八年级(下)学期 第二次质量检测数学试题含解析

一、选择题
1．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB 的中点，下列结论
①BE⊥AC
②四边形BEFG是平行四边形
③EG=GF
④EA平分∠GEF
其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
2．如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM等于（）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
3．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABE沿着BE折叠，使点A的对应点F恰好落在边CD上，连接EF，BF，给出下列结论：
①若∠A =70°，则∠ABE =35°；②若点F 是CD 的中点，则S △ABE 1
3
=S 菱形ABCD 下列判断正确的是（ ）
A ．①，②都对
B ．①，②都错
C ．①对，②错
D ．①错，②对
5．如图，边长为8的正方形ABCD 的对角线交于点O ，点,E F 分别在边,CD DA 上
（CE DE <），且90,,EOF OE BC ︒
∠=的延长线交于点 ,,G OF CD 的延长线交于点,H E 恰为OG 的中点．下列结论：
①OCE ODF ∆∆≌； ②OG OH =； ③210GH =．
其中，正确结论的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
6．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中,..BC E 三点在同一直线上,点D 在CG 上.1,3BC CE ==，连接,AF H 是AF 的中点，连接CH ,那么CH 的长是( )
A 5
B ．5
C ．
322
D ．42
7．如图，正方形ABCD （四边相等、四内角相等）中，AD ＝5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE ＝FC ＝4，BE ＝DF ＝3，则EF 的平方为（ ）
A ．2
B ．
125
C ．3
D ．4
8．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥AC 于 F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）
A ．1
B ．1.3
C ．1.2
D ．1.5
9．如图，在菱形ABCD 中，5AB cm =，120ADC =∠︒，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1/cm s ，点
F 的速度为2/cm s ，经过t 秒DEF ∆为等边三角形，则t 的值为（ ）
A ．
34
B ．
43
C ．
32
D ．
53
10．将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF ．若 AB ＝3，则 BC 的长为（ ）
A 2
B ．2
C ．1.5
D 3二、填空题
11．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则
PE+PB 的最小值为 ．
12．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接
BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．
13．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．
14．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、
P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积
依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．
15．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF
+=的点P 的个数是________个．
16．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.
17．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．
18．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.
19．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.
20．已知：一组邻边分别为6cm 和10cm 的平行四边形ABCD ，DAB ∠和ABC ∠的平分线分别交CD 所在直线于点E ，F ，则线段EF 的长为________cm ．
三、解答题
21．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间
是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ． （1）求证：AE ＝DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．
22．如图， 平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ． （1） 求证：四边形CEDF 是平行四边形；
（2） ①当AE 的长为多少时， 四边形CEDF 是矩形；
②当AE = cm 时， 四边形CEDF 是菱形， （直接写出答案， 不需要说明理由）．
23．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ． （1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？
（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．
（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接
DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点
E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ． （1）求证：G
F GC =；
（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．
25．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠． （1）若点F 在边CD 上，如图1，
①求证：CH CG ⊥． ②求证：GFC 是等腰三角形．
（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ． 26．感知：如图①，在正方形ABCD 中，E 是AB 一点，F 是AD 延长线上一点，且
DF BE ＝，求证：CE CF ＝；
拓展：在图①中，若G 在AD ，且45GCE ∠︒＝，则GE BE GD +＝成立吗？为什么？ 运用：如图②在四边形ABCD 中，()//AD BC BC AD ＞，90A B ∠∠︒＝＝，
16AB BC ＝＝，E 是AB 上一点，且45DCE ∠︒＝，4BE ＝，求DE 的长．
27．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使
AE AD =，EAD BAC ∠=∠．
（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①） ①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系； ②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；
（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
28．已知正方形ABCD 与正方形（点C 、E 、F 、G 按顺时针排列），是的中点，连接，.
（1）如图1，点E 在上，点在的延长线上， 求证：DM =ME ，DM ⊥.ME
简析： 由是的中点，AD ∥EF ，不妨延长EM 交AD 于点N ，从而构造出一对全等的三角形，即 ≌ .由全等三角形性质，易证△DNE 是 三角形,进而得出结论. （2）如图2， 在DC 的延长线上，点在上，（1）中结论是否成立？若成立,请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
（3）当AB=5，CE=3时，正方形的顶点C 、E 、F 、G 按顺时针排列.若点E 在直线CD 上，则DM= ;若点E 在直线BC 上，则DM= .
