泗洪中学高三数学试题

泗洪中学高三数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．对于命题p ：R x ∈∃，使得x 2+ x +1 < 0．则p ⌝为_________．
2．定义运算
a••b ad bc c••d
=-，则符合条件
12i 01i 1i
•••z••••••••••+=-+的复数z 的共轭复
数所对应的点在象限
3．“1x >”是“2
x x >”的条件．
4．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域
的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况 下成绩为10环的概率为.
5．设x 、y 满足条件3
10x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩
≤≤≥，则22
(1)z x y =++的最小值．
6．在某市打的收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元（其他因素不考虑）．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填________
7．函数2
()ln(1)f x x x
=+-
的零点所在的区间是（n ,n ＋1），则正整数n =______． 8．在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ②若平面α内任意一条直线m//平面β，则平面α//平面β；
③若平面α与平面β的交线为m ，平面β内的直线n ⊥直线m ，则直线n ⊥平面α； ④若点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 在该三角形所在平面上的射影是该 三角形的外心. 其中正确命题的个数为________
9．水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的表面积，用锐角︒45的等腰直角三 角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂 直，如果测得1PA =米，则球的表面积等于___
10．若Rt ΔABC 中两直角边为a 、b,斜边c 上的高为h ，则
222
111h a b =+，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC ，PO 为棱锥的高，类比到空间可得______ 11．已知20a b =≠，且关于x 的函数f(x)=3211
32
x a x a bx ++⋅在R 上有极值，
则a 与b 的夹角X 围为_______． 12．设函数2113
()424
f x x x =
+-，对于正数数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且()n n S f a =，()n N *∈，则数列{}n a 的通项公式是________
P A C
0.01
频率
组距
13．已知()sin
(1)(1)3
3
f x x x π
π
=++，
则(1)(2)(2008)+++=f f f ___
14．已知点P 是抛物线2
4y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标 是（4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．
15.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40 不大于100的整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90.
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图; (2) 观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．
16.如图是以正方形ABCD 为底面的正四棱柱被一平面所截得的几何体，四边形
EFGH
为截面，且AB AD a ==，BF DH b ==．
（1）证明：截面四边形EFGH 是菱形； （2）求三棱锥F ABH -的体积．
17．在ABC ∆中，c ,b ,a 分别是角A 、B 、C 的对边，(2,cos ),m b c C →
=-
(,n a →
=)A cos ，且→
→n //m ．
（1）求角A 的大小；（2）求)23
cos(sin 22
B B y -+=π
的值域．
18．设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的 轨迹为曲线C .
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长EG 是否为定值？为什么？
19．已知数列{}n a 的首项1213a a ==，，前n 项和为n S ，且1n S +、n S 、1n S -（n ≥2）分别是直线l 上的点A 、B 、C 的横坐标，21
n n
a AB BC a +=
，设11b =，12log (1)n n n b a b +=++．
⑴ 判断数列{1}n a +是否为等比数列，并证明你的结论；
⑵ 设11
1
14
n b n n n n c a a +-++=，证明：11
<∑=n
k k C ．
20．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点
如果函数2()(,*)x a f x b c N bx c +=
∈-有且仅有两个不动点0、2，且1
(2)2
f -<-. （1）试求函数()f x 的单调区间；
（2）点1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 从左到右依次是函数()y f x =图象上三点，其中12(1,2,3),i x i <<=求证：⊿ABC 是钝角三角形．
0.01频率组距
高三数学试题答案
一、填空题：
1．R x ∈∀，均有x 2+ x +1≥0 2．第一象限3．充分而不必要条件 4． 0.01 5． 46．()8 2.62y x =+-7.18.29．(12π+ 10．
22221111PO PA PB PC =++11．],3
(ππ
12．21n a n =+
131 二、解答题： 15．（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯=
直方图如右所示
（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为
(0.0150.030.0250.005)100.75
+++⨯=所以，抽样学生成绩的合格率是75%..
