高中数学探究导学课型第一章集合与函数的概念1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人
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第四页，共58页。
2.上述(shàngshù)特征能否用数量间的关系来体现？试着 表：
x
123 4 5 6 7 8
f(x)=x+1 _2_ _3_ _4_ _5_ 6 _7_ _8_ _9_
f(x)=x2(x≥0) __ __ __ ___ 25 ___ ___ ___
1 4 9 16
36 49 64
间
第十二页，共58页。
【深度思考(sīkǎo)】 结合教材P29例2，你认为怎样判断函数的单调性？ 第一步：取值：___________________. 第二步：作差变形任：作取__差x_1，_f_(x_x2_2∈_)_-D_f且_(_xx_11_)<_，x_2 _并__对__其_变__形__(_b.iàn 第三步：判断符号：x确_ín_g定_)_(_q_u_è_d_ìn_g_)_f_(_x_2_)_-_f_(_x_1.)的 第四步：下结论：__符__号___________________.
x2 1
【解题指南】利用单调性的定义作差变形后讨论差的
符号，从而(cóng ér)得出f(x)的单调性.
第四十页，共58页。
【解析(
ax1x
2 2
jiěaxx1 ī)a】x2设x12-1<axx21<ax2x2<1x，1 则x1fx(2x11)-，xf(1a2x121)=xa22x2
1
第二十五页，共58页。
2.若函数y=f(x)在D上是减函数，D1⊆D，则y=f(x)在D1上 是什么(shén me)函数？ 提示：减函数.
第二十六页，共58页。
3.在函数增减性的定义中，x1-x2的符号与f(x1)-f(x2) 的符号之间有什么(shén me)关系？ 提示：当函数是增函数时，x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号 相同；当函数是减函数时，x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号 相反.
⇓
x1<x2时，f(x1)>f(x2)
第十页，共58页。
减函数(hánshù)如的果定对义于：定_义__域__I_内_某__个__(_m_ǒ_u__ɡ_è_)_区__间_D_上__的__任__意_ _________________________________________________
两个(liǎnɡ ɡè)自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)
f(x)= (x>0) __ _1_ _1_ _1_ _1_ _1_ _1_ _1_
1
12 3 4 5 6 7 8
x
第九页，共58页。
用文字语言描述(miáo shù)：当自变量x的值增大时，对应的函
值y逐渐______ 减小.
⇓
用符号语言描述(miáo shù)：___________________.
增两函个数(的li定ǎn义ɡ (ɡdè如ì)n果自gy(变ìr)ú：量gu_的ǒ_)_值对__于x_1_定，_义_x_2域_，_I_内当__某x_1个_<_x区_2_时间__D，_上_都的__有任__意__ __f_(_x_1_)_<_f_(_x_2_)_，____________________________________ ___________________________________
第二十三页，共58页。
【互动探究(tànjiū)】 1.如果在函数y=f(x)中有f(1)<f(2)，能否得到函数为增 函数？
第二十四页，共58页。
提示：不能，函数单调(dāndiào)性的定义中任取x1，x2，当 x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则函数y=f(x)为增函数，而1和2只 是定义域上的两个特殊值，不能说明对任意的x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)，所以由f(1)<f(2)得不到函数为增函数.
注意事项： (1)单调(dāndiào)区间必须是函数定义域的子集. (2)若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增 (减)函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函 数.
第三十一页，共58页。
(3)函数(hánshù)的单调区间的书写，只要在端点处有定义， 用开区间或闭区间都可以，但若在端点处无定义，必须用开 区间表示.
-1)为f(x)= 1 的单调递减区间，同理(-1，+∞)为f(x)
x 1 = 1 的单调递减区间.
答案x ：1 (-∞，-1)，(-1，+∞)
第三十七页，共58页。
2.作出函数f(x)= x 3, x 1,的图象，并指出函数的单调
区间(qū jiān). x 22 3, x＞1
【解析】f(x)=
第四十二页，共58页。
【巩固训练】(2016·浏阳高一检测(jiǎn cè))已知函数fm(x)
因为-1<x1x2 11<xx22<2 11，
x12 1
x
2 2
1
所以x2-x1>0，x1x2+1>0，(x12-1)(x22-1)＞0,
又a>0，所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(-1，1)上为减函数.
第四十一页，共58页。
【规律总结】利用定义证明函数单调性时的变形技巧 (jìqiǎo) (1)因式分解：当原函数是多项式函数时，常进行因式 分解. (2)通分：当原函数是分式函数时，作差后通分，然后 对分子进行因式分解. (3)分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往 考虑分子有理化.