29．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以
E 为顶点，ED 为一边，作DE
F A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．
（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；
（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；
（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
30．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．
（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝
1
4
S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ； （2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝1
4
S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；
（3）拓展迁移：如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，且S 四边形AEOG ＝1
4
S ▱ABCD ，若AB ＝3，AD ＝5，BE ＝1，则AG ＝ ．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO=1
BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，
2
又∵BD=2AD，
∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，
∴BE⊥AC，
故①正确，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，EF=1
CD，
2
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴GE=1
AB=AG=BG，
2
∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，
故③错误，
∵BG=EF，BG∥EF∥CD，
∴四边形BEFG是平行四边形，
故②正确，
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，
∵AG=GE，
∴∠GAE=∠AEG，
∴∠AEG=∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正确，
故选B．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
过B 作BF ∥MN 交AD 于F ，则∠AFB ＝∠ANM ，根据正方形的性质得出∠A ＝∠EBC ＝90°，AB ＝BC ，AD ∥BC ，推出四边形BFNM 是平行四边形，得出BF ＝MN ＝CE ，证Rt △ABF ≌Rt △BCE ，推出∠AFB ＝∠ECB 即可．
【详解】
解：
过B 作BF ∥MN 交AD 于F ，
则∠AFB ＝∠ANM ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠A ＝∠EBC ＝90°，AB ＝BC ，AD ∥BC ，
∴FN ∥BM ，BF ∥MN ，
∴四边形BFNM 是平行四边形，
∴BF ＝MN ，
∵CE ＝MN ，
∴CE ＝BF ，
在Rt △ABF 和Rt △BCE 中
BF CE AB BC =⎧⎨=⎩
∴Rt △ABF ≌Rt △BCE （HL ），
∴∠ABF ＝∠MCE ＝35°，
∴∠ANM ＝∠AFB ＝55°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定即性质，还涉及正方形的性质以及平行四边形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
连结CE ，根据菱形的性质和全等三角形的判定可得△ABE ≌△CBE ，根据全等三角形的性质可得AE ＝CE ，设∠OCE ＝a ，∠OAE ＝a ，∠AEO ＝90°﹣a ，可得∠ECF ＝∠EFC ，根据等角对等边可得CE ＝EF ，从而得到AE ＝EF ，在Rt △ABO 中，根据含30°的直角三角形的性质得到
AO ＝2，可得2≤AE ≤4，从而得到EF 的长的整数值可能是2，3，4．
【详解】
解：如图，连结CE ，
∵在菱形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ＝30°，BE ＝BE ，
∴△ABE ≌△CBE ，
∴AE ＝CE ，
设∠OCE ＝a ，∠OAE ＝a ，∠AEO ＝90°﹣a ，
∴∠DEF ＝120°﹣（90°﹣a ）＝30°+a ，
∴∠EFC ＝∠CDE +∠DEF ＝30°+30°+a ＝60°+a ，
∵∠ECF ＝∠DCO +∠OCE ＝60°+a ，
∴∠ECF ＝∠EFC ，
∴CE ＝EF ，
∴AE ＝EF ，
∵AB ＝4，∠ABE ＝30°，
∴在Rt △ABO 中，AO ＝2，
