集合练习题及解析

2016年07月15日*****************的高中数学组卷
一．选择题（共13小题）
1．（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）
A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1}
2．（2015秋•清远校级月考）下面给出的四类对象中，构成集合的是（）
A．某班个子较高的同学B．长寿的人
C．的近似值D．倒数等于它本身的数
3．（2012秋•东港区校级月考）已知集合A={a，b}，那么集合A的所有子集为（）A．{a}，{b}B．{a，b}C．{a}，{b}，{a，b}D．ϕ，{a}，{b}，{a，b}
4．（2015•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）
A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}
5．（2013秋•和平区校级月考）下列关系正确的是（）
A．3∈{y|y=x2+π，x∈R}B．{（x，y）}={（y，x）}
C．{（x，y）|x2﹣y2=1}⊊{（x，y）|（x2﹣y2）2=1}D．{x∈R|x2﹣2=1}=∅
6．（2012•浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁U Q）=（）
A．{1，2，3，4，6}B．{1，2，3，4，5}C．{1，2，5}D．{1，2}
7．（2012秋•泗县校级月考）数集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，}B．{﹣2，﹣}C．{±2，±}D．{2，﹣}
8．（2012秋•雁塔区校级月考）下列集合为∅的是（）
A．{0}B．{x|x2+1=0}C．{x|x2﹣1=0}D．{x|x＜0}
9．（2011•枣庄校级模拟）已知a∈R，集合M={1，a2}，N={a，﹣1}，若M∪N有三个元素，则M∩N=（）
A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{0}D．{1}
10．（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（）A．2B．1C．0D．﹣1
11．（2016•惠州模拟）已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（）
A．3B．4C．7D．8
12．（2014•埇桥区校级学业考试）已知集合A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅，若A∪B=A，则（）
A．﹣3≤m≤4B．﹣3＜m＜4C．2＜m＜4D．2＜m≤4
13．（2010•福建）设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤n≤1；③若n=，则﹣≤m≤0．其中正确命
题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
二．解答题（共4小题）
14．（2016春•张家港市校级期中）已知集合A={x|0＜ax+1≤5}，集合B={x|﹣＜x≤2}．
（1）若A⊆B，求数a的取值范围；
（2）若B⊆A，求数a的取值范围．
15．（2014•岳麓区校级模拟）集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；
（2）当A中的元素x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
16．（2010秋•马尔康县校级期末）设集合A=x|2x2+3px+2=0，B=x|2x2+x+q=0，其中p，q，
x∈R，当A∩B=时，求p的值和A∪B．
17．（2009春•南京校级月考）设集合A={x|﹣1≤x≤a}，P={y|y=x+1，x∈A}，Q={y|y=x2，x∈A}，（1）若Q∩P=Q，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得P=Q？并说明理由．
2016年07月15日*****************的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）
A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1}
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．
故选：C．
【点评】考查列举法表示集合，交集的概念及运算．
2．（2015秋•清远校级月考）下面给出的四类对象中，构成集合的是（）
A．某班个子较高的同学B．长寿的人
C．的近似值D．倒数等于它本身的数
【分析】通过集合的定义，直接判断选项即可．
【解答】解：因为集合中的元素满足：确定性、互异性、无序性；选项A、B、C元素都是不确定的．
所以D，倒数等于它本身的数，能够构成集合．
故选D．
【点评】本题考查集合的定义，集合元素的特征，基本知识的应用．
3．（2012秋•东港区校级月考）已知集合A={a，b}，那么集合A的所有子集为（）A．{a}，{b}B．{a，b}C．{a}，{b}，{a，b}D．ϕ，{a}，{b}，{a，b}
【分析】写出集合A={a，b}的所有子集，分空集、单元素集合和集合本身．
【解答】解：集合A={a，b}的子集分别是∅，{a}，{b}，{ab}共四个，
故选D．
【点评】本题考查了集合的子集与真子集，如果集合A的元素个数是n，则其子集个数是
2n，真子集个数是2n﹣1．
4．（2015•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）
A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}
【分析】求出集合B的补集，然后求解交集即可．