【备选(bèi xuǎn)训练】1.已知函数f(x)在[-5，6]上 单调， 且f(2)>f(3)，则f(x)在[-5，6]上 ( ) A.单调递增 B.单调递减 C.在[-5，3]上单调递减，在[3，6]上单调递增 D.无法判断
第十七页，共58页。
【解析】选B.因为f(x)在[-5，6]上单调(dāndiào)，而2<3 且f(2)>f(3)，故f(x)在[-5，6]上单调(dāndiào)递减.
第二十页，共58页。
3.已知函数f(x)= 1，则f(1)与f(2)的大小关系为f(1) f(2). x
【解析】因为函数f(x)= 在(0，+∞)上为减函数，
1 所以(suǒyǐ)f(1)>f(2). x
答案：>
第二十一页，共58页。
4.证明函数f(x)= 1，x∈(-∞，0)是减函数.(仿照教 材P29例2的解析(jixě xī)过程)
(3)当函数(hánshù)y=f(x)恒为正或恒为负时，y=f(x)与1y= f (x)
的单调性相反.
第二十九页，共58页。
(4)函数y=f(x)与函数y=f(x)+c的单调(dāndiào)性相同. (5)函数f(x)和g(x)都为增(减)函数，则函数f(x)+g(x)亦为 增(减)函数.
第三十页，共58页。
根据单调性的定义下结论
第十三页，共58页。
【预习小测】 1.函数(hánshù)y=f(x)的图象如图所示，其增区间是 () A.[-4，4] B.[-4，-3]∪[1，4] C.[-3，1] D.[-3，4]
第十四页，共58页。
【解析(jiě xī)】选C.由图可知增区间为[-3，1].
第十五页，共58页。
第十八页，共58页。
2.函数(hánshù)y=f(x)的图象如图，根据图象函数
(hánshù)y=f(x)的增区
间为
，
；减区间为
，
.
第十九页，共58页。
【解析】由图象可知(kě zhī)函数y=f(x)的增区间为[-1，0)， [1，2]，减区间为[-2，-1)，[0，1). 答案：[-1，0) [1，2] [-2，-1) [0，1)
第三十四页，共58页。
【解析】图象如图所示.
由图象可知：函数的定义域：[-4，+∞)，值域：(-∞， 3]，单调(dāndiào)增区间：(-2，0)，单调(dāndiào)减区 (-4，-2)， (0，+∞).
第三十五页，共58页。
【规律总结】求函数单调区间的三种方法 方法一：转化为已知的基本初等函数(如一次函数、二次函 数等)的单调性判断. 方法二：定义法.即先求出定义域，再利用单调性的定义进 行判断求解(qiú jiě). 方法三：图象法.即先画出图象，根据图象求单调区间.
___________________________________
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
第十一页，共58页。
⇓ 增函数(hánshù)或减函
单调性：如果函数y=f(x)在区间D上是_______________，
那么(nà me)就说函数单y=调f(x)在这一区间数具有(h(á严ns格hù的) )单调性. 区间D叫做y=f(x)的__(_d_ā_n_d_i_à_o.)区
第三十二页，共58页。
【题型探究】 类型(lèixíng)一：求函数的单调区间 【典例1】(2016·成都高一检测)设函数f(x)=
画出函数f(x)的图象，
x2 4x 3,4 x＜0, 并指出函数的定义域、值域、单调区间. x 3, x 0,
第三十三页，共58页。
【解题指南】分别在同一坐标系内作出二次函数 y=x2+4x+3及一次函数y=-x+3的图象，然后分别截取在 区间[-4，0)及[0，+∞)上的部分，即得到f(x)的图象， 再由图象得出(dé chū)函数的定义域、值域、单调区间.
1.3 函数的基本(jīběn)性质 1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
第一页，共58页。
第二页，共58页。
【自主预习】 主题1：增函数 1.观察下列两个图象(tú xiànɡ)，从图形上看，它们有什么 共同特征？
第三页，共58页。
提示：从图形上看，它们的图象(tú xiànɡ)都是上升的.
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
第七页，共58页。
主题2：减函数 观察下列两个函数图象(tú xiànɡ)，类比增函数的认 知、探究过程完成下面填空.