利用组中值估算抽样学生的平均分
123456455565758595f f f f f f ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝
450.1550.15650.15750.3850.25950.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
＝71
估计这次考试的平均分是71分
16. 16.解：（Ⅰ）证明：因为平面ABEF ∥平面CDHG ，且平面EFGH 分别交平面
ABFE 、平面CDHG 于直线EF 、GH ，所以EF ∥GH ．
同理，FG ∥EH ．
因此，四边形EFGH 为平行四边形．（1）
因为BD AC ⊥，而AC 为EG 在底面ABCD 上的射影，所以EG BD ⊥． 因为BF DH =，所以FH ∥BD ．
y
2=4y
因此，FH EG ⊥． (2)
由（1）、（2）可知：四边形EFGH 是菱形；
（Ⅱ）因为DA ⊥平面ABFE ，HD ∥AE ，所以H 到平面ABF 的距离为
DA a =．于是，由等体积法得所求体积
21111
3326
F ABH H ABF ABF V V S DA ab a a b --∆==⋅⋅=⨯⨯=
17．（1）由→
→
n //m 得0cos cos )2(=-⋅-C a A c b
由正弦定理得0cos sin cos sin cos sin 2=--C A A C A B
∴0)sin(cos sin 2=+-C A A B ,∴0sin cos sin 2=-B A B
()3
,21cos ,0sin ,0,π
π=∴=
≠∴∈A A B B A （2）B B B y 2sin 3
sin
2cos 3
cos sin 2
π
π
++==B B 2sin 23
2cos 211+
- =1)6
2sin(+-
π
B
由（1）得6
7626320ππππ<
-<-∴<
<B B ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈-
∴1,21)62sin(π
B ⎥⎦
⎤
⎝⎛∈∴2,21y 18．解：（1）依题意知，动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的 距离，曲线C 是以原点为顶点，F (0,1)∵
12
p
=∴2p = ∴ 曲线C 方程是2
4x y =
（2）设圆的圆心为(,)M a b ，∵圆M 过A (0,2)， ∴圆的方程为 2
2
2
2
()()(2)x a y b a b -+-=+-
令0y =得：2
2440x ax b -+-= 设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ，2(,0)x 方法1：不妨设12
x x >，由求根公式得
122a x +=
,222
a x -=
∴12x x -=
又∵点(,)M a b 在抛物线2
4x y =上，∴2
4a b =
，∴124x x -==，
即EG ＝4, ∴当M 运动时，弦长EG 为定值4 〔方法2：∵122x x a +=，1244x x b ⋅=- ∴
22121212()()4x x x x x x -=+-⋅22(2)4(44)41616a b a b =--=-+
又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴2
4a b =， ∴212()16x x -=124x x -=,
∴当M 运动时，弦长EG 为定值4〕
19． ⑴由题意得
11121
21n n n n n n n n
S S a a a S S a ++--+=⇒=+-
∴1
12(1)n n a
a ++=+（n ≥2），又∵11a =，23a =
∴数列{1}n
a
+是以112a +=为首项，以2为公比的等比数列。

[则12
n
n a +=∴21n n
a
=-（*n N ∈）]
⑵由21n
n a =-及12log (1)n n n b a b +=++得1n n b b n +=+
∴(1)
12
n
n n b
-=+
，
则11
1
1142(21)(21)n b n
n n n
n n n c a a +-+++==--1211211---=+n n 22334
11
11111212121212121n
k k C =⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑1112121n n +⎛⎫+
+- ⎪--⎝⎭
112111<--=+n
20．（1）设
22(1)0(1)x a
x b x cx a b bx c +=⇒-++=≠- 201201c b a b ⎧
+=-⎪⎪-⇒⎨⎪⨯=⎪-⎩
∴012a c b =⎧⎪⎨=+⎪⎩∴2()(1)2x f x c x c =+- 由21
(2)1312f c c --=<-⇒-<<+, 又∵,*b c N ∈∴2,2c b ==
∴2()(1)2(1)x
f x x x =
≠- 于是2222
22(1)22()4(1)2(1)
x x x x x
f x x x ---'==-- 由()0f x '>得0x <或2x >； 由()0f x '<得01x <<或12x << 故函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(2,)+∞， 单调减区间为(0,1)和(1,2)
（2）证明:据题意1,12233(()),(,()),(,())A x f x B x f x C x f x 且x 1<x 2<x 3, 由(1)知f (x 1)>f (x 2)>f (x 3),
12123232(,()()),(,()())BA x x f x f x BC x x f x f x ∴=--=--
12321232()()[()()][()()]BA BC x x x x f x f x f x f x ∴⋅=--+--
123212320,0,()()0,()()0x x x x f x f x f x f x -<->->-<
0,(,)2
BA BC B π
π∴⋅<∴∠∈
即⊿ABC 是钝角三角形．。