2020届福建省厦门第一中学高三上学期期中数学(理)试题(解析版)

2020届福建省厦门第一中学高三上学期期中数学（理）试题
一、单选题
1．若集合{}
0A x x =≤，且A B B =I ，则集合B 可能是 A ．{}1,2 B ．{}1,0-
C ．{}
1x x ≥-
D ．R
【答案】B
【解析】解：因为集合{}
0A x x =≤，且A B B =I ,故B A ⊆，那么根据子集的定义可知选B
2．已知113z i =+，23z i =+，其中i 是虚数单位，则1
2
z z 的虚部为( ) A ．1- B ．45
C ．i -
D ．
45
i 【答案】B
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
113z i =+Q ，23z i =+， ∴
1213(13)(3)68343(3)(3)1055
z i i i i i z i i i ++-+====+++-， ∴
12z z 的虚部为45
． 故选：B ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．函数()1cos f x x x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝⎭
（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x
-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则1
1
()()cos ()0f πππππ
π
=-
=--<，故选D.
【考点】1.函数的基本性质；2.函数的图象.
4．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110(a a += ) A ．7 B ．7±
C ．7-
D ．5-
【答案】C
【解析】由等比数列的性质，5647a a a a =，结合已知可求4a ，7a ，然后结合等比数列的性质即可求解. 【详解】
{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，
由等比数列的性质，56478a a a a =-=，
∴4742a a =⎧⎨=-⎩或4724a a =-⎧⎨=⎩，
当4742
a a =⎧⎨=-⎩时，312q =-，
则34
11073817a a a a q q
+=
+=-+=-，
当4724
a a =-⎧⎨=⎩时，32q =-， 则34
11073817a a a a q q
+=+=-+=-， 故选：C ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质及通项公式的应用，考查分类讨论思想和方程思想，属于基础题．
5．已知函数log ,0
()(03,40
a x x f x a x x >⎧=>⎨
+-<⎩…且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,4)
C ．(0，1)(1⋃，)+∞
D ．(0，
1)(1⋃，4)
【答案】D
【解析】由题意，01a <<时，显然成立；1a >时，()log a f x x =关于y 轴的对称函数为()log ()a f x x =-，则log 41a >，即可得到结论． 【详解】
当01a <<时，()log a f x x =关于y 轴的对称函数为()log ()a f x x =-与|3|y x =+只有唯 一的交点，故01a <<显然成立；
当1a >时，()log a f x x =关于y 轴的对称函数为()log ()a f x x =-与函数|3|y x =+有唯一的交点，则log 4)]|43|[(a >-+--，即log 4log a a a >，14a ∴<<， 综上所述，a 的取值范围是(0，1)(1⋃，4). 故选：D ． 【点睛】
本题分段函数的自对称问题，考查数形结合思想的应用，属于中档题． 6．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A ．3 B ．4
C ．
92
D ．
112
【解析】【详解】
解析：考察均值不等式2
228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅≥- ⎪
⎝⎭，整理得2(2)4(2)320x y x y +++-≥即(24)(28)0x y x y +-++≥，又x+2 y>0，24x y ∴+≥
7．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A(3
，－3)出发，
沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y)，其纵坐标满足y ＝f(t)＝Rsin(ωt ＋φ)(t≥0，ω＞0，|φ|＜)．则下
列叙述错误的是( )
A ．R ＝6，ω＝，φ＝－
B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6
C ．当t ∈[10,25]时，函数y ＝f(t)单调递减
D ．当t ＝20时，|PA|＝6
【答案】C
【解析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论. 【详解】 由题意，R ＝
＝6，T ＝60＝
，∴ω＝，当t ＝0时，y ＝f(t)＝－3，
代入可得－3＝6sin φ，∵|φ|＜，∴φ＝－.故A 正确；
f(t)＝6sin
，当t ∈[35,55]时，
t －∈
，
∴点P 到x 轴的距离的最大值为6，正确； 当t ∈[10,25]时， t －∈
，函数y ＝f(t)不单调，不正确；
当t ＝20时， t －＝，P 的纵坐标为6，|PA|＝
＝6
，正确，
【点睛】
该题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果.