第八页，共58页。
x f(x)=-x+1
12 3 4 5 6 7 8 _0_ _-_1_ _-_2_ _-_3_ _-_4_ _-_5_ _-_6_ _-_7_
第三十六页，共58页。
【巩固训练】1.f(x)= 1 的单调递减区间为 .
【解析(jiě xī)】1 f(x)x=1 的定义域为(-∞，-1)∪(-1，
+∞)，
x 1
任取x1，x2∈(-∞，-1)且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=
1 1 x2 x1
x1 1 x2 1 x1 1x2 1
>0，所以f(x1)>f(x2)，(-∞，
第五页，共58页。
通过对应值表你发现了什么？ 用文字语言描述(miáo shù)：当自变量x的值增大时，对应的函数
值y也随着增__大__(__z.ēnɡ ⇓ dà)
用符号语言描述(miáo shù)：___________________. ⇓
x1<x2时，f(x1)<f(x2)
第六页，共58页。
2.已知(a，b)是函数y=f(x)的单调增区间，且x1，
x2∈(a，b)，若x1<x2，则有 ( )
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)>f(x2)
D.以上都正确(zhèngquè)
【解析】选A.根据函数单调性的定义可得正确(zhèngquè)
答案.
第十六页，共58页。
第二十二页，共58页。
【证明】设x1，x2-f(x2)=
1 1 因x2 为 x(1y,īn wèi)x1，x2∈(-∞，0)，所以x1·x2>0， 又x1x1x<2 x2x，1 所x2以x2-x1>0，
则 >0，所以f(x1)-f(x2)>0，
即fx(x2 1)x>1 f(x2)，故f(x)= 在(-∞，0)上是减函数. x1 x2 1 x
的图象如图所示：xx23,2x31,,x＞1
第三十八页，共58页。
由图可知(kě zhī)：函数的单调减区间为(-∞，1]和(1， 2)；单调增区间为[2，+∞).
第三十九页，共58页。
类型二：函数单调性的证明
【典例2】(2016·佛山高一检测)讨论函数f(x)= ax
(a>0)在(-1，1)上的单调性.
第二十七页，共58页。
【探究总结】 知识(zhī shi)归纳：
第二十八页，共58页。
方法总结：(1)函数(hánshù)y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反. (2)当c>0时，函数(hánshù)y=f(x)与y=cf(x)的单调性相同； 当 c<0时，函数(hánshù)y=f(x)与y=cf(x)的单调性相反.
2.上述(shàngshù)特征能否用数量间的关系来体现？试着 表：
x
123 4 5 6 7 8
f(x)=x+1 _2_ _3_ _4_ _5_ 6 _7_ _8_ _9_
f(x)=x2(x≥0) __ __ __ ___ 25 ___ ___ ___
1 4 9 16
36 49 64
间
第十二页，共58页。
【深度思考(sīkǎo)】 结合教材P29例2，你认为怎样判断函数的单调性？ 第一步：取值：___________________. 第二步：作差变形任：作取__差x_1，_f_(x_x2_2∈_)_-D_f且_(_xx_11_)<_，x_2 _并__对__其_变__形__(_b.iàn 第三步：判断符号：x确_ín_g定_)_(_q_u_è_d_ìn_g_)_f_(_x_2_)_-_f_(_x_1.)的 第四步：下结论：__符__号___________________.
x2 1
【解题指南】利用单调性的定义作差变形后讨论差的
符号，从而(cóng ér)得出f(x)的单调性.
第四十页，共58页。
【解析(
ax1x
2 2
jiěaxx1 ī)a】x2设x12-1<axx21<ax2x2<1x，1 则x1fx(2x11)-，xf(1a2x121)=xa22x2
1
第二十五页，共58页。
2.若函数y=f(x)在D上是减函数，D1⊆D，则y=f(x)在D1上 是什么(shén me)函数？ 提示：减函数.
第二十六页，共58页。
3.在函数增减性的定义中，x1-x2的符号与f(x1)-f(x2) 的符号之间有什么(shén me)关系？ 提示：当函数是增函数时，x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号 相同；当函数是减函数时，x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号 相反.
⇓
x1<x2时，f(x1)>f(x2)
第十页，共58页。
减函数(hánshù)如的果定对义于：定_义__域__I_内_某__个__(_m_ǒ_u__ɡ_è_)_区__间_D_上__的__任__意_ _________________________________________________
两个(liǎnɡ ɡè)自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)
f(x)= (x>0) __ _1_ _1_ _1_ _1_ _1_ _1_ _1_
1
12 3 4 5 6 7 8
x
第九页，共58页。
用文字语言描述(miáo shù)：当自变量x的值增大时，对应的函
值y逐渐______ 减小.