∵OA ≤AE ≤AB ，
∴2≤AE ≤4，
∴AE 的长的整数值可能是2，3，4，即EF 的长的整数值可能是2，3，4．
故选：C ．
【点睛】
考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，证明△ABE ≌△CBE ．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
只要证明BF BC =，可得ABF BFC C 70∠∠∠===，即可得出ABE 35∠=；延长EF 交BC 的延长线于M ，只要证明DEF ≌CMF ，推出EF FM =，可得
EMB BCDE S S =四边形，BEF MBE 1S S 2=，推出ABE ABCD 1S S 3
菱形=． 【详解】 ①∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∠C=∠A=70°．
∵BA=BF=BC ，∴∠BFC=∠C=70°，∴∠ABF=∠BFC=70°，∴∠ABE 12
=∠ABF=35°，故①正
确；
②如图，延长EF 交BC 的延长线于M ，
∵四边形ABCD 是菱形，F 是CD 中点，∴DF=CF ，∠D=∠FCM ，∠EFD=∠MFC ，∴△DEF ≌△CMF ，∴EF=FM ，∴S 四边形BCDE =S △EMB ，S △BEF 12=
S △MBE ，∴S △BEF 12=S 四边形BCDE ，∴S △ABE 13
=S 菱形ABCD ．故②正确， 故选A ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．C
解析：C
【分析】
①直接利用角边角判定定理判断即可；
②证明ODH OCG ∆≅∆即可；
③在Rt CGH ∆中求解即可判断此答案错误．
【详解】
解：①∵四边形ABCD 是正方形，,AC BD 是对角线，
∴OD OC =，45ODF OCE ∠=∠=︒，90DOC ∠=︒，
∵90EOF ∠=︒，
∴DOC DOE EOF DOE ∠-∠=∠-∠，即：EOC DOF ∠=∠，
在ODF ∆和OCE ∆中，
∵ODF OCE OD OC DOF COE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ODF OCE ∆≅∆，
故①正确；
②∵45ODF OCE ∠=∠=︒，
∴90=90=135ODF OCE ∠+︒∠+︒︒，即：ODH OCG ∠=∠，
在ODH ∆和OCG ∆中，
∵GOC DOH OD OC ODH OCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴ODH OCG ∆≅∆，
∴OH OG =，
故②正确；
③过点O 作OM CD ⊥于点M ，
∵OM CD ⊥，
∴在等腰Rt OCD ∆中，11842
2
OM CD =
=⨯=, 在Rt ECG ∆和Rt EMO ∆中 ∵OME GCE OEM GEC OE GE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴4CG OM ==，
由②中知：ODH OCG ∆≅∆，
∴DH CG =，
∴=4DH CG =，
∴8412CH CD DH =+=+=，
∴在Rt CGH ∆中，由勾股定理得：
2222412410GH CG CH =+=+=，
故③错误；
综上所述：只有两个正确，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分每组对角．
6．A
【分析】
如下图，根据点H是AF的中点和HM∥FE，可得HP是△ANF的中位线，四边形MPNE是矩形，再根据中位线的性质和矩形的性质，可推导求得HM、CM的长，在Rt△HCM中求CH 即可
【详解】
如下图，过点H作BE的垂线，交BE于点M，延长AD交FE于点N，交HM于点P
∵四边形ABCD、CEFG是正方形，∴AD⊥EF，∠E=90°
∵HM⊥BE
∴四边形PMEN是矩形
∵BC=1，CE=3
∴NE=1，∴FN=2，PM=1
∵HM⊥BE，FE⊥BE，点H是AF的中点
∴HM是△ANF的中位线
∴HP=1
2
EF=1，AP=PN=2
∴CM=1
∴在Rt△CHM中，5
故选：A
【点睛】
本题考查正方形的性质和三角形中位线定理，解题关键是将梯形ABEF分割成矩形和三角形的形式，然后才可利用三角形中位线定理.
7．A
解析：A
【分析】
根据AB=5，AE=4，BE=3，可以确定△ABE为直角三角形，延长BE构建出直角三角形，在利用勾股定理求出EF的平方即可.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD=5，
如图，延长BE交CF于点G，
∵AB=5，AE=4，BE=3，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△ABE是直角三角形，
同理可得△DFC是直角三角形，
∵AE=FC=4,BE=DF=3,AB=CD=5，
∴△ABE≌△CDF,
∴∠BAE=∠DCF,
∵∠ABC=∠AEB=902，
∴∠CBG=∠BAE，
同理可得，∠BCG=∠CDF=∠ABE，
△ABE≌△BCG，
∴CG=BE=3，BG=AE=4，
∴EG=4-3=1，GF=4-3=1，
∴EF2=EG2+GF2=1+1=2
故选择:A
【点睛】
此题考查三角形的判定，勾股定理的运用，根据已知条件构建直角三角形求值是解题的关键.