8．2013年第12届全国运动会举行期间，某校4名大学生申请当A ，B ，C 三个比赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A 比赛项目，则不同的安排方案共有（ ） A ．20种 B ．24种 C ．30种 D ．36种 【答案】B
【解析】试题分析：根据题意，首先分配甲，有2种方法，
再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个项目，有A 33=6种情况， ②没有人与甲在同一个项目，则有C 32•A 22=6种情况；
则若甲要求不去A 项目，则不同的分配方案有2×（6+6）=24种； 故选B ．
【考点】本题主要考查排列、组合的应用，计数原理。

点评：易错题，注意题意中“每个比赛项目至少分配一人”这一条件，再分配甲之后，需要对其余的三人分情况讨论。

9．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，
圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点.若060MAN ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．
B C D ．2
【答案】A
【解析】双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为A (a ,0)，
以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。

若060MAN ∠=,可得A 到渐近线bx +ay =0的距离为：302
bcos b ︒=
，
=
,即a c =可得离心率为：e =. 故选A.
则||c a -r r 的最小值为( )
A ．52-
B ．72-
C ．
7
12
- D ．21-
【答案】B
【解析】设(2,0)a OA ==r u u u r ，(2b OB ==r u u u r
，23)，(,)OC c x y ==u u u r r ，则可得C 在以
(0,3)-为圆心，2为半径的圆上，求出圆心到点(0,3)-的距离，进而得到答案．
【详解】
向量a r ，b r ，c r 满足||2a =r ，||4b =r ，a r 与b r
的夹角为3
π，
如图所示，取(2,0)OA =u u u r ，(2OB =u u u r
，23)．
设(,)OC c x y ==u u u r r ，(2,)c a x y -=-r r ，(2,3)c b x y +=++r
r ．
()()3c a c b -⋅+=-r
r r r Q ， 24(23)3x y y ∴-++=-， 22(3)4x y ∴++=，
故C 在为以(0,3)为圆心以2为半径的圆的上， 则22||(2)c a x y -=-+r r
C 到(2,0)的距离， 因为圆心(0,3)到(2,0)7 故||c a -r r
72。

故选：B
本题考查向量的坐标运算，考查坐标法思想的运用，求解时将向量坐标化能使问题的抽象度更低，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
11．已知函数()sin f x x =的图象与直线0(0)kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三为点的横坐标从小到大分别为1x ，2x ，3x ，则
2313
tan()
x x x x --
的值为( )
A ．
3 B ．3
C ．
12
D ．
15
【答案】C
【解析】函数()sin f x x =的图象与直线0(0)kx y k k π--=>恰有三个公共点，画出图象，且在区间5(2,
)2
π
π内相切，其切点为3(A x ，3sin )x ，利用导数的几何意义得出33tan x x π=+，从而得到结论．
【详解】
函数()sin f x x =的图象关于(,0)π对称，直线0kx y k π--=过(,0)π， 则13222x x x π+==，所以2x π=。

所以函数()sin f x x =的图象与直线0(0)kx y k k π--=>恰有三个公共点如图所示， 且在区间5(2,
)2ππ内相切，其切点为3(A x ，3sin )x ，由于5()cos ,(2,
)2
f x x x ππ'=∈， ∴3
33sin cos x x x π
=
-，即33tan x x π=+， ∴23331333tan()tan 1
22222
x x x x x x x x πππ---===---．
故选：C. 【点睛】
本题考查函数的对称性及导数的运用，考查数形结合思想、方程思想的综合运用，考查
12．在三棱锥A BCD -中，10BC BD AC AD ====，6AB =，16CD =，点P 在平面ACD 内，且30BP =，设异面直线BP 与CD 所成角为α，则sin α的最小值
为( )
A 310
B 10
C 25
D 5 【答案】A
【解析】取CD 中点K ，易得三角形ABK 为正三角形，取AK 中点O ，可证BO ⊥平面ACD ，进而确定点P 的位置，求得最小值． 【详解】
取CD 中点K ，连接AK ，BK ，
10BC BD AC AD ====Q ，16CD =， 6AK BK ∴==，
6AB =Q ，
ABK ∴∆为正三角形，
取AK 中点O ，连接BO ， 则BO AK ⊥，且33BO = 易知CD ⊥平面ABK ，
CD BO ∴⊥，BO ∴⊥平面ACD ，
Q 30BP =P ∴在图中圆O 上，
当P 与G ，H 重合时，sin 1α=最大， 当P 与M ，N 重合时，33310
sin 1030
α=
=最小．
故选：A.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，线面垂直等知识，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．
二、填空题
13．已知关于x, y的二元一次不等式组
24
{1
20
x y
x y
x
+≤
-≤
+≥
，则3x-y的最大值为__________.