⇓
用符号语言描述(miáo shù)：___________________.
增两函个数(的li定ǎn义ɡ (ɡdè如ì)n果自gy(变ìr)ú：量gu_的ǒ_)_值对__于x_1_定，_义_x_2域_，_I_内当__某x_1个_<_x区_2_时间__D，_上_都的__有任__意__ __f_(_x_1_)_<_f_(_x_2_)_，____________________________________ ___________________________________
第二十三页，共58页。
【互动探究(tànjiū)】 1.如果在函数y=f(x)中有f(1)<f(2)，能否得到函数为增 函数？
第二十四页，共58页。
提示：不能，函数单调(dāndiào)性的定义中任取x1，x2，当 x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则函数y=f(x)为增函数，而1和2只 是定义域上的两个特殊值，不能说明对任意的x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)，所以由f(1)<f(2)得不到函数为增函数.
注意事项： (1)单调(dāndiào)区间必须是函数定义域的子集. (2)若函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增 (减)函数，一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函 数.
第三十一页，共58页。
(3)函数(hánshù)的单调区间的书写，只要在端点处有定义， 用开区间或闭区间都可以，但若在端点处无定义，必须用开 区间表示.
-1)为f(x)= 1 的单调递减区间，同理(-1，+∞)为f(x)
x 1 = 1 的单调递减区间.
答案x ：1 (-∞，-1)，(-1，+∞)
第三十七页，共58页。
2.作出函数f(x)= x 3, x 1,的图象，并指出函数的单调
区间(qū jiān). x 22 3, x＞1
【解析】f(x)=
第四十二页，共58页。
【巩固训练】(2016·浏阳高一检测(jiǎn cè))已知函数fm(x)
因为-1<x1x2 11<xx22<2 11，
x12 1
x
2 2
1
所以x2-x1>0，x1x2+1>0，(x12-1)(x22-1)＞0,
又a>0，所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(-1，1)上为减函数.
第四十一页，共58页。
【规律总结】利用定义证明函数单调性时的变形技巧 (jìqiǎo) (1)因式分解：当原函数是多项式函数时，常进行因式 分解. (2)通分：当原函数是分式函数时，作差后通分，然后 对分子进行因式分解. (3)分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往 考虑分子有理化.
【备选(bèi xuǎn)训练】1.已知函数f(x)在[-5，6]上 单调， 且f(2)>f(3)，则f(x)在[-5，6]上 ( ) A.单调递增 B.单调递减 C.在[-5，3]上单调递减，在[3，6]上单调递增 D.无法判断
第十七页，共58页。
【解析】选B.因为f(x)在[-5，6]上单调(dāndiào)，而2<3 且f(2)>f(3)，故f(x)在[-5，6]上单调(dāndiào)递减.
第二十页，共58页。
3.已知函数f(x)= 1，则f(1)与f(2)的大小关系为f(1) f(2). x
【解析】因为函数f(x)= 在(0，+∞)上为减函数，
1 所以(suǒyǐ)f(1)>f(2). x
答案：>
第二十一页，共58页。
4.证明函数f(x)= 1，x∈(-∞，0)是减函数.(仿照教 材P29例2的解析(jixě xī)过程)
(3)当函数(hánshù)y=f(x)恒为正或恒为负时，y=f(x)与1y= f (x)
的单调性相反.
第二十九页，共58页。
(4)函数y=f(x)与函数y=f(x)+c的单调(dāndiào)性相同. (5)函数f(x)和g(x)都为增(减)函数，则函数f(x)+g(x)亦为 增(减)函数.
第三十页，共58页。
根据单调性的定义下结论
第十三页，共58页。
【预习小测】 1.函数(hánshù)y=f(x)的图象如图所示，其增区间是 () A.[-4，4] B.[-4，-3]∪[1，4] C.[-3，1] D.[-3，4]
第十四页，共58页。
【解析(jiě xī)】选C.由图可知增区间为[-3，1].
第十五页，共58页。
第十八页，共58页。
2.函数(hánshù)y=f(x)的图象如图，根据图象函数
(hánshù)y=f(x)的增区
间为
，
；减区间为
，
.
第十九页，共58页。
【解析】由图象可知(kě zhī)函数y=f(x)的增区间为[-1，0)， [1，2]，减区间为[-2，-1)，[0，1). 答案：[-1，0) [1，2] [-2，-1) [0，1)
第三十四页，共58页。
【解析】图象如图所示.
