维数
C
CA
Rd =
_CA ；
称为系统的能观性判别矩阵。

能控性指数和能观性指数对于离散系统而言还具有特
别的意义，即能控性指数决定了离散系统实现任意状态转移的最短输入序列个数，能观性指数决定了输出序列的最少需观测的长度，以便由此确定系统的任意初始状态。

i. 对原点的能控性和能达性
有关能控性的定义，在不同的文献中有所不同。

其区别
主要是对系统输入实现状态转移的状态有不同的限定。

主要有以下三种：1）实现由任意状态到任意状态的转移的定义方法，如这里的能控性定义就采用了这种方法。

2）实现由任意状态到零状态的转移的定义方法，称为对原点的能控性。

3）实现由零状态到任意状态的转移的定义方法，称为从原点出发的能控性，这种情况常称为能达性。

对于连续时间系统，状态转移矩阵总是非奇异的，这三种定义是一致的。

所以一般不再讨论能达性。

对于离散时间系统，如果系统矩阵A是非奇异的，那么，这三种定义对系
统来说也是一致的，但当系统矩阵 A 奇异时，定义1）和定
义3）还是等价的，而对定义
2）和定义3）不再等价。

下面用
例子说明它们的不同。

考虑离散时间线性定常系统如下
是不能控的，按定义3）系统也是不能达的。

但由于
k
3
A = 0,k - 3,所以，有x ⑶二A 3x （0） = 0，对任意初始状态x （0）
都成立。

因此，按能控性定义
2）系统是能控的。

所以， 对离 散系统
当系统矩阵A 奇异时，定义2）和定义3）不再等价，分 别用2）定义能控性和3）定义能达性。

采用1）的定义方法， 可使能控性问题的讨论比较简捷。

ii.
离散化系统的能控性和能观性
对连续时间线性系统离散化为离散时间线性系统进行
分析和设计是实现对系统进行计算机控制的一种常规处理 方法。

本小节不加证明地给出有关连续时间线性系统在时间 离散化后仍能保持系统的能控性和能观性的条件。

考虑连续时间线性定常系统，其状态空间描述为
艺：x = Ax Bu , t 0
y Cx
取采样周期为T ，并采用零阶保持器，则对应的时间离散化
x (k + 1)= 0
■0
1 x (k)+ 0
0 0 u(k) 9
由于系统的能控性矩阵秩为零，
因此，按能控性定义1）系统
各：x (k 1)= Ax (k) Bu (k) , k = 0,1,2
y (k)二 Cx (k)
式中 A= e A T , B= （ ；e A t dt ）B 。

定理4-22 ［离散化系统保持能控能观性条件］对连续时间
线性定常系统 艺经离散化后得到系统 各，若系统 艺是不能 控的（不能观的），则其离散化系统 各也是不能控的（不能 观的）。

若系统工是能控的（能观的），则其离散化系统 石 为能控的（能观的）的充分条件是系统采样周期
T 的值应满
足，当有 Re( i - j )二 0
时，成立
式中，’i 为系统矩阵A 的特征值。

上述定理在系统是单输入时，此条件也是必要的
例线性定常系统的状态空间描述为 丨 3 - 7 - 5
1 x = 1
0 0 x + 0 u 1 0 1 0 一 0 一
y -〔0 1 2 lx 可判定上述系统完全能控、能观，系统的特征值为
系统为
T 丰 ---------------
Im© — X j)
-1,-1一 j2，三个特征值具有相同的实部，按照定理，离散 化系统完全能控、能观的条件是当且仅当
I - 1,2,
用MATLAB^验如下，若取1=1，即T =50二。

在MATLAB 中输入
0.5197 -0.1039 -0.5197 x (k) 0.1039 u(k) 0.3118 _ 0.1376 y(k)「0 1 2 x (k)
离散化系统的能控性矩阵和能观性矩阵可以通过函数 ctrb 和obsv 产生。

在MATLAB^输入
ud=ctrb(ad,bd);vd=(ad,cd);
可得 -0.1039
0.1039 -0.0045 0.0000 1.0000 2.0000 U d =
0.1039 -0.1039 0.0045 ,V d = 0.1039 0.0000 0.1039 0.1376 0.0537
0.0059 一 0.0000 0.0432 0.0864
一
用rank(ud)和rank(vd)可算出秩都为2,因此，在取采 样周期为T 二0.5时，原来能控能观的系统离散化后，既不 能控，也不能
二 0.5： I ， I =1,2,…。

即系统完全能控、能观的条件为
a=[-3 -7 -5;1 0 0;0 1 0]
[ad,bd]=c2d(a,b,pi/2)
可得离散化系统状态方程为
；b=[1;0;0] ； cd=[0 1 2];
- x (k 1“ 1 -0.1039
0.2079 -0.1039 - 0.4158
0.1039 0.2079
观。

由此，验证了定理。