【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁U B={2，5}，又集合A={2，3，5}，
则集合A∩∁U B={2，5}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．
5．（2013秋•和平区校级月考）下列关系正确的是（）
A．3∈{y|y=x2+π，x∈R}B．{（x，y）}={（y，x）}
C．{（x，y）|x2﹣y2=1}⊊{（x，y）|（x2﹣y2）2=1}D．{x∈R|x2﹣2=1}=∅
【分析】由于{y|y=x2+π，x∈R}={y|y≥π}可判断；由于（x，y）与（y，x）表示不同的有序实数对，故{（x，y）}≠{（y，x）}；由于{（x，y）|（x2﹣y2）2=1}表示曲线x2﹣y2=±1上的所有点构成的集合，{（x，y）x2﹣y2=1}只表示曲线（x2﹣y2）2=1上的点构成的集合；可判断，由于{x∈R|x2﹣2=1}={}≠∅，可判断
【解答】解：由于{y|y=x2+π，x∈R}={y|y≥π}可知3∉[π，+∞），故A错误
由于（x，y）与（y，x）表示不同的有序实数对，故{（x，y）}≠{（y，x）}，故B错误
由于{（x，y）|（x2﹣y2）2=1}表示曲线x2﹣y2=±1上的所有点构成的集合，则{（x，y）|x2﹣y2=1}⊊{（x，y）|（x2﹣y2）2=1}，故C正确
由于{x∈R|x2﹣2=1}={}≠∅，故D错误
故选C
【点评】本题主要考查了元素与集合、集合与集合之间关系的判断，解题的关键是弄清楚每个集合的元素是由什么构成的
6．（2012•浙江）设全集U={1，2，3，4，5，6}，设集合P={1，2，3，4}，Q={3，4，5}，则P∩（∁U Q）=（）
A．{1，2，3，4，6}B．{1，2，3，4，5}C．{1，2，5}D．{1，2}
【分析】由题意，可先由已知条件求出C U Q，然后由交集的定义求出P∩（C U Q）即可得到正确选项．
【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，Q={3，4，5}，
∴∁U Q={1，2，6}，又P={1，2，3，4}，
∴P∩（C U Q）={1，2}
故选D．
【点评】本题考查交、并、补的运算，解题的关键是熟练掌握交、并、补的运算规则，准确计算．
7．（2012秋•泗县校级月考）数集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，}B．{﹣2，﹣}C．{±2，±}D．{2，﹣}
【分析】利用集合中的元素具有互异性的性质可知x2﹣3≠1，且x2﹣3≠2，由此能求出数集{1，2，x2﹣3}中的x不能取的数值的集合．
【解答】解：由x2﹣3≠1解得x≠±2．
由x2﹣3≠2解得x≠±．
∴x不能取得值的集合为{±2，±}．
故选C．
【点评】本题考查集合中元素的互异性，是基础题，难度不大．解题时要认真审题，仔细解答．
8．（2012秋•雁塔区校级月考）下列集合为∅的是（）
A．{0}B．{x|x2+1=0}C．{x|x2﹣1=0}D．{x|x＜0}
【分析】根据空集是不含任何元素的集合，判断A、B、C、D是否正确．
【解答】解：A中含有元素0，∴A×；
∵x2+1=0，解集为∅，∴B√；
∵x2﹣1=0⇒x=±1，∴C×；
D是小于0的数集，D×；
故选B
【点评】本题考查空集的定义．
9．（2011•枣庄校级模拟）已知a∈R，集合M={1，a2}，N={a，﹣1}，若M∪N有三个元素，则M∩N=（）
A．{0，1}B．{0，﹣1}C．{0}D．{1}
【分析】根据集合元素之间的关系，我们根据已知，M，N均为二元集，M∪N有三个元素，则M∩N有一个元素，利用排除法排除不满足条件的答案后，分类讨论即可得到结论．
【解答】解：∵集合M={1，a2}，N={a，﹣1}，
若M∪N有三个元素
则M∩N有一个元素，故排除A，B
若M∩N={0}
则a=a2=0，满足条件
若M∩N={1}
则a=1，此时a2=1，由集合元素的互异性，故不满足条件
故排除D
故选C
【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，利用集合元素的性质，特别是元素是互异性是解答本题的关键．
10．（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（）A．2B．1C．0D．﹣1
【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．
【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，
则①或②，
由①得，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．
由②得，若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，即（a﹣b）（a+b）=﹣（a﹣b），
∵互异的复数a，b，
∴a﹣b≠0，即a+b=﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．
11．（2016•惠州模拟）已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（）
A．3B．4C．7D．8
【分析】先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．
【解答】解：由题意可知，
集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，
则B的子集个数为：23=8个，
故选：D．
【点评】本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个．
12．（2014•埇桥区校级学业考试）已知集合A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}且B≠∅，若A∪B=A，则（）
A．﹣3≤m≤4B．﹣3＜m＜4C．2＜m＜4D．2＜m≤4
【分析】根据题意，若A∪B=A，则B⊆A，又由B≠∅，进而则可得，解可得