由图象可知：函数的定义域：[-4，+∞)，值域：(-∞， 3]，单调(dāndiào)增区间：(-2，0)，单调(dāndiào)减区 (-4，-2)， (0，+∞).
第三十五页，共58页。
【规律总结】求函数单调区间的三种方法 方法一：转化为已知的基本初等函数(如一次函数、二次函 数等)的单调性判断. 方法二：定义法.即先求出定义域，再利用单调性的定义进 行判断求解(qiú jiě). 方法三：图象法.即先画出图象，根据图象求单调区间.
___________________________________
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
第十一页，共58页。
⇓ 增函数(hánshù)或减函
单调性：如果函数y=f(x)在区间D上是_______________，
那么(nà me)就说函数单y=调f(x)在这一区间数具有(h(á严ns格hù的) )单调性. 区间D叫做y=f(x)的__(_d_ā_n_d_i_à_o.)区
第三十二页，共58页。
【题型探究】 类型(lèixíng)一：求函数的单调区间 【典例1】(2016·成都高一检测)设函数f(x)=
画出函数f(x)的图象，
x2 4x 3,4 x＜0, 并指出函数的定义域、值域、单调区间. x 3, x 0,
第三十三页，共58页。
【解题指南】分别在同一坐标系内作出二次函数 y=x2+4x+3及一次函数y=-x+3的图象，然后分别截取在 区间[-4，0)及[0，+∞)上的部分，即得到f(x)的图象， 再由图象得出(dé chū)函数的定义域、值域、单调区间.
1.3 函数的基本(jīběn)性质 1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
第一页，共58页。
第二页，共58页。
【自主预习】 主题1：增函数 1.观察下列两个图象(tú xiànɡ)，从图形上看，它们有什么 共同特征？
第三页，共58页。
提示：从图形上看，它们的图象(tú xiànɡ)都是上升的.
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
第七页，共58页。
主题2：减函数 观察下列两个函数图象(tú xiànɡ)，类比增函数的认 知、探究过程完成下面填空.
第八页，共58页。
x f(x)=-x+1
12 3 4 5 6 7 8 _0_ _-_1_ _-_2_ _-_3_ _-_4_ _-_5_ _-_6_ _-_7_
第三十六页，共58页。
【巩固训练】1.f(x)= 1 的单调递减区间为 .
【解析(jiě xī)】1 f(x)x=1 的定义域为(-∞，-1)∪(-1，
+∞)，
x 1
任取x1，x2∈(-∞，-1)且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=
1 1 x2 x1
x1 1 x2 1 x1 1x2 1
>0，所以f(x1)>f(x2)，(-∞，
第五页，共58页。
通过对应值表你发现了什么？ 用文字语言描述(miáo shù)：当自变量x的值增大时，对应的函数
值y也随着增__大__(__z.ēnɡ ⇓ dà)
用符号语言描述(miáo shù)：___________________. ⇓
x1<x2时，f(x1)<f(x2)
第六页，共58页。
2.已知(a，b)是函数y=f(x)的单调增区间，且x1，
x2∈(a，b)，若x1<x2，则有 ( )
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)>f(x2)
D.以上都正确(zhèngquè)
【解析】选A.根据函数单调性的定义可得正确(zhèngquè)
答案.
第十六页，共58页。
第二十二页，共58页。
【证明】设x1，x2-f(x2)=
1 1 因x2 为 x(1y,īn wèi)x1，x2∈(-∞，0)，所以x1·x2>0， 又x1x1x<2 x2x，1 所x2以x2-x1>0，
则 >0，所以f(x1)-f(x2)>0，
即fx(x2 1)x>1 f(x2)，故f(x)= 在(-∞，0)上是减函数. x1 x2 1 x
的图象如图所示：xx23,2x31,,x＞1
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由图可知(kě zhī)：函数的单调减区间为(-∞，1]和(1， 2)；单调增区间为[2，+∞).
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类型二：函数单调性的证明
【典例2】(2016·佛山高一检测)讨论函数f(x)= ax
(a>0)在(-1，1)上的单调性.
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【探究总结】 知识(zhī shi)归纳：
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方法总结：(1)函数(hánshù)y=f(x)与y=-f(x)的单调性相反. (2)当c>0时，函数(hánshù)y=f(x)与y=cf(x)的单调性相同； 当 c<0时，函数(hánshù)y=f(x)与y=cf(x)的单调性相反.