【答案】5
【解析】试题分析：作出二元一次不等式组
24
{1
20
x y
x y
x
+≤
-≤
+≥
所表示的平面区域如图：，
平移直线到经过点B（2，1）时3x-y 可取得最大值为：；故答案为5.
【考点】线性规划.
14．已知1
21
1a x dx -=
-⎰
，则61
[(2)]2a x x
π+--展开式中的常数项为______．
【答案】160-
【解析】根据定积分的几何意义求出a 的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项． 【详解】
根据定积分的几何意义知，积分
1
21
1x dx --⎰
的值等于半圆的面积
2
π
， 6611
[(2)](2)2a x x x x
π∴+--=-，
其展开式的通项公式为
66621661(2)()(1)2r r r r r r
r r T C x C x x
---+=-=-g g g g g ；
令620r -=，解得3r =；
∴展开式中常数项为333
6(1)2160C -=-g g ．
故答案为：160-． 【点睛】
本题考查二项式定理的展开式、定积分的几何意义计算，考查方程思想的运用和基本运算求解能力，属于中档题．
15．如图是由正三棱锥与正三棱柱组合而成的几何体的三视图，该几何体的顶点都在半径为R 的球面上，则该几何体的体积为______．
【答案】
653
4
和高，利用勾股定理即可求出外接球半径．然后求解棱锥的高，求解几何体的体积即可． 【详解】
解：正三棱柱的底面边长为3，三棱柱的高为2，设正三棱柱的上下底面中心为O ，
1O ，则几何体外接球的球心为1OO 的中点H ，
32， 设正三棱柱的上下底面中心为O ，1O ， 则几何体外接球的球心为1OO 的中点H ， 设三棱柱的底面一个顶点为A ，
Q 3132
123
O A ∴=
⨯=，11O H =， 22112HA O A O H ∴=+=．
221． 所以几何体的体积为
22313653
(3)2(3)(21)4344
⨯+⨯⨯=
． 故答案为：634
． 【点睛】
本题考查组合体与球的内接问题，几何体的体积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．
16．ABC ∆的垂心H 在其内部，30A ∠=︒，3AH =3BH CH +的取值范围是_____ 【答案】(3
【解析】设AD ，BE 是高，H 就是AD 、BE 交点，得到Rt AHE Rt BCE ∆∆∽，利用对应边成比例得到BC ，在BHC ∆中，150BHC ∠=︒，1BC =，设BCH α∠=由
正弦定理可得：
32sin()6
BH CH π
α+=+即可．
【详解】
设AD ，BE 是高，H 就是AD 、BE 交点， 那么AD BC ⊥，90DAC ACD ∠+∠=︒，
BE AC ⊥，90CBE DCA ∠+∠=︒，
所以DAC CBE ∠=∠， 所以Rt AHE Rt BCE ∆∆∽， 所以
AH AE
BC BE =， cot cot BC AE AE AH BC BC A BC BE BE
⨯==⨯=⨯∠=⨯303︒=．
1BC ∴=
在BHC ∆中，150BHC ∠=︒，1BC =，设BCH α∠=， 由正弦定理可得：
2sin sin sin BC BH CH
BHC BCH HBC
===∠∠∠.
∴
332sin 2sin()23sin cos 3sin 6
BH CH BCH BCH π
ααα
+=⨯∠+-∠=+-
3sin cos 2sin()6π
ααα=+=+
Q (0,)6π
α∈，1sin()(62πα∴+∈，3)，
2sin()(1,3)6
π
α∴+∈.