8．C
解析：C
【分析】
首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM=1
2
AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利
用面积相等求出AP的长，即可得AM.【详解】
在△ABC中，因为AB2+AC2=BC2，
所以△ABC为直角三角形，∠A=90°，又因为PE⊥AB，PF⊥AC，
故四边形AEPF为矩形，
因为M 为 EF 中点，
所以M 也是 AP中点，即AM=1
2 AP，
故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小，
由
11
22
ABC
S AB AC BC AP
=⨯⨯=⨯⨯，可得AP=
12
5
，
AM=
1
2
AP=
6
1.2
5
=
故本题正确答案为C.
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质,确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键.
9．D
解析：D
【分析】
连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE=BF，再利用AE=t，CF=2t，则BF=BC-CF=5-2t求出时间t的值．
【详解】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AB=AD，∠ADB=
1
2
∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°，
又∵∠ADB=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
AD BD
A DBC
ADE BDF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ADE≌△BDF(ASA)，
∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC−CF=5−2t，
∴t=5−2t
∴t =
53
， 故选：D.
【点睛】 本题考查全等三角形，等边三角形，菱形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质为解题关键．
10．D
解析：D
【分析】
设BC x =，先根据矩形的性质可得90,B AD BC ∠=︒=，再根据折叠的性质可得,,90OA AD x OC BC x COE B ====∠=∠=︒，从而可得OA OC =，又根据菱形的性质可得AE CE =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得90AOE COE ∠=∠=︒，从而可得点,,A O C 共线，由此可得2AC x =，最后在Rt ABC 中，利用勾股定理即可得．
【详解】
设BC x =，
四边形ABCD 是矩形，
90,B AD BC x ∴∠=︒==，
由折叠的性质得：,,90OA AD x OC BC x COE B ====∠=∠=︒，
OA OC x ∴==，
四边形AECF 是菱形，
AE CE ∴=，
在AOE △和COE 中，OA OC AE CE OE OE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()AOE COE SSS ∴≅，
90AOE COE ∴∠=∠=︒，即180AOE COE ∠+∠=︒，
∴点,,A O C 共线，
2AC OA OC x ∴=+=，
在Rt ABC 中，222AB BC AC +=，即2223(2)x x +=，
解得x =
x =
即BC =
故选：D ． 【点睛】
本题考查了矩形与菱形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，利用三角形全等的判定定理与性质证出90AOE COE ∠=∠=︒，从而得出点,,A O C 共线是解题关键．
二、填空题
11．25
【详解】
由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．连接DE，交AC于点P，连接BD．
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵AB=4，E是BC的中点，
∴CE=2，
在Rt△CDE中， DE=25．
考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．
12．43或4
【解析】
分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=22
84=43
；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为34；
故答案为3 4.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
13．200m
【分析】
如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】
如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M
由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形
∵∠A ＝∠B ＝60°
∴18060E A B ∠=-∠-∠=
∴△ABC 是等边三角形
∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m
故答案为：200m ．
【点睛】
本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
14．4:9
【分析】
设DP ＝DN ＝m ，则PN 2m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=
12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．
【详解】
根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN 22m m +2m ，
∴2m=MC ，22PM MC +，
∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，
∵四边形HMPN 是正方形，
∴GF ⊥BC
∵∠ACB ＝45︒，
∴△FGC 是等腰直角三角形，
∴FG=CF=
12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98
m 2， ∴12:S S =
12m 2: 98m 2=4:9， 故答案为4：9．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
15．8个
【分析】