答案．
【解答】解：根据题意，若A∪B=A，则B⊆A，
又由B≠∅，
则可得，
解可得，2＜m≤4，
故选D．
【点评】解本题时，注意B不是空集的条件，否则容易误选A．
13．（2010•福建）设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=﹣，则≤n≤1；③若n=，则﹣≤m≤0．其中正确命
题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据题中条件：“当x∈S时，有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可：对于①m=1，得，②，则对于③若，则，最后解出不等式，根
据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个．
【解答】解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证m∈S时，有m2∈S即m2≥m，符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证n∈S时，有n2∈S即n2≤n，正对各个命题进行判断：
对于①m=1，m2=1∈S故必有可得n=1，S={1}，
②m=﹣，m2=∈S则解之可得≤n≤1；
对于③若n=，则解之可得﹣≤m≤0，
所以正确命题有3个．
故选D
【点评】本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．
二．解答题（共4小题）
14．（2016春•张家港市校级期中）已知集合A={x|0＜ax+1≤5}，集合B={x|﹣＜x≤2}．
（1）若A⊆B，求数a的取值范围；
（2）若B⊆A，求数a的取值范围．
【分析】分a＞0、a=0、a＜0求出集合A，再根据集合关系分类讨论a满足的条件求解．【解答】解：当a＞0时，A=（﹣，]；
当a=0时，A=R；
当a＜0时，A=[，﹣）．
（1）若A⊆B，分三种情况讨论：
1、当a＞0，⇒a≥2；
2、当a=0，A=R，A⊈B；
3、当a＜0，⇒a＜﹣8．
综上a的取值范围是{a|a≥2或a＜﹣8}．
（2）若B⊆A，分三种情况讨论：
1、当a＞0，⇒0＜a≤2；
2、当a=0，A=R，B⊆A，∴a=0成立；
3、当a＜0，⇒﹣＜a＜0．
综上a的取值范围是{a|﹣＜a≤2}．
【点评】本题考查集合关系中参数范围的确定．利用分类讨论思想求解是解决此类题的常用方法．
15．（2014•岳麓区校级模拟）集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；
（2）当A中的元素x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，若A∩B=∅，求实数m的取值范围．
【分析】（1）若B⊆A，求实数m的取值范围进要注意B是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可．
（2）需要知道集合中元素的具体个数，然后套用子集个数公式：2n．
（3）根据题意，需要进行分类讨论，当B=φ和B≠φ时，然后列出关系式即可求出结果．【解答】解：（1））①当B为空集时，得m+1＞2m﹣1，则m＜2
②当B不为空集时，m+1≤2m﹣1，得m≥2
由B⊆A可得m+1≥﹣2且2m﹣1≤5
得2≤m≤3
故实数m的取值范围为m≤3
（2）当x∈Z时，A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}
求A的非空真子集的个数，即不包括空集和集合本身，
所以A的非空真子集个数为28﹣2=254
（3）因为x∈R，且A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，
则①若B=∅，即m+1＞2m﹣1，得m＜2时满足条件；
②若B≠∅，则要满足的条件是
m+1≤2m﹣1且m+1＞5
或m+1≤2m﹣1且2m﹣1＜﹣2，
解得m＞4．
综上，有m＜2或m＞4．
【点评】若B⊆A，需要注意集合B能否是空集，必要时要进行讨论；当一个集合里元素个数为n个时，其子集个数为：2n，真子集个数为：2n﹣1．
16．（2010秋•马尔康县校级期末）设集合A=x|2x2+3px+2=0，B=x|2x2+x+q=0，其中p，q，x∈R，当A∩B=时，求p的值和A∪B．
【分析】根据A∩B=，得到，即是方程2x2+3px+2=0的根，代入即可求得p
的值，从而求得集合A，同理求得集合B，进而求得A∪B．
【解答】解：∵（2分）
∴
∴（6分）
，
∴（9分）
∴
∴（12分）
【点评】此题是中档题．考查集合的交集的定义和一元二次方程的解法，体现了方程的思想和转化的思想，同时考查了运算能力．
17．（2009春•南京校级月考）设集合A={x|﹣1≤x≤a}，P={y|y=x+1，x∈A}，Q={y|y=x2，x∈A}，（1）若Q∩P=Q，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得P=Q？并说明理由．
【分析】（1）若Q∩P=Q，可得出Q⊆P，求出两个集合，根据包含关系的定义进行讨论即可得出正确答案．
（2）在（1）的研究过程中选取可以说明问题的那一类进行说明即可．
【解答】解：根据集合中元素的数学意义，应将集合P、Q分别理解为一次函数与二次函数值域的集合，而它们的定义域均为集合A．
（1）∵P={y|0≤y≤a+1}，而Q中函数值必须分类讨论．
①当﹣1≤a＜0时，Q={y|a2≤y≤1}，∵Q⊆P，∴；
②当0≤a≤1时，Q={y|0≤y≤1}，∵P∩Q=Q，∴Q⊆P，∴1≤a+1，得0≤a≤1；
③当a＞1时，Q={y|0≤y≤a2}，∵Q⊆P，∴；
故，实数a的取值范围是：．
（2）在（1）②中令a+1=1得a=0，此时P=Q={y|0≤y≤1}；
在（1）③中令；
故，存在实数．
【点评】本题考查集合中的参数取值问题，此类题是集合问题中的一个难点，易因考虑不全出错，求解此类题关键是根据题中所给的条件进行正确转化，得出参数所满足的方程或者不等式．。