故答案为：(1,3)．
【点睛】
本题考查垂心、正弦定理、三角恒等变形、三角函数性质，通过三角形相似求得BC 是关键，属于难题．
三、解答题
17．已知函数2
1()cos )cos()2
f x x x x ππ=-+-． （1）求函数()f x 在[0，]π上的单调递减区间；
（2）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，
2a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的两个内角B ，C 及分别对应的边长b ，c ．
【答案】（1）0,
3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,6
ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ （2）3B C π==，2b c == 【解析】（1）利用二倍角，诱导公式和辅助角化简，结合三角函数的单调性即可求解． （2）由(A)f 1=-，求解角A ，2a =，sin sin b C a A =，利用正余弦定理化简可得
4bc =，由余弦定理可得228b c +=，联立解得2b c ==，可得3
B C π
==
．
【详解】
（1）Q 由已知得：2
1()cos cos 2f x x x x =--
1cos 21
2222
x x +=-- sin(2)6
x π
=--，
由2222
6
2
kx x kx π
π
π
-
-
+
剟，k Z ∈，可得6
3
kx x kx π
π
-
+
剟．k Z ∈，
又[0x ∈，]π，
∴函数()f x 在[0，]π的单调递减区间为[0，]3π
和5[6
π，]π．
（2）由（1）知()sin(2)6
f x x π
=--
由(A)f 1=-，可得(A)f sin(2)16
A π
=--
=-．
ABC ∆Q 中是锐角三角形，02
A π
∴<<，
526
6
6A π
π
π∴-
<-
<
，262A ππ
∴-=，即3
A π=， 又sin sin b C a A =Q ，正弦定理可得：24bc a ==，即4bc =，①
∴由余弦定理可得2241
cos 22b c A bc +-==，可得228b c +=，②
∴由①②解得2b c ==，
ABC ∆∴为正三角形，可得3
B C π
==
．
【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，正弦定理的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于中档题．
18．已知三棱锥P ABC -（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD 为边长等于2的正方形，ABE ∆和BCF ∆均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： （I ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；
（Ⅱ）若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角
P BC M --的余弦值.
图一
图二
【答案】（1）见解析（2533
【解析】(1)设AC 的中点为O,证明PO 垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可. 【详解】
（Ⅰ）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意，得2PA PB PC ===
，
1PO =，1AO BO CO ===.
因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，
因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =
222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥.
因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ，
因为PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BO PO ⊥，BO AC ⊥，BO ⊥平面PAC ， 所以BMO ∠是直线BM 与平面PAC 所成的角， 且1
tan BO BMO OM OM
∠=
=， 所以当OM 最短时，即M 是PA 的中点时，BMO ∠最大.
由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，于是以
OC ，OB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图示空间直角坐标系，
则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P ，11,0,22
M ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，
()1,1,0BC =-u u u v ，()1,0,1PC =-u u u v ，31,0,2
2MC ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭u u u u v .
设平面MBC 的法向量为()111,,m x y z =r
，则
由00
m BC m MC u u u
v r u u u u v r ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：11110
30x y x z -=⎧⎨
-=⎩. 令11x =，得11y =，13z =，即()1,1,3m r
=. 设平面PBC 的法向量为()222,,n x y z =r
，
由00
n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u
v r u u u v r 得：22220
0x y x z -=⎧⎨-=⎩，
令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1n =r
.
533
cos ,33
m n n m m n ⋅===⋅r r r r .
由图可知，二面角P BC M --533
.
【点睛】
本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.