作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ，可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【详解】
如图，作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ， ∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，
∴EC ＝4，FC ＝2＝AE ，
∵点M 与点F 关于BC 对称，
∴CF ＝CM ＝2，∠ACB ＝∠BCM ＝45°，
∴∠ACM ＝90°，
∴EM
则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为5，
在点H 右侧，当点P 与点C 重合时，则PE ＋PF ＝4＋2＝6，
∴点P 在CH 上时，PE ＋PF ≤6，
在点H 左侧，当点P 与点B 重合时，
∵FN ⊥BC ，∠ABC ＝90°，
∴FN ∥AB ，
∴△CFN ∽△CAB ， ∴FN CN CF 1===AB CB CA 3
，
∵AB ＝BC ＝
2AC ＝
∴FN ＝
13AB ，
CN ＝13
BC
∴BN ＝BC －CN ＝，
BF ＝，
∵AB ＝BC ，CF ＝AE ，∠BAE ＝∠BCF ，
∴△ABE ≌△CBF （SAS ），
∴BE ＝BF ，
∴PE ＋PF ＝
∴点P 在BH 上时，PE ＋PF ＜
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE＋PF＝5，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE＋PF＝5．
即共有8个点P满足PE＋PF＝5，
故答案为8．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
16．3或6
【详解】
①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，
由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=1
2
×90°=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=6cm；
②∠EB′C=90°时，如图2，
由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，
∴A、B′、C在同一直线上，
AB′=AB，BE=B′E，
由勾股定理得，2222
68
AB BC
+=+，∴B′C=10-6=4cm，
设BE=B′E=x，则EC=8-x，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
即BE=3cm，
综上所述，BE的长为3或6cm．
故答案为3或6．
17．
【详解】
解析：∵在正方形ABCD中，AC=
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF与AD交点为O，O是AD的中点,
∴AO=3
以AD为对角线的所有▱AEDF中，当EF⊥AC时，EF最小，
即△AOE是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，，
∴EF=2OE=
18．9或1)．
【分析】
分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．【详解】
解：①如图1，延长EA交DC于点F，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
当EA⊥BA时，△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，
∴∠FAC=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠AFC=90°，
∴CF=1
2
AC=3，
则△ACE的面积为：1
2
AE×CF=
1
2
×6×3=9；
②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，
由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，
∴AF=1
2
AE，AF=CF=
2
2
AC=32
∵AB=BE=6，
∴AE=2
∴2236
AE AF
-=
∴EC=EF+FC=3632
则△ACE的面积为：1
2
EC×AF=
1
(3632)329(31)
2
⨯⨯=．
故答案为：9或31)．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
19．6
【分析】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，
推出PE=1
2
PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条
直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=1
2
AB=3，得到2PB+
PD的最小值等于6.
【详解】
过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE=1
2 PD，
∵2PB+ PD=2（PB+1
2
PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值=1
2
AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
20．2或14
【分析】
利用当AB=10cm,AD=6cm，由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，则DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm，而EF=CF+DE-DC，由此可以求出EF长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出EF长
【详解】
解：如图1，当AB=10cm,AD=6cm
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE，
又∵AD∥CB
∴∠EAB=∠DEA，
∴∠DAE=∠AED，则AD=DE=6cm
同理可得：CF=CB=6cm
∵EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)
如图2，当AD=10cm,AB=6cm,
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE
又∵AD∥CB
∴∠EAB=∠DEA，
∴∠DAE=∠AED则AD=DE=10cm
同理可得，CF=CB=10cm EF=DE+CF-DC=10+10-6=14（cm）
故答案为：2或14.
