2020版高考数学大二轮培优理科通用版大题专项练:(六) 解析几何
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代入化简可得 ������20 + 4 ������20 + (������1 + ������2)������0 + ������1������2,
将 y1+y2=4,y1y2=-4 代入,解得 y0=±2.
将 y0=±2 代入抛物线方程,可得 x0=1.
于是点 P(1,±2)����2
{ ������2 9
+
������2 8
=
1,
联立得 ������ = ������������ + ������,得(9k2+8)x2+18kmx+9m2-72=0.
因为直线 l 与椭圆 C 相切, 所以 Δ=(18km)2-4(9k2+8)(9m2-72)=0, 化简得 m2=9k2+8. 所以������1������·������1������=-8+m2-9k2=0,
(2)证明由题意知 A(2,0),因为|PQ|=2|AM|,
{������ = ������������ + ������,
所以 AM=PM=QM,所以线段 PQ 为△APQ 外接圆的直径,即������������·������������=0,联立
������2 4
+
������2
=
1,
得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
{ ������2 = 4������,
由 ������ = ������������ - 1,消 y 得 x2-4kx+4=0.* 令 Δ=(4k)2-4×4=0,解得 k=±1. 代入方程*,解得 A(2,1),B(-2,1). 设圆心 P 的坐标为(0,a),由|PM|=|PB|,得 a+1=2,解得 a=1.
1
3.已知椭圆 C:������2 ������2=1(a>b>0)的离心率为3,左、右焦点分别为 F1、F2,A 为椭圆 C 上一点,AF1 与 y
4
轴相交于 B,|AB|=|F2B|,|OB|=3(O 为坐标原点).
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1,A2,过 A1,A2 分别作 x 轴的垂线 l1,l2,椭圆 C 的一条切线 l:y=kx+m(k≠0)分别与 l1,l2 交于点 M,N,求证:∠MF1N=∠MF2N.
当矩形各边均不与坐标轴平行时,
根据对称性,设其中一边所在直线方程为 y=kx+m,则对边方程为 y=kx-m,
1
1
另一边所在的直线为 y=-������x+n,则对边方程为 y=-������x-n,
{������2 + 4������2 = 4,
联立: ������ = ������������ + ������, 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
1
������ · ������ 1 ������2
由 kPE·kPF=-4,得������ + 2 ������ - 2=-4,即 4 +y2=1(y≠0),
当 P 与点 E,F 重合时,P(-2,0)或 P(2,0).
������2
综上,动点 P 的轨迹方程为 4 +y2=1.
(2)记矩形面积为 S,当矩形一边与坐标轴平行时,易知 S=8.
������2
+
1 ������2
+
2
∈(8,10],
综上:S∈[8,10].
2.(2019 山东烟台一模)已知 F 为抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,过 F 的动直线交抛物线 C 于 A,B 两点. 当直线与 x 轴垂直时,|AB|=4.
(1)求抛物线 C 的方程;
(2)设直线 AB 的斜率为 1 且与抛物线的准线 l 相交于点 M,抛物线 C 上存在点 P 使得直线 PA,PM,PB 的斜率成等差数列,求点 P 的坐标.
{ { 由
������
������ = 3, = ������������ +
������得
������ = 3, ������ = 3������ + ������,所以
M(-3,-3k+m),N(3,3k+m),
所以������1������=(-2,-3k+m),������1������=(4,3k+m), 所以������1������·������1������=-8+m2-9k2.
6
综上所述直线 l 过定点 5,0 .
������2 + ������2
2
6.(2019 湖北武汉 2 月调研测试)已知椭圆 Γ:������2 ������2=1(a>b>0)的长轴长为 4,离心率为 2 .
(1)求椭圆 Γ 的标准方程;
(2)过 P(1,0)作动直线 AB 交椭圆 Γ 于 A,B 两点,Q(4,3)为平面上一定点,连接 QA,QB,设直线 QA,QB 的 斜率分别为 k1,k2,问 k1+k2 是否为定值,如果是,则求出该定值;否则,说明理由.
������
所以������1������ ⊥ ������1������,故∠MF1N=2.
������
同理可得������2������ ⊥ ������2������,∠MF2N=2. 故∠MF1N=∠MF2N. 4.(2019 四川棠湖中学高三适应性考试)已知抛物线 C:x2=4y,M 为直线 l:y=-1 上任意一点,过点 M 作 抛物线 C 的两条切线 MA,MB,切点分别为 A,B. (1)当 M 的坐标为(0,-1)时,求过 M,A,B 三点的圆的方程; (2)证明:以 AB 为直径的圆恒过点 M. (1)解当 M 的坐标为(0,-1)时,设过 M 点的切线方程为 y=kx-1,
{������2 = 4������,
联立 ������ = ������ - 1消去 x,得 y2-4y-4=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4,y1y2=-4.
若点 P(x0,y0)满足条件,则 2kPM=kPA+kPB, ������0 + 2 = ������0 - ������1 + ������0 - ������2
故过 M,A,B 三点的圆的方程为 x2+(y-1)2=4.