19．已知椭圆22
:1(04)4x y E t t
+=<<的左焦点为F ，设M ，N 是椭圆E 的两个短
轴端点，A 是椭圆E 的长轴左端点．
（1）当1t =时，设点(P m ，2)(0)m -≠，直线PN 交椭圆E 于Q ，且直线MP 、MQ
的斜率分别为1k ，2k ，求12k k g
的值； （2）当3t =时，若经过F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，O 为坐标原点，求OAD ∆与OAC ∆的面积之差的最大值． 【答案】（1）1234k k ⋅=-
；（23
【解析】（1）设PN 直线方程为(1)x m y =-+，联立方程组22
(1)
44x m y x y =-+⎧⎨+=⎩
，利用韦达定理可得点Q 的坐标，从而求得直线,MQ MP 的斜率，即可证得123
4
k k ⋅=-
； （2）设OAD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ，设直线l 的方程为1x ky =-，1(C x ，
1)y ，2(D x ，2)y ，联立方程组221
14
3x ky x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消去x 得关于y 的一元二次方程，再将
面积表示成关于k 的函数，从而求得12||S S -的最大值． 【详解】
（1）当1t =时，椭圆22
:1(04)4x y E t t
+=<<的
M ，N 是椭圆E 的两个短轴端点分别为(0,1)、(0,1)-，
设PN 直线方程为(1)x m y =-+．
由22
(1)44x m y x y =-+⎧⎨+=⎩得2222(4)240m y m y m +++-=． 2244Q N m y y m -=+g ，⇒2
2
44Q m y m
-=+，284Q m x m -=+ ∴2
22
41484MQ
m m k m m --+=+，3MP k m =- 22122
2433
484
m m k k m m m +=⨯⨯=-+-g ； （2）设OAD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ， 设直线l 的方程为1x ky =-，1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y
∴由221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22
(34)690k y ky +--=，
∴由韦达定理可知：122
634
k
y y k +=
+， 121212216||
||2||||||||234
k S S y y y y k ∴-=⨯⨯-=+=+，
当0k =时，12|0|S S -=，
当0k ≠
时，
126||4
3||||
S S k k -=
=+
…
（当且仅当43||||k k =
，即k =时等号成立）． 12||S S ∴-
的最大值为2
．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，三角形面积公式及基本不等式的综合应用，考查转化思想，属于中档题． 20．已知数列{}n a 的首项为12a =，且满足1212n n a a a a +++⋯+-=-，数列{}n b 满足
2121
log ()(*)n n b a a a n N n =⋯∈，数列{}n n a b 的前n 项和n T ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令42n n n C T n =-，求证：1
1
3n i i C =<∑．
【答案】（1）2n
n a = ；（2）证明见解析
【解析】（1）由1a ，可得2a ，再将n 换为1n -，两式相减，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）运用对数的运算性质和等差数列的求和公式，求得n b ，1
(1)2n n n a b n -=+g ，再由
数列的错位相减法求和，可得n T ，再由放缩法和等比数列的求和公式，结合不等式的性质，即可得证． 【详解】
（1）12a =，且满足1212n n a a a a +++⋯+-=-， 可得122a a -=-，即24a =，
当2n …
时，1212n n a a a a -++⋯+-=-，又1212n n a a a a +++⋯+-=-， 两式相减可得12n n a a +=， 满足1n =，则1
222n n n a -==g ；
（2）证明：21121
log (2482)2
n n n n b n n ++⋯++=
⋯==g g ， 1(1)2n n n a b n -=+g ，
则1
213244(1)2n n T n -=+++⋯++g g g g ，
2223448(1)2n n T n =+++⋯++g g g g ，
相减可得1
2242
(1)2n n
n T n --=+++⋯+-+g 2(122(1)21)
2
n n n ⋅-=+-+-g ，
所以2n
n T n =⋅，
可得1
42422422
n n n n n n c T n n n =
==---g g ，
由42232220n n n --=-g g …，即有42232n n -g g …， 可得
111
42232
n
n -g g „，
则1
11(1)1111111122()(1)132********
n n i n n
i c =-<++⋯+==-<-∑g ． 【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等比数列的定义和通项公式，考查等差数列和等比数列的求和公式，以及数列的错位相减法求和，化简变形能力和运算能力、推理能力．
21．已知函数2
1(),2f x lnx ax x a R =--∈．
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若关于x 的不等式()(2)1f x a x --„．恒成立，求整数a 的最小值． 【答案】（1）详见解析 ；（2）2
【解析】（1）对函数进行求导得21()ax x f x x
--+'=，再对分子2(1)ax x --+进行讨
论，判断函数的单调性；