图1 图2
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行四边形的不同可能性进行分类讨论．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）15
2
，理由见解析；
【分析】
（1）利用题中所给的关系式，列出CD，DF，AE的式子，即可证明．
（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF，求解即可得出t值．
（3）由题意可知，当DE∥BC时，△DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代入式子求值即可．
【详解】
（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形
∵∠B＝90°，∠A＝60°
∴∠C=30°，CD=2DF，
又∵由题意知CD=4t，AE=2t，
∴CD=2AE
∴AE=DF．
（2）能，理由如下；
由（1）知AE=DF
又∵DF⊥BC，∠B＝90°
∴AE∥DF
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形
∵AC＝60cm，DF=1
2
CD，CD=4t，
∴AD=60-4t，DF=2t，∴60-4t=2t
∴t=10．
（3）当t为15
2
时，△DEF为直角三角形，理由如下；
由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF⊥BC，AE∥DF，∴当DE∥BC时，DF⊥DE
∴∠FDE=∠DEA=90°
在△AED中，
∵∠DEA=90°，∠A＝60°，AE=2t
∴AD=4t，
又∵AC＝60cm，CD=4t，
∴AD+CD=AC，8t=60，
∴t=15
2
．
即t=15
2
时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形；②2
【分析】
（1）证明△FCG ≌△EDG（ASA），得到FG=EG即可得到结论；
（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形.过A作AM⊥BC于M，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM，证明
△MBA≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF是矩形；
②根据四边形CEDFCEDF是菱形，得到CD⊥EF，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ CF∥ED，
∴∠FCG＝∠EDG，
∵ G是CD的中点，
∴ CG＝DG，
在△FCG和△EDG中，
FCG EDG CG DG
CGF DGE ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△FCG ≌△EDG（ASA），
∴ FG＝EG，
∵ CG＝DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形，
理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∵AB=3，
∴BM=1.5，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，
∵AE=3.5，
∴DE=1.5=BM ，
在△MBA 和△EDC 中，
BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△MBA ≌△EDC(SAS)，
∴∠CED=∠AMB=90°，
∵四边形CEDF 是平行四边形，
∴四边形CEDF 是矩形；
②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，
∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，
∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，
∴∠DEG=30°，
∴DE=2DG=3，
∴AE=AD-DE=5-3=2，
故答案为：2.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.
23．（1）
34
；（2）y =4t +2；（3）存在，点M 的坐标为（1，0）或（2，0）． 【分析】
（1）因为BN ∥MP ，故当BN=MP 时，四边形BNMP 为平行四边形，此时点M 在点P 的左侧，求解即可；
（2）y=1
2
（BN+PA）•OC，即可求解；
（3）①当∠MQA为直角时，则△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，即可求解；②当∠QMA为直角时，则NB+OM=BC=3，即可求解．
【详解】
（1）∵BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形．
此时点M在点P的左侧时，即0≤t＜1时，
MP=OP﹣OM=3﹣t﹣2t=3﹣3t，BN=t，
即3﹣3t=t，解得：t=3
4
；
（2）由题意得：由点C的坐标知，OC=4，
BN=t，NC=PO=3﹣t，PA=4﹣OP=4﹣（3﹣t）=t+1，
则y=1
2
(BN+PA)•OC=
1
2
(t+t+1)×4=4t+2；
（3）由点A、C的坐标知，OA=OC=4，
则△COA为等腰直角三角形，故∠OCA=∠OAC=45°，①当∠MQA为直角时，
∵∠OAC=45°，故△MAQ为等腰直角三角形，
则PA=PM，
而PA=4﹣(3﹣t)=t+1，PM=OP﹣OM=(3﹣t)﹣2t=3﹣3t，
故t+1=3﹣3t，解得：t=1
2
，则OM=2t=1，
故点M（1，0）；
②当∠QMA为直角时，
则点M、P重合，
则NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：t=1，
故OM=OP=2t=2，
故点M（2，0）；
综上，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．
【点睛】
本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．
24．（1）详见解析；（2）BH=，理由详见解析
【分析】
1）如图1，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建AM=AE，先证明∠EDG=45°，得DE=EH，证明
△DME≌△EBH，则EM=BH，根据等腰直角△AEM得：EM=，得结论；
【详解】
证明：（1）如图1，连接DF ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴DA DC =，90A C ∠=∠=︒，
∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，
∴ADE ∆≌FDE ∆，
∴DA DF DC ==，90DFE A ∠=∠=︒，
∴90DFG ∠=︒，
在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中，
∵DF DC DG DG =⎧⎨=⎩
∴Rt DFG ∆≌Rt DCG ∆（HL ），
∴GF GC =；
（2）2BH AE =，理由是：
如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，
∵AD AB =，
∴DM BE =，
由（1）知：12∠=∠，34∠=∠，
∵90ADC ∠=︒，
∴123490∠+∠+∠+∠=︒，
∴222390∠+∠=︒，
∴2345∠+∠=︒，
即45EDG ∠=︒，
∵EH DE ⊥，
∴90DEH ∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形，
∴190AED BEH AED ∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =，
∴1BEH ∠=∠，
在DME ∆和EBH ∆中，
1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴DME ∆≌EBH ∆
∴EM BH =，
Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =， ∴2EM AE
=， ∴2BH AE =；
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
25．（1）①见解析；②GFC 是等腰三角形，证明见解析；（2）4+25或4﹣25．
【分析】
（1）①只要证明△DAH ≌△DCH ，即可解决问题；
②只要证明∠CFG=∠FCG ，即可解决问题；
（2）分两种情形解决问题：①当点F 在线段CD 上时，连接DE ．②当点F 在线段DC 的延长线上时，连接DE ．分别求出EC 即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADB ＝∠CDB ＝45°，DA ＝DC ，
在△DAH 和△DCH 中，
DA DC ADH CDH DH DH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAH ≌△DCH ，
∴∠DAH ＝∠DCH ；
∵∠ECG=∠DAH ，
∴∠ECG=∠DCH，
∵∠ECG+∠FCG=∠FCE=90°，
∴∠DCH+∠FCG=90°，
∴CH⊥CG.