������2 1
������21
������22
������1
������2
(2)证明设 M(x0,-1),由已知得 y= 4 ,y'=2x,设切点分别为 A x1, 4 ,B x2, 4 ,所以 kMA= 2 ,kMB= 2 ,
������21 = ������1 切线 MA 的方程为 y- 4 2 (x-x1),
则 Δ=0,即 4k2+1=m2.
|2������|
矩形的一边长为 d1= ������2 + 1,
|2������|
4
同理:������2+1=n2,矩形的另一边长为
d2=
1 ������2
+
1
,
|2������| · |2������| = |4������������������|
������2 + 1
������ = 3,������2 ������2 (1)解由已知,������ 2 ������2=1-������2,可得 a2=4b2,
( ) 1
22
又因为 S△AOB=1,即2ab=1,所以 ������ =4b2,
即 b2=1,a2=4,
������2
所以椭圆 C 的方程为 4 +y2=1.
大题专项练(六) 解析几何
A 组 基础通关
1.(2019 安徽蚌埠高三第三次教学质检)已知点 E(-2,0),F(2,0),P(x,y)是平面内一动点,P 可以与点 E,F
1
重合.当 P 不与 E,F 重合时,直线 PE 与 PF 的斜率之积为-4.
(1)求动点 P 的轨迹方程;
(2)一个矩形的四条边与动点 P 的轨迹均相切,求该矩形面积的取值范围. 解(1)当 P 与点 E,F 不重合时,
������
������
解(1)因为 F 2,0 ,在抛物线方程 y2=2px 中,令 x=2,可得 y=±p.
于是当直线与 x 轴垂直时,|AB|=2p=4,解得 p=2.
所以抛物线的方程为 y2=4x.
(2)因为抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1,所以 M(-1,-2).
设直线 AB 的方程为 y=x-1,
所以以 AB 为直径的圆恒过点 M.
5.(2019
山东潍坊三模)如图,椭圆
������2
C:������2
+
������2
������2=1(a>b>0)的离心率为
3
2 ,设
A,B
分别为椭圆
C
的右顶点,
下顶点,△OAB 的面积为 1.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)已知不经过点 A 的直线 l:y=kx+m(k≠0,m∈R)交椭圆于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M,若 |PQ|=2|AM|,求证:直线 l 过定点.
即 y=12x1x-14������21,
������22 = ������2 切线 MB 的方程为 y- 4 2 (x-x2),
即 y=12x2x-14������22.
又因为切线 MA 过点 M(x0,-1),
所以得-1=12x0x1-14������21.
①
又因为切线 MB 也过点 M(x0,-1),
C
������2
的方程为 9
+
������2
8 =1.
(2)由(1)可得,F1(-1,0),F2(1,0),l1 的方程为 x=-3,l2 的方程为 x=3.
{ { 由
������
������ =
=������������-+3,������,得
������ = - 3, ������ = - 3������ + ������,
即 2·������0 + 1 ������0 - ������1 ������0 - ������2,
������20
������21
������22
因为点 P,A,B 均在抛物线上,所以 x0= 4 ,x1= 4 ,x2= 4 .
2(������0 + 2) =
2������0 + ������1 + ������2
把①代入②,得
4k2m2-4k2+4m2-4-8k2m2+16km=-(4k2m2+16k2+m2+4),
即 12k2+16km+5m2=0,
1
5
解得 k=-2m 或 k=-6m,
1
5
6
所以直线 l 的方程为 y=-2m(x-2)或 y=-6m x-5 ,
6
所以直线 l 过定点 5,0 或(2,0)(舍去),
所以得-1=12x0x2-14������22.
②
11
所以 x1,x2 是方程-1=2x0x-4x2 的两实根,
由韦达定理得 x1+x2=2x0,x1x2=-4.
������21
因为������������= x1-x0, 4 +1 ,
������22
������������= x2-x0, 4 +1 ,
- 8������������
4������2 - 4
Δ=16×(1+4k2-m2)>0,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=4������2 + 1,x1·x2=4������2 + 1,
①
又因为������������·������������=0,
即 x1·x2-2(x1+x2)+y1·y2+4=0, 又 y1=kx1+m,y2=kx2+m, y1y2=k2x1x2+m2+km(x1+x2), 即(k2+1)x1·x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0,②
解
(1)如图,连接 AF2,由题意得|AB|=|F2B|=|F1B|,
所以 BO 为△F1AF2 的中位线,
������2 = 8 又 BO⊥F1F2,所以 AF2⊥F1F2,且|AF2|=2|BO|= ������ 3,
又
������
e=������
=
1
3,a2=b2+c2,所以
a2=9,b2=8,故所求椭圆
S=d1·d2=
1 ������2
+
1
������2 + 1
=4·
(4������2 + 1)(������2 + 4) (������2 + 1)2
=4·
4������4 + 17������2 + 4
(������2 + 1)2 =4·
4
+
9������2 (������2 + 1)2
4+ 9
=4·
������21
所以������������·������������=(x1-x0)(x2-x0)+ 4 +1
������22
4 +1
=x1x2-x0(x1+x2)+������20
+
������21������22 16
+
1
4[(x1+x2)2-2x1x2]+1.
将 x1+x2=2x0,x1x2=-4 代入,得������������·������������=0.