（2）用分离常数法，构造函数()g x ，求()g x 的最大值，由01a x …，01
(,1)2
x ∈，求出整数a 的最小值． 【详解】
（1）211
()1ax x f x ax x x
--+'=--=，0x >，
当0a =时，(1)
()x f x x
--'=
， (0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增， (1,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减，
当0a ≠时，△14a =+， 若0a <，140a +„，即14
a -
„时，2
1y ax x =--+，开口向上， 所以()0f x '
…
，()f x 单调递增； 若140a +>，即104a -
<<，210y ax x =--+=
，有两个根112x a
--=
，2x =
，12
0x x >>，
当2(0,)x x ∈或x ∈1(x ，)+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当2(x x ∈，1)x 时，()0f x '<，()f x 单调递减；
若0a >，则140a +>，2
10y ax x =--+=
，有两个根1x =
，
212x a
-+=
，12x x
<，
由韦达定理121
0x x a
=-
<，所以120x x <<， 当2(0,)x x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增， 当2(x x ∈，)+∞时，()0f x '<，()f x 递减；
（2）由2
1(1)12
lnx ax a x -
--„得22(1)(2)lnx x a x x +++„，0x >， 分离常数，22(1)
()2lnx x a g x x x
++=+…
，(0)x >， 22
2(1)(2)
()(2)
x lnx x g x x x -++'=
+， 2y lnx x =+，y 在(0,)+∞递增，()h 110=>，11
()22022
h ln =+<，
故存在唯一01
(,1)2
x ∈，使得0()0h x =，即0020lnx x +=，
所以0x x =时，0002
0000
02(1)21
()2(2)max lnx x x g x x x x x x +++=
==++， 所以01a x …
，01
(,1)2
x ∈，故2a …
， 所以a 的最小整数值为2. 【点睛】
本题考查用函数的单调性、含参不等式恒成立问题、导数的综合应用，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力． 22．已知曲线C 的极坐标方程是
22
2
1sin θρ=+，直线l
的参数方程是
12(2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
为参数） （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设直线l 与x 轴的交点是P ，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求
11||||
PM PN +的值． 【答案】（1）2
212
x y +=；（2
）【解析】（1）将曲线C 变形为222
sin 2ρρθ+=，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，代入即可得到所求曲线C 的直角坐标方程；
（2）令0y =，可得(1,0)P ，将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，求得t 的两解，由参数的几何意义，计算即可得到所求和．
【详解】
（1）曲线C 的极坐标方程是
2221sin θρ=+，
即为222sin 2ρρθ+=，
由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=， 可得222
2x y y ++=， 即2
212
x y +=； （2）直线l
的参数方程是1(2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
为参数） 令0y =，可得0t =，1x =，即(1,0)P ，
将直线l 的参数方程代入曲线22
:22C x y +=，可得：
221112222
t t ++=g ，
即为2320t --=，
解得1t =
23
t =-， 由参数t 的几何意义可得，
121111||||||||PM PN t t +=+=+= 【点睛】
本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，注意运用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=进行方程的转化，同时注意运用参数的几何意义进行求解，考查方程思想的运用和运算求解能力．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数()121f x x x =--+的最大值为k .
（1）求k 的值；
（2）若,,a b c ∈R ， 22
22
a c
b k ++=，求()b a
c +的最大值. 【答案】（1）2（2）2
【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义，将函数化为分段函数形式，分别求各段最大值，最后取各段最大值的最大者为k 的值；（2）利用基本不等式得
()()()22
22
222a b b c b a c +++≤+=，即得()b a c +的最大值.
试题解析：（1）由于()()31,
{31(11),31,
x x x x x x --≥---<<+≤-由函数()f x 的图象可知
()()max 12k f x f ==-=.
（2）由已知22222a c b ++=,有()()
22224a b b c +++=， 因为222a b ab +≥(当a b =时取等号)，222b c bc +≥(当b c =时取等号)， 所以()()
()222242a b b c ab bc +++=≥+，即2ab bc +≤， 故()b a c +的最大值为2.。