②∵在Rt△ADF中，∠DFA+∠DAF＝90°，
由①得∠DCH+∠FCG=90°，∠DAH＝∠DCH；
∴∠DFA＝∠FCG，
又∵∠DFA＝∠CFG，
∴∠CFG＝∠FCG，
∴GF＝GC，
∴△GFC是等腰三角形
-．
（2）BE的长为 4+25或425
①如图①当点F在线段CD上时，连接DE．
∵∠GFC＝∠GCF，
又∵在Rt△FCG中，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，
∴EG＝GC＝FG，
∴G是EF的中点，
∴GM是△DEF的中位线
∴DE＝2MG＝6，
在Rt△DCE中，CE22
-5
64
-22
DE DC
∴BE＝BC+CE＝4+25
②当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可知GM 是△DEC 的中位线，
∴DE ＝2GM ＝5，
在Rt △DCE 中，CE 22DE DC -2264-5
∴BE ＝BC ﹣CE ＝4﹣5
综上所述，BE 的长为4+54﹣25
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（1）见解析；（2）GE=BE+GD 成立，理由见解析；（3）
685
【分析】
（1）利用已知条件，可证出△BCE ≌△DCF (SAS )，即可得到CE=CF ；
（2）借助（1）的结论得出∠BCE =∠DCF ，再通过角的计算得出∠GCF =∠GCE ，由SAS 可得△ECG ≌△FCG ，则EG=GF ，从而得出GE=DF+GD=BE+GD ；
（3）过C 作CG ⊥AD ，交AD 延长线于G ，先证四边形ABCG 是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE =x ，利用（1）、（2）的结论，在Rt △AED 中利用勾股定理构造方程即可求出DE ．
【详解】
（1）证明：如图①，在正方形ABCD 中，BC=CD ，∠B =∠ADC =90°，
∴∠CDF=90°，即∠B =∠CDF =90°，
在△BCE 和△DCF 中， BC DC B CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCE ≌△DCF (SAS )，
∴CE=CF ；
（2）解：如图①，GE=BE+GD 成立，理由如下：
由（1）得△BCE ≌△DCF ，
∴∠BCE=∠DCF ，
∴∠ECD +∠ECB=∠ECD +∠FCD ，
即∠ECF =∠BCD =90°，
又∵∠GCE =45°，
∴∠GCF =∠ECF −∠ECG =45°，则∠GCF=∠GCE ，
在△GEC 和△GFC 中，
CE CF GCE GCF GC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△GEC ≌△GFC (SAS )，
∴EG=GF ，
∴GE=DF+GD=BE+GD ；
（3）解：如图②，过C 作CG ⊥AD 于G ，
∴∠CGA=90°，
在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠B =90°，
∴四边形ABCG 为矩形，
又∵AB=BC ，
∴四边形ABCG 为正方形，
∴AG =BC=AB =16，
∵∠DCE =45°，由（1）和（2）的结论可得：ED=BE+DG ，
设DE=x ，
∵4BE ＝，
∴AE =12，DG=x −4，
∴AD =AG −DG =20−x
在Rt △AED 中，
由勾股定理得：DE 2=AD 2+AE 2，
即x 2=(20−x )2+122 解得：685
=x ，。